Bài 5. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của biến cố lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

A. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau.. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho[r]

Câu 1 [1D2-5.1-1] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Gọi là số các kết quả thuận lợi cho biến

Câu 2 [1D2-5.2-1] (Nguyễn Du số 1 lần3) Với các chữ “LẬP”, “HỌC”, “MAI”, “NGÀY”,

“NGHIỆP”, “TẬP”, “VÌ”, mỗi chữ được viết lên một tấm bìa, sau đó người ta trải ra ngẫu

nhiên Xác suất để được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” bằng:

Số phần tử không gian mẫu khi xếp ngẫu nhiên 7 miếng bìa là n    7!

Số cách xếp để được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” là n A   1

2, 4,6

 A  n A 3

.Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là:

Câu 5 [1D2-5.2-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong một lớp học gồm 15 học sinh

nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập Tính xác suất để 4học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?

Câu 6 [1D2-5.2-2] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh

nữ Chọn ngẫu nhiên một học sinh Tính xác suất chọn được một học sinh nữ

viên bi xanh đánh số từ 1 đến 6 Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai viên bi từ hộp đó sao chochúng khác màu và khác số?

Lời giải Chọn A

Gọi x là số lần viên bi đỏ được chọn.

Gọi y là số lần viên bi xanh được chọn

Câu 8 [1D2-5.2-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ Lấy

ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là

TH2: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu đỏ, có C 55 1 cách.

273

.Vậy xác suất cần tìm là

250

273.

Câu 9 [1D2-5.2-2] (Hùng Vương Bình Phước) Một tổ học sinh có 7 học sinh nam và 3 học sinh

nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ

A

1( )2

P A 

1( )15

P A 

3( )8

P A 

7( )8

P A 

Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân

Chọn B

Số cách chọn 2 học sinh trong 10 học sinh là C102 .

Nên số phần tử của không gian mẫu là   2

10 45

.Gọi A : “ Biến cố chọn được hai học sinh đều là học sinh nữ”

Số cách chọn 2 học sinh nữ trong 3 học sinh nữ là C32.

Khi đó số phần tử của biến cố A là   2

Câu 10 [1D2-5.2-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Lấy ngẫu nhiên một

số nguyên dương không vượt quá 10000 Xác suất để số lấy được là bình phương của một số

Số phần tử của không gian mẫu: ( ) 10000n   .

Gọi A là biến cố “Số lấy được là bình phương của một số tự nhiên”

Bình phương của một số tự nhiên có dạng: n (theo đề 2 n   ).*

Ta có 1n2 10000 1 n 100 n A( ) 100

Vậy

( )( )

100

10000

n A n

Câu 11 [1D2-5.2-2] (HSG Bắc Ninh) Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người

Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ

Số phần tử của không gian mẫu n  C102

Gọi A là biến cố 2 người được chọn đều là nữ, suy ra   2

10 2

115

đỏ và 5 quả cầu màu xanh, hộp thứ hai chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu màu xanh Lấy ngẫunhiên từ một hộp 1 quả cầu Xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu đỏ.

Câu 13 [1D2-5.2-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Một tổ học sinh có 7 nữ và 4 nam Chọn ngẫu

nhiên 2 người đi trực cờ đỏ Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nam

655

Câu 14 [1D2-5.2-2] (Ba Đình Lần2) Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ Chọn ngẫu

nhiên 5 bạn tham gia biểu diễn, xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời

số nam nhiều hơn số nữ bằng

5 7 5 7 245

n A C C C C 

Vậy xác suất cần tính là

   

 

245792

Câu 15 [1D2-5.2-2] (Kim Liên) Một người muốn gọi điện thoại nhưng nhớ được các chữ số đầu mà

quên mất ba chữ số cuối của số cần gọi Người đó chỉ nhớ rằng ba chữ số cuối đó phân biệt và

có tổng bằng 5 Tính xác suất để người đó bấm máy một lần đúng số cần gọi

Do đó xác suất để người đó bấm máy một lần đúng số cần gọi là

1

12.

Câu 16 [1D2-5.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 9) Một người đang đứng tại gốc O của trục tọa độ Oxy

Do say rượu nên người này bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dàimỗi bước bằng 1 đơn vị Xác suất để sau 10 bước người này quay lại đúng gốc tọa độ O bằng

Mỗi bước người này có 2 lựa chọn sang trái hoặc phải nên số phần tử không gian mẫu là 210.

Để sau đúng 10 bước người này quay lại đúng gốc tọa độ O thì người này phải sang trái 5 lần

và sang phải 5 lần, do đó số cách bước trong 10 bước này là C 105

Xác suất cần tính bằng

5 10 10

63

C



Câu 17 [1D2-5.2-2] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Có 8 học sinh nam, 5 học sinh nữ

và 1 thầy giáo được sắp xếp ngẫu nhiên đứng thành một vòng tròn Tính xác suất để thầy giáođứng giữa 2 học sinh nam

A

7.39

P 

B

14.39

P 

C

28.39

P 

D

7.13

P 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là: 13!

