thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

BÁO CÁO TỔNG KẾTĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN Mã số: SPD2018

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG

CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.52

Chủ nhiệm đề tài: Lê Cẩm Tú Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, 6/2019

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG

CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.52

Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài

TS Nguyễn Văn Dũng Lê Cẩm Tú

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019

Thông tin kết quả nghiên cứu iii

Summary v

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong và ngoài nước 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 3

4 Cách tiếp cận 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

7 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian tựa chuẩn 5

1.2 Một số kết quả bổ trợ 8

2 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn 10 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn 10

2.2 Áp dụng 19

ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

CỦA SINH VIÊN

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương

trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

- Mã số: SPD2018.02.52

- Chủ nhiệm đề tài: Lê Cẩm Tú

- Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019

4 Kết quả nghiên cứu

- Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựachuẩn; thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định suy rộngcho phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn; những kếtquả này là mở rộng những kết quả đã có trong tài liệu tham khảo chính

- Kết quả chính của đề tài đã gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoahọc năm 2018 - 2019 của Trường Đại học Đồng Tháp và đã được báo cáotrong sinh hoạt chuyên môn của Bộ môn Giải tích - Toán ứng dụng

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu

Báo cáo tổng kết của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và giảngviên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và chonhững ai quan tâm đến tính siêu ổn định của phương trình hàm trong không giantựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực tư duy Toán học,chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toánhọc, Trường Đại học Đồng Tháp

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM

DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness

SUMMARY

1 General information

Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of

gen-eral linear equations in quasi-normed spaces

gen To construct some illustrated examples for the obtained results

3 Creativeness and innovativeness:

The topic has detailed the international article so the science is not high

4 Research results:

- Some notions and basic properties of quasi-nomred spaces were presented;Certain conditions for the generalized hyperstability of general linear equations inquasi-normed spaces were stated and proved; Certain particular cases for the gen-eralized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces were de-duced

- The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s tific Research Conference of Dong Thap University It was also presented in the

Scien-Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics.

f(x + y) = f (x) + f (y), x, y ∈ R.

Những kết quả về tính ổn định và tính siêu ổn định của phương trình hàm tuyếntính đã đạt được trong các bài báo [1], [11] Một số kết quả về tính siêu ổn địnhđược công bố lần đầu trong [3] và có liên quan đến đồng cấu vành Tuy nhiên thuậtngữ suy rộng được sử dụng lần đầu trong bài báo [8] Năm 1978, Rassias [12] đãđưa ra tính ổn định của ánh xạ tuyến tính trong không gian Banach Năm 2013Brzde¸k [4] đã đưa ra tính ổn định của phương pháp cộng tính và điểm bất độngcủa phương trình tuyến tính tổng quát Năm 2014 Piszczek [11] đã đưa ra một chú

ý quan trọng về tính siêu ổn định của phương trình tuyến tính tổng quát Định líđiểm bất động là một trong những công cụ để nghiên cứu tính ổn định của phươngtrình hàm Nhiều định lí điểm bất động đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạkhác nhau

Gần đây, lớp hàm tuyến tính tổng quát g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) được sựquan tâm nghiên cứu và đã thu được những kết quả về sự tồn tại, cách xác định vàtính duy nhất của nó Trong bài báo [1], các tác giả đã sử dụng định lí điểm bấtđộng của Brzde¸k để chứng minh một số kết quả tổng quát về tính siêu ổn định củahàm tuyến tính tổng quát trong không gian định chuẩn Định lí điểm bất động đãđược mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ, các không gian khác nhau và ứng dụng nhiều

trong Toán học Không gian định chuẩn cũng đã được mở rộng thành không giantựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt Nhiều mô hình về không giantựa chuẩn đóng vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lí lí thuyết và được sự quantâm của nhiều tác giả trong thời gian gần đây.

