Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn c[r]
Trang 1Bài 1 Cho đường tròn (O), bán kính R = 15cm, dây AB = 24cm Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại M và cắt AB tại H
1) Tính các tỉ số lượng giác của góc O trong tam giác vuông HAO
2) Tính AM
3) Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 2: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän KÎ c¸c ®-êng cao AK,
BN, CM c¾t nhau t¹i H Gäi E lµ trung ®iÓm c¹nh BC
a) Chøng minh r»ng 4 ®iÓm A, M, H, N cïng n»m trªn 1 ®-êng trßn ®-êng kÝnh AH
b) Chøng r»ng · ANO = HNE · vµ NE lµ tiÕp tuyÕn ®-êng trßn t©m O
®-êng kÝnh AH
c) NÕu H lµ trung ®iÓm cña AK Chøng minh tgB.tgC = 2
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 9cm, AC = 12cm, đường cao AH (H ∈ BC) a/ Tính AH
b/ Vẽ đường tròn tâm B, bán kính AB cắt tia AH tại D.Chứng minh rằng: CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)
c/ Kéo dài AB cắt đường tròn (B) tại E Chứng minh rằng: DE // BC
Bài 4 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B) Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N
1 Chứng minh AE BN = R2
2 Kẻ MH vuông góc By Đường thẳng MH cắt OE tại K Chứng minh AK ⊥ MN
3 Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O) Trong trường hợp này hãy tính Sin MAB ?
Bài 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A, B là tiếp điểm)
Cho biết góc AMB bằng 400
a/ Tính góc AOB
b/ Từ O kẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N.Chứng minh tam
giác OMN là tam giác cân
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C và D
a/ Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông
b/ Chứng minh: MC.MD=OM2
c/ Cho biết OC=BA=2R, tính AC và BD theo R
Bài 7 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và đường kính BC của đường tròn (O’) Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại
M và N
a/ Đường thẳng CM cắt (O’) tại C và P Chúng minh: OM//BP
b/ Từ C kẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D Chứng minh: Tam giác OCD là tam giác cân
Bài 8: Cho hai đường tròn (O,R) và (O/,R/) cắt nhau tại A và B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O/,R/) Biết R=12cm, R/=5cm
a/ Chứng minh: O/A là tiếp tuyến của đường tròn (O,R)
b/ Tính độ dài các đoạn thẳng OO/, AB
Bài 9: Cho đường tròn tâm O bán kính R=6cm và một điểm A cách O một khoảng 10cm Từ A
vẽ tiếp tuyến AB (A là tiếp điểm)
Trang 2a/ Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB
b/ Vẽ cát tuyến ACD, gọi I là trung điểm của đoạn CD Hỏi khi C chạy trên đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ?
Bài 10 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O,R) và (O,r) Dây AB của (O,R) tiếp xúc với (O,r) Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai của (O,r) cắt (O,R) tại C và D (D ở giữa E và C)
a/ Chứng minh: EA=EC b/ Chứng minh: EO vuông góc với BD
c/ Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O,R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O,r) ?
Bài 11 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường tròn đó
H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB
a/ Khi AH=2cm, MH=4cm Hãy tính độ dài các đoạn thẳng: AB, MA, MB
b/ Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O) Hãy xác định vị trí của M để biểu thức:
MA + MB có giá trị nhỏ nhất
c/ Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến của (O) tại A ở D, OD cắt AM tại I Khi điểm
M di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ?
1 Cho (O) và một dây cung CD Từ O kẽ tia vuông góc CD tại M cắt (O) tại H Tính bán kính R của (O) biết:
CD=16cm và MH=4cm
2 Cho (O; 2cm), MN là một dây cung của đường tròn có độ dài bằng 2cm Khi đó khoảng cách từ O đến MN là
bao nhiêu?