Gọi A là biến cố: “Thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam”

Bước 1: Xếp hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo có A82.

Coi hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo và thầy giáo là một người

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: A82.11!.

Vậy  

2

8.11! 14

.13! 39

A

Câu 18 [1D2-5.2-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng

chất.Tính xác suất P để hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2

36 9

Câu 19 [1D2-5.2-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Kết quả b c, 

của việc gieo một con

súc sắc cần đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, c là

số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2bx c 0

Số phần tử của không gian mẫu của phép thử gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp là 36

Để phương trình bậc hai x2bx c  có nghiệm là 0 b2 4c (*) với 0 b c , 1, 2,3, 4,5,6

.Gọi A là biến cố chọn cặp số b c; 

thỏa mãn b2 4c trong đó 0 b c , 1, 2,3, 4,5,6 .

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 2,3,4,5,6 Suy ra có: 5cặp 1 b c; 

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 3,4,5,6 Suy ra có: 2 4 cặp b c; 

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 4,5,6 Suy ra có: 3 cặp 3 b c; 

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 4,5,6 Suy ra có: 3 cặp 4 b c; 

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 5,6 Suy ra có: 5 2 cặp b c; 

 Khi c  : Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 5,6 Suy ra có: 6 2 cặp b c; 

lời Tính xác suất để học sinh nhận được 6 điểm (kết quả làm tròn đến 4 chữ số sau dấu phẩy thập phân).

Câu 21 [1D2-5.2-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Một hộp đựng 15

quả cầu trong đó có 6 quả màu đỏ, 5 quả màu xanh, 4 quả màu vàng Lấy ngẫu nhiên 6 quảcầu trong 15 quả cầu đó Tính xác suất để 6 quả lấy được có đủ ba màu

A

 : “6 quả lấy được không có đủ ba màu”

TH1: 6 quả lấy được chỉ một màu đỏ có C  cách.66 1

TH2: 6 quả lấy được có hai màu

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và xanh: có C116  C66 461 cách

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và vàng: có C106  C66 209 cách

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và xanh: có C 96 84 cách.

Vậy   1   1

1001 1001

Câu 22 [1D2-5.2-2] (Đoàn Thượng) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 300 Gọi A là biến cố

“số được chọn không chia hết cho 3 ” Tính xác suất P A   của biến cố A.

Có 300 số tự nhiên nhỏ hơn 300 nên n    300

Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 mà chia hết cho 3 là: 297 0 : 3 1 100   

Câu 23 [1D2-5.2-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Trong một hộp có 3

bi đỏ, 5 bi xanh và 7 bi vàng Bốc ngẫu nhiên 4 viên Xác suất để bốc được đủ 3 màu là

Số phần tử của không gian mẫu là:  C154 1365

TH1: Bốc được 4 viên trong đó có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng

Câu 26 [1D2-5.2-2] (TTHT Lần 4) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau

được lập từ tập hợp X 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suấtchọn được số chia hết cho 30

Câu 27 [1D2-5.2-2] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4

quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu Xác suất để lấy được 3 quả cầu màuxanh bằng

Câu 28 [1D2-5.2-2] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách lý

Lấy ngẫu nhiên ra 3 quyển sách Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyểntoán

A. 7 B. 42 C. 21 D. 42

Lời giải Chọn D.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách có:  C93 84 cách

Gọi A là biến cố: 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển toán

Suy ra A là biến cố: lấy 3 quyển sách và không có quyển nào là quyển toán

Khi đó  A C5310 Vậy

10 5

84 42

A A

x y  ¢ ) nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các điểm trên cạnh) Gọi A là biến cố: “x y,

đều chia hết cho 2” Xác suất của biến cố A là

Câu 30 [1D2-5.2-3] (Sở Hà Nam) Một chiếc hộp chứa 6 quả cầu màu xanh và 4 quả cầu màu

đỏ Lấy ngẫu nhiên từ chiếc hộp ra 5 quả cầu Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy được cóđúng 2 quả cầu màu đỏ

Lấy 2 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh nên số phần tử của biến cố A là   2 3

4 6

n A C C

Câu 31 [1D2-5.2-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Tổ toán của một trường

THPT có 4 thầy giáo và 10 cô giáo Tổ chọn ngẫu nhiên 2 giáo viên để đi tập huấn Tính xác

suất để 2 giáo viên được chọn gồm 1 thầy giáo và 1 cô giáo

P A

n n

Không gian mẫu: n    C173 .