Những kết quả về tính ổn định trong bài báo [1] có thể được thiết lập và chứngminh trong lớp các không gian tựa chuẩn Từ đó, tính siêu ổn định của phươngtrình tuyến tính tổng quát có thể áp dụng được trong những mô hình không giankhông chuẩn hóa

2 Tính cấp thiết của đề tài

Trên cơ sở tình hình nghiên cứu tổng quan trong và ngoài nước nêu trên, chúngtôi nhận thấy rằng những vấn đề mở đặt ra trong tài liệu [1] đang định hướngnghiên cứu và áp dụng cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyếntính tổng quát có thể áp dụng được trong những mô hình không gian không chuẩnhóa Tuy nhiên, nhiều kĩ thuật trong [1] được trình bày cô đọng, những trường hợpriêng chưa được trình bày chi tiết và các ví dụ minh họa chưa được thiết lập cụ thể

Vì vậy, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng của phươngtrình tuyến tính tổng quát trong bài báo [1] trên không gian tựa chuẩn

Kết quả của đề tài góp phần làm rõ và đa dạng những nội dung cơ bản về tínhsiêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựachuẩn Báo cáo khoa học của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên vàgiảng viên Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp trong quá trìnhgiảng dạy và học tập các môn giải tích và áp dụng toán học

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Đề xuất và chứng minh một số kết quả cho tính siêu ổn định của phươngtrình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

- Xây dựng ví dụ minh họa và áp dụng của tính siêu ổn định của phương trìnhtuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

4 Cách tiếp cận

Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về tính siêu ổn định suy rộng trong và ngoàinước liên đến đề tài, bằng cách tương tự hóa những kết quả đã có, đề xuất kết quả mới

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với các thành viên trongnhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổngquát trong không gian tựa chuẩn thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động

7 Nội dung nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm:

- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn

- Một số kết quả cho trường hợp riêng liên quan đến phương tình tuyến tínhtổng quát trong không gian tựa chuẩn.

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian tựa chuẩn

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm tựa chuẩn, không gian tựa chuẩn

và một số tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 ([7]) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, κ ≥ 1

và k.k : X → R+ là một ánh xạ từ X vào trường số thực dương sao cho với mọi

2 k.k được gọi là p-chuẩn trên X và không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) được gọi

là không gian p-chuẩn nếu tồn tại 0 < p ≤ 1 sao cho

kx + ykp ≤ kxkp+ kykp

với mọi x, y ∈ X

3 Dãy {xn}n được gọi là hội tụ đến x nếu lim

n→∞kxn− xk = 0, kí hiệu là lim

n→∞xn=x

4 Dãy {xn}n được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞kxn− xmk = 0

5 Không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) được gọi là tựa Banach nếu mỗi dãy Cauchy

là một dãy hội tụ

6 Không gian tựa chuẩn (X , k.k, κ) được gọi là p-Banach nếu nó là một không

gian p-chuẩn và không gian tựa Banach

Các ví dụ sau minh họa cho khái niệm không gian tựa chuẩn

Ví dụ 1.1.2 Với X = R ta có ||x|| = |x| Khi đó ||.|| là một tựa chuẩn và (R, ||x||, κ)

là một không gian tựa chuẩn với κ = 1

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X và a ∈ K = R ta có

1 ||x|| = 0 ⇔ |x| = 0 ⇔ x = 0

2 ||ax|| = |ax| = |a| · |x| = |a| · kxk

3 ||x + y|| = |x + y| ≤ |x| + |y| = kxk + kyk

Ví dụ 1.1.3 ([9]). 1 Với 0 < p ≤ 1, ta có không gian Lebesgue Lp là khônggian tựa chuẩn với tựa chuẩn

2 Không gian Lorentz Lp,q với 0 < p, q ≤ ∞ và Lp-không gian yếu Lp,∞ với

0 < p ≤ ∞ với tựa chuẩn

nếu 0 < q < ∞

sup

t >0

t1p f∗(t) nếu q = ∞trong đó f ∈ Lp,q hoặc f ∈ Lp,∞ và

f∗(t) = inf{λ > 0 : µ x ∈ Ω : | f (x)| > λ
≤ t}

Định nghĩa 1.1.4 ([5]) Cho X là tập khác rỗng và s ≥1 là một số thực cho trước

và hàm d : X × X → R+ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X , ta có

1.2 Một số kết quả bổ trợ

Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả được sử dụng để nghiên cứutính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng quát trong không giantựa chuẩn

