Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây:.. 1..[r]
Trang 1Chủ đề: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH- BPT VÀ HPT
I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:
Xột phương trỡnh f x( )=0 1 ( ) (x∈D) với D là một khoảng cho trước
Để vận dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh, ta cú một số hướng biến đổi
(tương ứng với 3 dạng thụng dụng) sau đõy:
1 Đối với loại phương trỡnh cú 3 hướng để giải quyết:
Dạng 1: Dạ ng ( )F x =0, vớ i ( ) hoặF x c đồng biến, hoặc nghịch biến trên D
Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng: ( ) = F x 0
Bước 2: Xột hàm số y=F x ( )
Chỉ rừ hàm số y=F x ( ) đồng biến hay nghịch biến trờn D
Bước 3: Đoỏn được F x( )0 =0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất x=x 0
Dạng 2: Ph- ơng trình (1) có: ( ) đồng biến trên D hoặ( c ng- ợ c lạ i )
( ) nghịch biến trên D
F x
G x Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng : ( ) F x =G x (1) ( )
Bước 2: Xột hai hàm số y= f x và ( ) y=g x ( )
Chỉ rừ hàm số y=F x ( ) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y=G x là hàm ( )
nghịch biến (đồng biến) Bước 3: Đoỏn được F x( )0 =G x( )0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất
0
=
x x
Dạng 3: Dạ ng ph- ơng trình ( )F u =F v( ) (* ), vớ i ( ) hoặF x c đồng biến,
( )
hoặc nghịch biến trên a b; Lúc đó, (* ) có nghiệm duy nhất u=v Bước 1: Đưa phương trỡnh về dạng ( ) F u =F v (1) ( )
Bước 2: Xột hàm số: y=F t ( )
Chỉ rừ hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn ( )a b ;
Bước 3: Khi đú: ( ) F u =F v( )⇔ =u v
Nhận xột:
+ Định lớ về tớnh đơn điệu trờn đoạn:
“ Nếu hàm số y= f x( ) liờn tục trờn [ ]a b ; và cú đạo hàm /( )
0
f x > trờn khoảng ( )a b ;
thỡ hàm số y= f x( ) đồng biến trờn [ ]a b ” ;
+ Đối với bất phương trỡnh, hệ phương trỡnh, tư duy vận dụng tớnh đơn điệu hoàn toàn tương tự như trờn
II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Loại 1: Vận dụng tớnh đơn điệu để giải phương trỡnh
Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) 4x− +1 4x2− =1 1 b) 3 sin+ x− 2 sin− x =1
Trang 2Hướng dẫn giải:
a) 4x− +1 4x2− =1 1
Điều kiện: 4 2 1 0
4 1 0
− ≥
− ≥
x x
1 2
⇔ ≥x
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số 2
4 1 4 1
= − + −
1
=
y
Xét hàm số 2
4 1 4 1
= − + −
y x x Miền xác định: 1;
2
= +∞
Đạo hàm /
2
0
2
4 1 4 1
= + > ∀ >
x
Do hàm số liên tục trên 1;
2
+∞
nên hàm số đồng biến trên 1;
2
+∞
Dễ thấy 1
2
=
x thỏa (1) Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 1
2
=
x
b) 3 sin+ x− 2 sin− x =1 TXĐ: D R=
Đặt t =sinx , điều kiện t ≤1
Khi đó phương trình có dạng : 3+ −t 2− =t 1⇔ 3+ = +t 1 2−t (2)
Dễ thấy:
+ Hàm số ( )f t = 3+t là hàm đồng biến trên D= −[ 1;1]
+ Hàm số ( ) 1g t = + 2−t là hàm nghịch biến trên D= −[ 1;1]
Từ (*) suy ra : ( )f t =g t ( ) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy t =1 là thỏa phương trình (2), do đó: sin 1 2
2
= ⇔ = +
c) x− = − −1 x3 4x+5 (3)
TXĐ: D= +∞ [1; )
Xét hàm số ( )f x = x−1 có /( ) 1 0 1
2 1