Gọi A là biến cố chọn tập hợp con gồm 3 phần tử và có tổng chia hết cho 3

Trường hợp 1: Có 5 số trong tập S chia hết cho 3 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn.53

Trường hợp 2: Có 6 số trong tập S chia hết cho 3 dư 1 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn.36

Trường hợp 3: Có 6 số trong tập S chia hết cho 3 dư 2 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn.36

Trường hợp 4: Chọn một phần tử trong tập S chia hết cho 3, một phần tử trong tập S chia hết

cho 3 dư 1, một phần tử trong tập S chia hết cho 3 dư Suy ra có 5.6.6 cách chọn

Câu 33 [1D2-5.2-3] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm

sáu chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ

số còn lại mỗi chữ số có mặt đúng một lần Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xác suất để

số được chọn không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau

Xếp ngẫu nhiên 3 chữ số 2, 3, 4 có 3! (cách) Vì 3 chữ số 2, 3, 4 sau khi xếp sẽ có 4 vách ngăn

(gồm 2 vách ngăn giữa và 2 vách ngăn đầu) nên số cách xếp các chữ số 1 không kề nhau tương

ứng số cách xếp các chữ số 1 vào các vách ngăn là: C43 (cách).

Vậy xác suất cần tính là:

3 4

Câu 34 [1D2-5.2-3] (Chuyên KHTN) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế Xếp ngẫu

nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một

học sinh ngồi Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện một học sinh nữ

Số phần tử của không gian mẫu: n    10!.

Gọi biến cố A: “Xếp 10 học sinh vào 10 ghế sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện một

Câu 35 [1D2-5.2-3] (THPT Nghèn Lần1) Một hộp chứa 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích

thước khác nhau Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó 4 viên bi Xác suất để 4 viên bi lấy ra có đủ bamàu là

Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp có 12 viên bi thì có n( ) C124

Số cách lấy để được đủ ba màu là n A( ) 3.4. C524.5.C323.5.C42

Xác suất để 4 viên bi lấy ra có đủ ba màu bằng

4 12

Câu 36 [1D2-5.2-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Raashan, Sylvia và Ted cùng chơi một trò chơi.

Mỗi người bắt đầu với 1$ Chuông reo sau mỗi 15 giây, tại thời điểm đó mỗi người chơi màđang có tiền sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai người còn lại để đưa 1$ (Ví dụ sau khi chuông reo lần thứ nhất, Raashan và Ted có thể cùng đưa cho Sylvia 1$ và Sylvia có thể đưa tiền của

cô ấy cho Ted, khi đó Raashan có 0$, Sylvia có 2$ và Ted có 1$ Đến vòng thứ hai, Raashan không có tiền để đưa nhưng Sylvia và Ted có thể chọn đưa cho nhau 1$…) Xác suất để sau

2019 lần chuông reo, mỗi người chơi có 1$ là bao nhiêu?

Sau khi chia tiền lần đầu tiên sẽ có 8 trường hợp xảy ra như sau:

 Ted  Raashan hoặc Raashan  Ted  Sylvia  Raashan

Với mỗi trường hợp cho kết quả 1;1;1

thì lượt chơi tiếp theo sẽ có

1

4 cơ hội để số tiền mỗi người bằng nhau

Đối với trường hợp một người có 2$, một người có 1$ và người còn lại không có tiền thì lượt chơi thứ

hai sẽ có 4 trường hợp xảy ra Không mất tính tổng quát ta giả sử Raashan có 2$, Sylvia có 1$

và Ted không có tiền, ta có những cách chuyển tiền như sau:

- Raashan  Sylvia và Ted không nhận được tiền.

- Raashan  Ted  Sylvia.

- Sylvia  Raashan  Ted

Như vậy trong 4 khả năng trên chỉ có một khả năng cho kết quả 1;1;1

Câu 37 [1D2-5.2-3] (Liên Trường Nghệ An) Có 3 quyển sách toán, 4 quyển sách lý và 5 quyển sách

hóa khác nhau được sắp xếp ngẫu nhiên lên một giá sách có 3 ngăn, các quyển sách được sắp

dựng đứng thành một hàng dọc vào một trong 3 ngăn ( mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả các

quyển sách) Tính xác suất để không có bất kỳ hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau

Tổng có 3 4 5 12   quyển sách được sắp xếp lên một giá sách có 3 ngăn (có 2 vách ngăn) Vì

vậy, ta coi 2 vách ngăn này như 2 quyển sách giống nhau Vậy số phần tử không gian mẫu  là

  14!

2!

n  

Gọi A là biến cố : “ Sắp xếp các 12 quyển sách lên giá sao cho không có bất kỳ hai quyển sách

toán nào đứng cạnh nhau”

+) Xếp 9 quyển sách ( lý và hóa) cùng 2 vách ngăn có

11!

2! cách

+) Lúc này, có 12 “khoảng trống” ( do 9 quyển sách ( lý và hóa) cùng 2 vách ngăn tạo ra) để

xếp 3 quyển sách toán vào sao cho mỗi quyển vào một “khoảng trống” có A123 cách.

Vậy có tất cả

3 12

11!

.A2! cách Suy ra   3

12

11!

.A2!

11!

2!

14! 912!