Hệ quả 1.2.1 ([6], Định lí 2.1 trang 135) Giả sử rằng

1 U là một tập vô hạn, (Y, k.k , κ) là một không gian tựa Banach vàT : YU →

YU là một hàm số cho trước, ở đây YU là họ các ánh xạ từ U vào Y

2 Tồn tại f1, , fk : U → U và L1, , Lk : U → R+ sao cho với mọi ξ , µ ∈ YU

tồn tại và hàm số ψ : U → Y được định nghĩa là một điểm bất động của T

với mọi x, y ∈ Y Khi đó Dd là một metric trên Y thỏa mãn

1

4d

θ(x, y) ≤ Dd(x, y) ≤ dθ(x, y) (1.9)

với mọi x, y ∈ Y Nếu d là một metric thì θ = 1 và Dd = d.

Bổ đề 1.2.3 ([11], Bổ đề 4.7 trang 91) Giả sử rằng X là một không gian tuyến tính

trên trường F, Y là một không gian tuyến tính trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈

K và g : X → Y thỏa mãn

với mọi x, y ∈ X \{ 0} Khi đó g thỏa mãn phương trình

với mọi x, y ∈ X

CHƯƠNG 2

TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN TỰA

CHUẨN

2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính

tổng quát trong không gian tựa chuẩn

Trong mục này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số kết quả về tínhsiêu ổn định của phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

Định lí 2.1.1 Giả sử rằng (X , k.k , κX) là một không gian tựa chuẩn trên trường F,

(Y, k.k , κY) là một không gian tựa Banach trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈ K

với mọi x, y ∈ X \{ 0} Khi đó g thỏa mãn phương trình

h(−1

bmx) ≤ s(−

1

bm)h(x).

Λm: RX\{0}+ → RX\{0}+ được xác định bởi

Λmη (x) := κY|A|η(1

a(m + 1)x) + κY|B|η(−1

bmx)với mọi η ∈ RX+\{0}, x ∈ X \{0} Ta thấy Λmη (x) có dạng (1.4) với k = 2 và

Bằng cách sử dụng qui nạp toán học, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng với mỗi x ∈

Áp dụng (2.7) ta thấy (2.8) đúng với n = 0 Giả sử rằng (2.8) đúng với n = t, nghĩalà

với mọi x ∈ X \{0} và m ∈ M0 Vậy (1.3) được thỏa mãn.

Do đó, với mỗi m ∈ M0, theo Hệ quả 1.2.1 tồn tại Gm: X \{0} → Y là một điểmbất động củaT , nghĩa là Gm thỏa mãn phương trình

Gm(x) = AGm(1

a(m + 1)x) + BGm(−1

bmx)sao cho

kg(x) − Gm(x)kθ

(1.6)

≤4

với mọi x ∈ X \{0} Hơn nữa theo (1.5) ta có

Điều này chứng tỏ (2.14) đúng với r + 1 Vậy (2.14) đúng.

Tiếp theo, với mỗi x, y ∈ X \{0} và n ∈ N ta có

m→∞kg(x) − Gm(x)k = 0 Do đó

lim

Lấy giới hạn khi n → ∞ trong (2.18) và sử dụng (2.22) ta có

Dd(g(ax + by), Ag(x) + Bg(y))

= lim

m→∞Dd(Gm(ax + by), AGm(x) + BGm(y))

= 0

Do đó ta có

g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)với mọi x, y ∈ X \{0} Vậy g thỏa mãn (2.4)

Bằng cách sử dụng Định lí 2.1.1 và Bổ đề 1.2.3, ta được kết quả sau

Định lí 2.1.2 Giả sử rằng (X , k.k , κX) là một không gian tựa chuẩn trên trường F,