= > ∀ >
−
x nên hàm số đồng biến trên (1;+∞ )
Và hàm số 3
( )= − −4 +5
g x x x Đạo hàm : / 2
3 4 0
= − − < ∀ ∈ ⇔
y x x D hàm số nghịch biến
trên D
Phương trình (3) có dạng ( )f x =g x ( ) Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm
đó là duy nhất Ta thấyx=1 thoả mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm x=1
d) x+ x2− + −x 1 x+ +1 x2+ + =x 1 1
Điều kiện:
2
2
1 0
+ − + ≥
+ + + + ≥
2
2
1
− + ≥ −
⇔
+ + ≥ − −
Trang 3+ Với
2 2
0
1 0 1
0 1
− ≤
− + ≥
− + ≥ − ⇔ − ≥
− + ≥
x
x
0 0
≥
⇔ ≤x ⇔ ∀x x
+ Với
2 2
1 0
1 0
1 0
1 2 1
− − ≤
+ + ≥
+ + ≥ − − ⇔ − − ≥
+ + ≥ + +
x
x
1 1
≥ −
⇔ ≤ −x ⇔ ∀x
x Vậy =D R
Biến đổi phương trình về dạng : 2 2
1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 + − + = + + + + − + +
⇔ x+ x2− + + =x 1 x (x+ +1) (x+ +1) (x+1)2− + +(x 1) 1 (4) Xét hàm số 2
( )= + − +1
f t t t t Miền xác định =D R
Đạo hàm : ( )/
2
2 /
( )
+ − + − + + −
+ − + + − + − +
f t
Nhận xét :
2 t − + + − =t 1 2t 1 4t − + + − =4t 4 2t 1 (2t−1) + + − >3 2t 1 2t− + − ≥1 2t 1 0 /
( ) 0
⇒ f x > ∀ ⇔x hàm số đồng biến trên D
Khi đó: (*)⇔ f x( )= f x( + ⇔ = +1) x x 1vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) ( ) 3 2 1
2 3
1
5
− −
− + + + =
x x
2x− −2x −x = −1
x
c) 8sin 5 4sin 1 1 1
8sin 5 4sin 1
Hướng dẫn giải:
a) ( ) 3 2 1
2
3
1
5
− −
− + + + =
x x
Điều kiện: 2
3 2 0
− + ≥
2
≤
⇔ ≥
x
3 2 0
Lúc đó : 2 2
3x−x − = −1 1 u Khi đó : (1)
2
1 3
1 log ( 2) 2
5
−
⇔ + + =
u
Xét hàm số:
2
1 3
1 ( ) log ( 2)
5
−
= + +
x
f x x Miền xác định: D=[0;+∞)
Trang 4Đạo hàm : / 1 1 2
( ) 2 5 ln3 0 ( 2) ln3 5
+
x
Suy ra hàm số đồng biến trên D
Mặc khác: (1) 2f = Do đó (2) có dạng : ( )f u = f(1) ⇔ =u 1: 3 5 3 5
= ∨ =
b) 2x−1−2x2−x =( −1)2
x TXĐ: D R= Biến đổi phương trình về dạng : 1 2 2
2x− + − =1 2x −x+ −
Xét hàm số ( ) 2= +t
f t t Miền xác định : =D R
Đạo hàm : /
( )=ln2.2t + >1 0 ∀ ∈
f t t D Suy ra hàm số đồng biến trên D
Từ (2) có dạng 2
( − =1) ( − )
f x f x x ⇔ − =x 1 x2− ⇔ =x x 1 Vậy x=1là nghiệm của phương trình
c) 8sin 5 4sin 1 1 1
8sin 5 4sin 1
x x Điều kiện:
1 sin
4 5 sin
8
≠
≠
x
x
Biến đổi phương trình về dạng: 8sin 5 1 4sin 1 1
8sin 5 4sin 1
Xét hàm số ( )= −t 1
f t e
t Miền xác định: D=(0;+∞) Đạo hàm : /
2
1 ( )= +t >0 ∀ ∈
t Suy ra hàm số đồng biến trên D
Từ (*) có dạng : f (8sinx−5) (= f 4sinx−1)⇔ 8sinx− =5 4sinx−1
8sin 5 4sin 1 8sin 5 1 4sin
− = −
⇔ − = −
sin 1
1 sin
2
=
⇔
=
x x
2 2
5
= +
⇔
= + ∨ = +
Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) x+ +9 2x+ >4 5 b) x2 −2x+ −3 x2−6x+11> 3− −x x−1
Hướng dẫn giải:
a) x+ +9 2x+ >4 5 (1) Điều kiện: 9 0 2
2 4 0
+ ≥
⇔ ≥ −
+ ≥
x
x x
Xét hàm số y= f x( )= x+ +9 2x+4 Miền xác định : D= − +∞[ 2; )
Trang 5Đạo hàm / 1 1
2 9 2 4
= + > ∀ > −
x x Suy ra hàm số đồng biến trên D
Để ý rằng: (0) 5f = , do đó:
+ Nếu x>0 thì ( )f x > f(0)⇔ x+ +9 2x+ >4 5, nên x>0 là nghiệm bpt
+ Nếu 2− ≤ ≤x 0 thì ( )f x ≤ f(5)⇔ x+ +9 2x+ ≤4 5 nên 2− ≤ ≤x 0 không là nghiêm bpt
Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là T =(0;+∞ )
b) x2−2x+ −3 x2−6x+11> 3− −x x−1 (2)