Câu 38 [1D2-5.2-3] (CổLoa Hà Nội) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, tính xác suất để số được chọn lớn hơn số 6700

Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan

Chọn A

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd a 0

Số phần tử của không gian mẫu là n  9.A93 4536

.Gọi biến cố A: ‘‘Số được chọn lớn hơn số 6700’’

Câu 39 [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Tại trạm xe buýt có 5 hành khách đang chờ xe đón,

trong đó có A và B Khi đó có 1 chiếc xe ghé trạm để đón khách, biết rằng lúc đó trên xe chỉcòn đúng 5 ghế trống mỗi ghế trống chỉ 1 người ngồi như hình vẽ bên, trong đó các ghế trốngđược ghi 1;2;3;4;5 như hình vẽ

5 hành khách lên xe ngồi ngẫu nhiên vào 5 ghế còn trống, xác suất để A và B ngồi cạnh nhaubằng

+ Xếp A và B vào 2 vị trí cạnh nhau vừa chọn có 2! cách.

+ Xếp 3 người còn lại có 3! cách

Số cách xếp là 2.2!3! Xác suất cần tính bằng

2.2!3! 1

.5! 5

Câu 40 [1D2-5.2-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Gọi S là tập hợp các số tự

nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a b c 

Số phần tử của không gian mẫu n  ( ) 9.102 900

Gọi biến cố A” Chọn được một số thỏa mãn a b c  ”

Vì a b c  mà a  nên trong các chữ số sẽ không có số 0 0

TH1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số.

TH2: Số được chọn tạo bới hai chữ số khác nhau.

Câu 41 [1D2-5.2-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Trong một lớp học có hai tổ Tổ 1 gồm 8 học sinh nam và

7 học sinh nữ Tổ 2 gồm 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ hai em họcsinh Xác suất để trong bốn em được chọn có 2 nam và 2 nữ bằng

Chọn mỗi tổ hai học sinh nên số phần tử của không gian mẫu là   2 2

15.C12 6930

Gọi biến cố A: “Chọn 4 học sinh từ 2 tổ sao cho 4 em được chọn có 2 nam và 2 nữ”

Khi đó, xảy ra các trường hợp sau:

Câu 42 [1D2-5.2-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Từ một cỗ bài

tú lơ khơ gồm 52 con, lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấyđược con át thì dừng Xác suất để quá trình lấy dừng lại sau không quá ba lần bằng (làm trònđến bốn chữ số thập phân sau dấu phẩy)

Câu 43 [1D2-5.2-3] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019)

Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu trắng hoặc đen Lấy ngẫu nhiên từ mỗihộp đúng một viên bi Biết tổng số bi ở hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là55

84 Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng

Giả sử hộp 1 có x viên bi, trong đó có a viên bi đen.

Hộp 2 có y viên bi, trong đó có b viên bi đen.

Thay vào  1 ta được ab 55 nên a là ước của 55 Do a 14 nên a 11suy ra b 5.

Vậy xác suất để lấy được 2 bi trắng

6 5 14 11. 1 .



Câu 44 [1D2-5.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Có 8 người

khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy Tính xác suất để 3 người cùng đến quầythứ nhất

Số phần tử không gian mẫu: n  ( ) 3 8

Gọi A là biến cố: ''Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất''

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n( )A  C83 52

Xác suất của biến cố A:

3 5 8 8

Câu 45 [1D2-5.2-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Đoàn trường THPT Nguyễn Đình Liễn

tổ chức giao lưu bóng chuyền học sinh giữa các lớp nhân dịp chào mừng ngày 26/3 Sau quá

trình đăng kí có 10 đội tham gia thi đấu từ 10 lớp, trong đó có lớp 10A1 và 10A2 Các đội chia

làm hai bảng, kí hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng 5 đội Việc chia bảng được thực hiện bằng

cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để 2 đội 10A1 và 10A2 thuộc hai bảng đấu khác

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen

Phản biện : Lê Thị Hồng Vân ;FB:Hồng Vân

Chọn A

+ Chia đều 10 đội vào 2 bảng A và B có C C105 55 cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là :   5 5

10 5

+ Sắp xếp 2 đội của 2 lớp 10A1 và 10A2 vào 2 bảng khác nhau A và B có 2! cách

Chọn 4 đội trong 8 đội còn lại để xếp vào bảng có đội lớp 10A1 có C84 cách.

Bốn đội còn lại xếp vào bảng còn lại

Suy ra số cách chia đều 10 đội vào 2 bảng sao cho 2 đội 10A1 và 10A2 nằm ở 2 bảng khác

nhau là 2!.C84.

Gọi A là biến cố “Chia đều 10 đội vào 2 bảng sao cho 2 đội 10A1 và 10A2 nằm ở 2 bảng

khác nhau ” thì số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n A 2!.C84

+ Xác suất cần tìm là:

   

 

4 8

Câu 46 [1D2-5.2-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 3 lần liên tiếp.

Gọi , ,a b c lần lượt là số chấm xuất hiện ở 3 lần gieo Xác suất của biến cố “ số abc chia hết

cho 45” là

Không gian mẫu: “ gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 3 lần liên tiếp”  n  63216.

Biến cố A: “số abc chia hết cho 45”

abc chia hết cho 45  abc chia hết cho cả 5 và 9.

Vì abc chia hết cho 5 nên c 5 (c 0 vì , ,a b c là số chấm xuất hiện của súc sắc khi gieo).