(Y, k.k , κY) là một không gian tựa Banach trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈ K,

và h: X → R+ là một hàm số sao cho (2.1) là một tập vô hạn, trong đó

s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mọi x ∈ X }

với n ∈ F\{0} sao cho

lim

n→∞s(n) = 0 và lim

Giả sử rằng g : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức

kg(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)k ≤ h(x) + h(y) (2.24)

với mọi x, y ∈ X \{ 0} Khi đó

với mọi x, y ∈ X

Chứng minh. Vì g thỏa mãn bất đẳng thức sau

kg(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)k ≤ h(x) + h(y)với mọi x, y ∈ X \{0} Theo Định lí 2.1.1 ta có

g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)với mọi x, y ∈ X \{0} Theo Bổ đề 1.2.3 thì

g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)với mọi x, y ∈ X

Nhận xét 2.1.3 Nếu g thỏa mãn bất đẳng thức (2.24) với A = B = 0 thì g(ax+ by) = 0

với mọi x, y ∈ X Khi đó g(x) = 0 với x ∈ X

Chứng minh. Định lí 2.1.1, ta có g(ax + by) = 0 với mọi x, y ∈ X Cho y = 0 tađược g(ax) = 0 Chọn x = 1

đã có trong tài liệu tham khảo [1]

Hệ quả 2.2.1 ([1], Định lí 2.1) Giả sử rằng (X , k.k) là một không gian định

chuẩn trên trường F, (Y, k.k) là một không gian Banach trên trường K, a, b ∈

kg(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)k ≤ h(x) + h(y)

với mọi x, y ∈ X \{ 0} Khi đó g thỏa mãn phương trình

g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)

với mọi x, y ∈ X \{ 0}.

Chứng minh. Áp dụng Định lí 2.1.1 với κX = κY = 1.

Hệ quả 2.2.2 Giả sử rằng (X , k.k) là một không gian định chuẩn trên trường

F, (Y, k.k) là một không gian Banach trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈ K, và

h: X → R+ là một hàm số sao cho (2.1) là một tập vô hạn, trong đó

s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mọi x ∈ X }

với n ∈ F\{0} sao cho

lim

n→∞s(n) = 0 và lim

n→∞s(−n) = 0

Giả sử rằng g : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức

kg(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)k ≤ h(x) + h(y)

với mọi x, y ∈ X \{ 0} Khi đó

g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)

Hệ quả 2.2.3 Giả sử rằng X là một không gian tựa chuẩn trên trường F, Y là

một không gian tựa Banach trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈ K, c ≥ 0, p < 0 và

g: X → Y thỏa mãn bất đẳng thức sau

kg(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)k ≤ c(kxkp+ kykp) (2.26)

với mọi x, y ∈ X \{ 0} Khi đó g thỏa mãn phương trình (2.25).

Chứng minh. Với p < 0 chúng ta định nghĩa hàm h : X → R+ bởi

với mọi x ∈ X \{0}, c ≥ 0 Khi đó, (2.26) trở thành

kg(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)k ≤ h(x) + h(y)với mọi x, y ∈ X \{0} Ta xét hai trường hợp sau

KẾT LUẬN

Đề tài đã đạt được các kết quả sau

-Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn

và tựa Banach

- Đề tài đã thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của

phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn: Định lí ??, Định lí ?? Áp dụng những kết quả này chúng tôi thu được các trường hợp đặc biệt: Hệ quả ??,

Hệ quả ??, Hệ quả ??, Hệ quả ??.

[1] L Aiemsomboon and W Sintunavarat On generalized hyperstability of a

general linear equation Acta Math Hungar., 149(2):413–422, 2016.

[2] M Boriceanu, M Bota, and A Petrus¸el Multivalued fractals in b-metric

spaces Cent Eur J Math., 8(2):367–377, 2010.

[3] D G Bourgin Approximately isometric and multiplicative transformations

on continuous function rings Duke Math J., 16(2):385–397, 1949.

[4] J Brzde¸k Stability of additivity and fixed point methods Fixed Point

The-ory Appl., 2013:285:1–9, 2013

[5] S Czerwik Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces

Atti Sem Math Fis Univ Modena, 46:263–276, 1998

[6] N V Dung and V T L Hang The generalized hyperstability of general

linear equations in quasi-Banach spaces J Math Anal Appl., 462(1):131–

147, 2018

[7] N Kalton Quasi-Banach spaces In W B Johnson and J Lindenstrauss,

editors, Handbook of the geometry of Banach spaces, volume 2, pages 1099–

1130 Elsevier, 2003

[8] G Maksa and Z Páles Hyperstability of a class of linear functional

equa-tions Acta Math Acad Paedagog Nyházi, 17(2):107–112, 2001.

24