3 Cho (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho góc NID bằng 300
Tính
MN
4 Cho đường tròn (O) và cung BC có số đo là 600 Từ B kẽ dây BD vuông góc đường kính AC và từ D kẽ dây
DF //AC Tính số đo cung DC; AB; FD
6 Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB bằng hai lần số đo cung AnB
a Tính số đo hai cung trên
b Tính các góc của ∆AOB
c Tính khoảng cách từ O đến AB
7 Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB bằng ba lần số đo cung AnB
a Tính số đo hai cung trên
b Tính các góc của ∆AOB
c Tính khoảng cách từ O đến AB
1) Cho đường tròn (O), đường kính AB Gọi I là trung điểm OA, vẽ đường tròn tâm I bán kính IA.Trên đường tròn (I) lấy điểm M, tia AM cắt (O) tại điểm thứ hai N
a) Hai đường tròn (O) và (I) có vị trí như thế nào ?
b) Chứng minh IM // ON
c) Tìm vị trí của điểm M để BM là tiếp tuyến của đường tròn (I)
2) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB) Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D
a) Chứng minh góc COD vuông
b) Chứng minh CD = AC + BD
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
d) Gọi I là giao điểm của AD và BC Chứng minh MI ⊥ AB
3) Cho hình vuông ABCD cạnh a vẽ đường tròn (A a) Trên BC lấy điểm M, từ M vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt cạnh CD tại N
a) Chứng minh chu vi tam giác CMN bằng 2a
b) Tìm số đo góc MAN
4) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi I là trung điểm của AO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OA a) Tứ giác ACOD là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh tam giác BCD đều
c) Tính chu vi và diện tích tam giác BCD theo R
5) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi I là trung điểm của BO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OB
Trang 3Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia AB tại E
a) Tính độ dài OE theo R
a) Tứ giác ACED là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O)
c) Chứng minh B là trực tâm tam giác CDE
6) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A, AH) Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D,
E khác điểm H) Chứng minh rằng :
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
7) Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’) Kẻ các đường kính AB với (O), AC với (O’) Gọi M là trung điểm của BC , qua M kẻ dây DE ⊥ BC
a) Tứ giác BDCE là hình gì ? Tại sao ?
b) CE cắt (O’) tại điểm thứ hai là F Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng
c) Chứng minh EA ⊥ CD tại một điểm nằm trên đường tròn (O’)
8) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC , B∈ (O), C∈ (O’) kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I
BAC = 90 b) Tính số đo góc OIO’
c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm
9) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE , D∈ (O), E∈ (O’) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt ED tại I Gọi M là giao điểm của OI với AD, N giao điểm AE với O’I
a) Từ giác AMIN là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh hệ thức IM IO = IN IO’
c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
d) Tính độ dài DE theo R và R’
10) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến của (O’)tại A cắt (O) tại điểm thứ hai là C, tiếp tuyến của (O)tại A cắt (O’) tại điểm thứ hai là D Gọi M là trung điểm của OO’, I là điểm đối xứng của A qua M, E là điểm đối xứng của A qua B Chứng minh rằng :
a) IB ⊥ AB
b) Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn
11) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N
a) Chứng minh OM = OP và ΔNMP cân
b) Hạ OI ⊥ MN Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O)
c) Chứng minh AM BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất Vẽ hình minh họa
12) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC, với B∈(O),
C∈(O’) Tiếp tuyến chung trong cắt AB tại M
b) MO cắt AB ở E, MO’ cắt AC ở F Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật
d) Gọi S là trung điểm của OO’ Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (S) đường kính OO’ 13) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BDcắt nhau tại E
Kẻ EF vuông góc AD Chứng minh a/ Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b/ Tia CA là phân giác BCF
c/ Cho BAD=600 Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB của nửa đường tròn theo R
14/Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a/ Chứng minh các tứ giác ABDE, HDCE nội tiếp
b/ Chứng minh BED = BCF c/ AD cắt cung BC tại M Chứng minh tam giác BHM cân
15 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp
tuyến d của đường tròn Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB
a) So sánh CE và CF
b) Chứng minh rằng AC là tia phân giác góc BAE c) Chứng minh rằng CH2
= AE BF
16 Cho đường tròn (O) bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA
Trang 4a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến này cắt đuờng thẳng OA tại I Tính độ dài CI biết OA=R