Vì abc chia hết cho 9 mà c 5 a b 5 chia hết cho 9

Câu 47 [1D2-5.2-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

NGÃI) Sắp ngẫu nhiên 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang Tính xác suất

để không có học sinh nữ nào đứng cạnh nhau

Chọn 3 khoảng trống trong 6 khoảng trống để xếp 3 nữ, có C63 cách chọn Khi đó, số cách

xếp 3 bạn nữ là C63.3! cách.

Vậy xác suất cần tìm là

3 6

Câu 48 [1D2-5.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Một đoàn tàu

gồm ba toa đỗ sân ga Có 5 hành khách lên tàu Mỗi hành khách độc lập với nhau Chọn ngẫunhiên một toa Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu

Số phần tử không gian mẫu: n  ( ) 3 5

Gọi A là biến cố: ''Mỗi toa có ít nhất một khách lên tàu''

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: ( ) 150n A  (cách).

Xác suất của biến cố A : 5

150 50

3 81

Câu 49 [1D2-5.2-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một quân vua được đặt ở một

ô giữa bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnhhoặc chung đỉnh với ô đang đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫunhiên 3 bước Xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô ban đầu là

A.

3

3 8

8!

C

3 8

+ Trường hợp 1: Bước 1 đi 4 ô góc thì bước 2 có 2 cách đi, bước 3 có 1 cách đi

+ Trường hợp 2: Bước 1 đi 4 ô còn lại thì bước 2 có 4 cách đi, bước 3 có 1 cách đi

Vậy tât cả có 4.2 4.4 24 

Suy ra xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô ban đầu là 3 2

24 3

8 8

Câu 50 [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho đa giác đều 20 cạnh Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa

giác đều Xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào làcạnh của đa giác đều bằng

Lời giải

Tác giả: Lưu Liên ; Fb: : Lưu Liên

Chọn C

Đa giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh có C cách.203

Để 3 đỉnh là 3 đỉnh một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều thực hiện

theo các bước:

Lấy một đường kính qua tâm đường tròn có 10 cách ta được 2 đỉnh

Chọn đỉnh còn lại trong 20 2 4 14    đỉnh (loại đi 2đỉnh thuộc đường kính và 4 đỉnh gần

Câu 51 [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 17) Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm; 3cm; 5cm;7 cm;

9cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên Xác suất để ba đoạn thẳng lấy

ra tạo thành ba cạnh của một tam giác bằng

Lấy ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có C 53 10cách Suy ra số phần tử của không gian mẫu

là n    10

Gọi A

là biến cố: " Ba đoạn thẳng lấy ra tạo thành ba cạnh của một tam giác "

Khi đó 3 đoạn thẳng được chọn thỏa mãn tính chất: Tổng độ dài 2 đoạn thẳng luôn lớn hơn độ

dài đoạn thẳng còn lại

Câu 52 [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 10) Trong một phòng học, có 36 cái bàn rời nhau được

đánh số từ 1 đến 36, mỗi bàn dành cho 1 học sinh Các bàn được xếp thành một hình vuông

có kích thước 6x6 Cô giáo xếp tuỳ ý 36 học sinh của lớp vào các bàn, trong đó có hai bạn A

và B Xác suất để A và B ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau bằng (theo chiều ngang hoặc chiều

dọc)

A 21 B 7 C 35 D 35.

Lời giải

Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương

Chọn A

Gọi C là biến cố: Xếp hai học sinh , A B ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau.

Số cách xếp ngẫu nhiên 36 học sinh vào 36 cái bàn là 36!, hay n  36  !.

Ta tìm số cách xếp thuận lợi cho biến cố C :

Câu 53 [1D2-5.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế.

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế cóđúng một học sinh ngồi Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ

và bất kì hai học sinh ngồi liền kề nhau thì khác phái bằng

Xếp học sinh thỏa mãn bài toán xảy ra hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nam ngồi vị trí lẻ, nữ ngồi vị trí chẵn có 5!.5! cách.

Khả năng 2: Nam ngồi vị trí chẵn, nữ ngồi vị trí lẻ có 5!.5! cách.

Vậy có tất cả  

2

2 5! cách

Xác suất cần tìm bằng

 2

2 5! 110! 126.

Cách 2: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào hai dãy ghế, có 10! cách xếp.

Ta chia hai dãy ghế thành 5 cặp ghế đối diện:

Câu 54 [1D2-5.2-3] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Xếp 4 người đàn ông, 2 người

đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn Xác suất để xếpđứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông là

n A P

, trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần; chữ số 7 xuất

hiện 3 lần; chữ số 8 xuất hiện 4 lần Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Xác suất để số được

chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6 là

Có C92 cách xếp 2 chữ số 6 vào 2 trong 9 vị trí

Có C73 cách xếp 3 chữ số 7 vào 3 trong 7 vị trí còn lại

Có 1 cách xếp 4 chữ số 8 vào 4 trong 4 vị trí còn lại

  2 3

9 .1 12607

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S nên n    1260

Gọi A là biến cố “số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

Xếp 4 số 8 vào 6 khoảng tạo bởi 2 số 6 và 3 số 7 có C95cách ( số cách xếp bằng số nghiệm

nguyên không âm của phương trình x1x2 x6  ).4

Nếu k 1 thì chỉ có 1 cách chia kẹo.