Điều kiện:
2 2
2 3 0
6 11 0
1 3
3 0
1 0
− + ≥
− + ≥
− ≥
− ≥
x x
x
(*)
Biến đổi bất phương trình: 2 2
⇔ x − x+ + x− > x − x+ + −x
⇔ (x−1)2+ +2 x− >1 (3−x)2+ +2 3−x (3)
Xét hàm số 2
( )= + +2
f t t t Ta thấy hàm số đồng biến trên [ ]1;3
Từ (3) ta có (f x− >1) f(3−x)⇔ − > − ⇔ >x 1 3 x x 2
Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là T =(2;3]
Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 4
1
− − = −
− =
2
2
+ + = +
+ + = +
c)
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1
+ − + − + =
+ − + − + =
+ − + − + =
Hướng dẫn giải:
a)
3 4
1
− − = −
− =
x y (I) Điều kiện: 1 0 1
− ≥ ≥
⇔
≥ ≥
Ta có (I) ( )
4
1
− − − = −
⇔
− =
Từ phương trình : ( )2 3
− − − = −
x x x ⇔ x− = − +1 x3 x2−2x+2 (1)
Ta thấy hàm số ( )f x = x−1 là hàm đồng biến trên [1;+∞ )
Xét hàm số 3 2
( )= − + −2 +2
g x x x x Miền xác định: D= +∞[1; )
Trang 6Đạo hàm / 2
( )= −3 +2 − <2 0 ∀ ∈
g x x x x D Suy ra hàm số nghich biến trên D
Từ (1) ta thấy x=1là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm ( )1;0
b)
2
2
+ + = +
+ + = +
(II) Điều kiện: 0
0
≥
≥
x y
Ta có (II)
2
2
+ + = +
⇔
+ = + +
Cộng vế theo vế ta có: 2 2
3+x +3 x+ =3 3+y +3 y+3 (2) Xét hàm số 2
( )= 3+ +3 +3
f t t t Miền xác định: D= +∞[1; )
Đạo hàm: /
2
3
2 3
= + + > ∀ ∈ +
t
t
t Suy ra hàm số đồng biến trên D
Từ (*) ta có ( )f x = f y( )⇔ =x y
Lúc đó: 2
3+x + x =3 (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D
+ VP (3) là hàm hằng trên D
Ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm x=1là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm ( )1;1
c)
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1
+ − + − + =
+ − + − + =
+ − + − + =
Xét hàm số 3 ( 2 )
( )= + − +3 3 ln − +1
Lúc đó hệ có dạng:
( ) ( ) ( )
=
=
=
f x y
f y z
f z x
Miền xác định: =D R
Đạo hàm : / 2
2
2 1
−
= + + > ∀ ∈
− +
t
t t
Suy ra hàm số đồng biến trên D
Ta giả sử (x y z; ; )là nghiệm của hệ và x=max{x y z , , } khi đó ta suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
= ≥ = ⇒ = ≥ =
y f x f y z z f y f z x Vậy ≥ ≥ ≥ ⇔ = =x y z x x y z
Thay vào hệ ta có : 3 ( 2 )
3 3 ln 1 + − + − + =
2 3 ln 1 0
⇔ x + x− + x − + =x (3)
Ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R)
Vậy hệ có nghiệm (1;1;1 )
Trang 7III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 3− +x x2 − 2+ −x x2 =1 b) x− = − +3 x3 3x2+ −x 12
c) 2x− +1 x2+ = −3 4 x d) 2 1 1 1 1
2 1 1
e) 2 6 4 3 ( 2)
2m x+ −2 x+ m = 4− +3 −6
tan +2.3 x =3
x
g) 2 2 2
4 sin sin cos
sin
2 −2 =
3 x− + 3sin −10 3 x− + −3 sin =0
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) x+ x2− ≥1 1 b) 2 ( )( )
− + − ≥ + −
c) x+ ≤ −1 1 2x+x2−x 3 d) x+3 x− ≥ −3 9 x
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) 22 2 2
12
− = −
+ + =
y x
2 2
4 1 ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
+ + − − =
c)
2
2
+ + + = + +
+ + + = + +
d) 2 2
4 25
=
+ =
e)
sin2 2 sin2 2
2 3
, 0
π
+ =
>
x y
f)
2
3 2
3 2
3
2 6.log 6
2 6.log 6
2 6.log 6
− + − =
g)
tan tan
− = −
+ − = − +
sin sin
10 1 3 2
5 , 4
π π
−
=
+ = +
< <
e
y
x y