Nếu k  , ta trải n chiếc kẹo thành hàng ngang Tiếp theo ta dùng 2 k  cái thước đặt vào1

n 1

khe giữa các viên kẹo để chia nó thành k phần Do đó có tất cả

1 1

k n

C 

 cách chia

Như vậy có tất cả

1 1

k n

C 

 cách chia kẹo, đúng cho cả trường hợp k  1

ỨNG DỤNG ĐẾM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1.1: Phương trình x1 x2   x k n (với n k, *,n k ) có bao nhiêu nghiệm

nguyên dương?

Hướng dẫn giải:

Coi là phần kẹo của em nhỏ thứ i trong bài toán chia kẹo thì số nghiệm của phương trình

chính là số cách chia n chiếc kẹo cho k em nhỏ Vậy phương trình có

1 1

k n

C 

 nghiệm nguyên dương

Ví dụ 1.2: Phương trình x1 x2   x k n (với n k   ) có bao nhiêu nghiệm nguyên , *

không âm?

Hướng dẫn giải:

Có x1 x2    x k  n x11  x2 1 x k 1  n k

.Đặt x i  x i 1 thì '

k

n k

C 

  nghiệm nguyên dương của phương trình (*)

Suy ra phương trình đã cho có

1 1

k

n k

C 

  nghiệm nguyên không âm

Câu 56 [1D2-5.2-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho một bảng ô vuông 3 3

Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số) Gọi A làbiến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ” Xác suất của A bằng:

Vì chỉ có 4 số chẵn là 2, 4, 6, 8 nên chỉ có thể có đúng một hàng hoặc đúng một cột chỉ toàn các

số chẵn Để điền như vậy cần chọn một trong số ba hàng hoặc ba cột rồi chọn 3 số chẵn xếp vàohàng hoặc cột đó, 6 số còn lại xếp tùy ý Do đó   3

Câu 57 [1D2-5.2-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Trong kỳ thi ) Chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em

dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ thi Biết các em đó có số thứ tự trong danhsách lập thành một cấp số cộng Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗidãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được 1 học sinh Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai

em ngồi đối diện nhau là bằng nhau

A.

1

1

1

1.252

Lời giải Chọn B.

Giả sử số thứ tự trong danh sách là u , 1 u , 2 u , , 3 u 10

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có u1u10 u2u9 u3u8 u4u7 u5u6.

Số phần tử của không gian mẫu là n    10!.

Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau” Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự 5 cặp học sinh có các cặp số thứ tự là u u1; 10 , u u2; 9 , u u3; 8 , u u4; 7 ,

u u5; 6 vào trước 5 cặp ghế đối diện nhau Bước này có 5! cách.

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước 1 Bước này có 25 cách.Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A   5!.25.

Vậy xác suất của biến cố A là

   

 

1945

Câu 58 [1D2-5.2-3] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt

phẳng, cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O Trên tia Ox lấy 10 điểm

1, 2, , 10

A A A và trên tia Oy lấy 10 điểm B B1, 2, ,B thỏa mãn10

OA A A  A A OB B B  B B  (đvd) Chọn ra ngẫu nhiên một tam giác

có đỉnh nằm trong 20 điểm A A1, 2, ,A ,10 B B1, 2, ,B Xác suất để tam giác chọn được có10

đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy là

 Bổ đề: Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O Trên tia Ox

lấy 10 điểmA A1, 2, ,A và trên tia 10 Oy lấy 10 điểm B B1, 2, ,B thỏa mãn10

OA A A  A A OB B B  B B  (đvd) Tìm số tam giác có 2 đỉnh nằm

được có đường tròn ngoại tiếp, tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy?

Giải: Gọi A A B m, n, p là 3 đỉnh của tam giác thỏa yêu cầu bài toán với m n p, , 1,10;mn

 Bài toán: Không gian mẫu n( )  C C101 102 C C102 101  900

Gọi A là biến cố chọn được tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục

Ox hoặc Oy Theo bổ đề ta chọn được 4 tam giác có 2 đỉnh thuộc tia Ox , 1 đỉnh thuộc tia

Oy; tương tự có 4 tam giác có 1 đỉnh thuộc tia Ox , 2 đỉnh thuộc tia Oy Suy ra n A   8

6.A 2160 cách Do đó số phần tử của không gian mẫu là n    2160

Gọi biến cố B : ‘‘Số tự nhiên lập được chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2 ,3 luôn có mặt cạnhnhau’’

+) Xếp khối X và số vừa chọn vào vị trí có P cách.2

Theo quy tắc nhân ta có P3.3.P  số.2 36

+) Chọn 1 số trong tập 4;6

có C 12 2 cách.

+) Xếp khối X và số vừa chọn vào vị trí có P cách.2

Theo quy tắc nhân ta có P3.2.P 2 24 số.

Vậy số kết quả xảy ra của biến cố B là n B     36 6 24 66

Suy ra số cách chọn b , c là

Mỗi cách chọn cặp b , c thì có duy nhất một cách chọn a sao cho 2a b c 

Suy ra số phần tử của biến cố là n A  2C102 90

Câu 61 [1D2-5.2-3] (Quỳnh Lưu Lần 1) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ

số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt bachữ số khác nhau là:

Không gian mẫu được mô tả là : “Các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0”

Số phần tử của không gian mẫu là: n     95 59049

.Gọi biến cố A: “Các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 trong đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau”

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a,b c từ 9 chữ số tự nhiên khác 0 là , 3

9

C Chọn 2 chữ số còn

lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau:

TH1: Nếu cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 số a, b c thì có 3 cách chọn Mỗi hoán vị từ,5! hoán vị của 5 chữ số chẳng hạn a ,, a , a b c tạo ra một số tự nhiên; nhưng cứ , 3! hoán vị củacác vị trí mà a ,, a a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng 1 số tự nhiên Do đó, trong TH1 có tất cả

Tác giả: Lục Minh Tân; Fb: Lục Minh Tân

Chọn A

* Không gian mẫu là n    6

* Gọi biến cố A:"Các quả cầu cùng màu thì vào chung một hộp”

Bỏ 3 quả cầu vào một hộp, bỏ 3 quả màu xanh vào hộp còn lại có 2 cách

Câu 63 [1D2-5.2-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách

Toán, 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa Các cuốn sách đôi một khác nhau Thầy giáo chọn

ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh Tính xác suất để số cuốn sách

còn lại của thầy còn đủ 3 môn

Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử là C 157

Gọi A biến cố chọn 7 cuốn sách có đủ 3 môn trong phép thử T.

Xác suất của biến cố cần tìm bằng xác suất của biến cố A.

Ta có n A C157  C97  C107  C117 5949

.Vậy   7

Câu 64 [1D2-5.2-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số Tính xác

suất để số được chọn có dạng abcd , trong đó 1    a b c d 9

Do đó nếu đặt:

123

Từ giả thuyết 1    a b c d 9 ta suy ra: 1 x y z t  12 (**)

Với mỗi tập con gồm 4 phần tử đôi một khác nhau được lấy ra từ 1, 2, ,12

ta đều có được duynhất một bộ số thoả mãn (**) và do đó tương ứng ta có duy nhất một bộ số a b c d, , , 

thoả mãn(*) Số cách chọn tập con thoả tính chất trên là tổ hợp chập 4 của 12 phần tử, do đó:

Mỗi tập con có 4 phần tử được lấy từ tập 1, 2, ,9

(trong đó mỗi phần tử có thể được chọn lặp lại nhiều lần) ta xác định được một thứ tự không giảm duy nhất và theo thứ tự đó ta có được

một số tự nhiên có dạng abcd (trong đó 1    a b c d 9) Số tập con thoả tính chất trên là

Câu 65 [1D2-5.2-3] (Gang Thép Thái Nguyên) Xếp ngẫu nhiên 2 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ, 2 quả

cầu trắng (các quả cầu này đôi một khác nhau) thành một hàng ngang Tính xác suất để 2 quảcầu màu trắng không xếp cạnh nhau?

A

23

P 

13

P 

56

P 

12

Xếp ngẫu nhiên 6 quả cầu đôi một khác nhau thành một hàng ngang có 6!cách xếp

Gọi A là biến cố “2 quả cầu màu trắng không xếp cạnh nhau”.

Suy ra A là biến cố “2 quả cầu màu trắng xếp cạnh nhau”.

1 1199.10 1500





C

Câu 67 [1D2-5.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) [1D2-5.4-3] (ĐH Vinh Lần 1) Giải bóng chuyền quốc tế VTV

Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia

thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội Xác suất để hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khác

- Các nhóm không phân biệt thứ tự

Nếu không phân biệt rõ ràng 2 bài toán này thì rất dễ dẫn đến nhầm lẫn và sai kết quả

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chia 20 người thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 5 người trong các trường hợp sau:

a) Các nhóm được đánh tên theo thứ tự A, B, C, D

b) Không phân biệt thứ tự nhóm

Lời giảia) Số cách chọn 5 người cho nhóm A là C205 Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có số cách chọn 5 người cho nhóm B là C155 , nhóm C là C105 và 5 người còn lại vào nhóm D

Theo quy tắc nhân, ta được số cách chia nhóm là: C C C205 155 105.1 (cách)

b) Vì các nhóm không phân biệt thứ tự nên khi ta hoán vị 4 nhóm trên sẽ cho cùng một kết quả

Do đó số cách chia trong trường hợp này là

20 15 10.14!

C C C

(cách)3) Phân tích bài toán và lời giải

Chia 8 đội thành hai bảng đấu, do đó hai bảng đấu này sẽ có thứ tự rõ ràng cho nên bài toán củachúng ta thuộc loại chia nhóm có thứ tự

Gọi hai bảng đấu là bảng A và bảng B

Chọn 4 đội vào bảng A ta có C84 cách, bốn đội còn lại vào bảng B có 1 cách

Theo quy tắc nhân, ta có số cách chia 8 đội vào hai bảng đấu là:

  4

8.1 70

n  C 

(cách)Gọi A là biến cố “Hai đội Việt Nam nằm ở hai bảng khác nhau”

Bảng A: Có 3 đội nước ngoài và 1 đội Việt Nam Số cách chọn là C C63 12

Bảng B: Chỉ còn 1 cách chọn duy nhất cho 3 đội nước ngoài và 1 đội Việt Nam còn lại vào bảng B

Do đó số cách chia 8 đội thành 2 bảng mỗi bảng có 1 đội Việt Nam là :

Câu 68 [1D2-5.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 12 đội tham gia, trong

đó có 3 đội Việt Nam Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu, mỗi bảng 4đội Tính xác suất để 3 đội của Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu

Gọi ba bảng đấu có tên là A, B, C.

Chọn 4 đội cho bảng A có C124 cách, chọn 4 đội cho bảng B có C84 cách và 4 đội còn lại vào bảng C có 1 cách

Theo quy tắc nhân, số cách chia 12 đội thành 3 bảng đấu là:   4 4

12 .1 346508

n  C C 

(cách)Gọi A là biến cố “3 đội Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu

Giả sử 3 đội Việt Nam cùng nằm ở bảng A

Khi đó bảng A sẽ chọn 1 đội trong 9 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam, 8 đội còn lại chia vào bảng B và C Trong trường hợp này ta có số cách chọn là C91.1 .1 630C84  (cách)

Vì vai trò của các bảng là như nhau nên trường hợp 3 đội Việt Nam ở bảng B hay bảng C đều cho kết quả như nhau

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A C C91 .3 189084 

Ta có tổng các chữ số của A là 1 2 3 4 8 36      chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9

Do 9 và 1111 có ƯCLN là 1 nên A chia hết cho 9999

a và 2 cách chọn a 4

Vì a và i b tạo thành một cặp để i a ib i  nên chọn 9 a có luôn i b i

Vậy xác suất cần tìm là:

3848!

A

n P

n

Câu 70 [1D2-5.2-4] (Sở Nam Định) ChoS là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu nhiên

một số từ tậpS Xác suất để số lấy được có chữ số tận cùng bằng 3 và chia hết cho 7 có kết quảgần nhất với số nào trong các số sau

128571 bộ 70 số tự nhiên liên tiếp có 128571 số thỏa mãn yêu cầu

30 số cuối có 3 số tận cùng bằng 3 được xét trong bảng sau

9000000

Câu 71 [1D2-5.2-4] (Chuyên Vinh Lần 3) Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự

nhiên gồm 2 chữ số phân biệt Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng

Cách 1: Số các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt là 9.9 81 số

Số phần tử của không gian mẫu là n    812

.Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán

+ Khả năng 1: Hai bạn chọn số giống nhau nên có 81 cách

+ Khả năng 2: Hai bạn chọn số đảo ngược của nhau nên có 9.8 72 cách.

+ Khả năng 3: Hai bạn chọn số chỉ có một chữ số trùng nhau

- TH1: Trùng chữ số 0 : Công có 9 cách chọn số và Thành đều có 8 cách chọn số nên có9.8 72 cách

- TH 2: Trùng chữ số 1: Nếu Công chọn số 10 thì Thành có 16 cách chọn số có cùng chữ

số 1 Nếu Công chọn số khác 10 , khi đó Công có 16 cách chọn số và Thành có 15 cách chọn

số có cùng chữ số 1 với Công nên có 16 16.15 16.16 256   cách

Cách 2: Số các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt là 9.9 81 số

Số phần tử của không gian mẫu là n    812.

Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán Xét biến cố A.

- TH 1: Công chọn số có dạng 0a nên có 9 cách Khi đó có 25 số có ít nhất một chữ số trùng

với số 0a nên Thành có 81 25 56  cách chọn số không có chữ số trùng với Công Vậy có9.56 504 cách

- TH 2: Công chọn số không có dạng 0a : Có 72 cách, khi đó 32 số có ít nhất một chữ số

trùng với số của Công chọn nên Thành có 81 32 49  cách chọn số không có chữ số nào trùngvới Thành Vậy có 72.49 3528 cách

Câu 72 [1D2-5.2-4] (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một

khác nhau được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S

Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11

A

163

P 

1126

Giả sử số cần lập là abcd a b c d   

Số phần từ không gian mẫu:  A94

Câu 73 [1D2-5.2-4] (Sở Bắc Ninh 2019) Gọi A là tập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Lấy ngẫu nhiên ra từ A hai số Tính xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở

hai số đó giống nhau

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen

Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Le Mai Huong

+ Lấy ngẫu nhiên ra từ A hai số có n  C6482 cách

+ Gọi M là biến cố “lấy được từ A hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau”

Trường hợp 1: Ba chữ số có mặt trong hai số được lấy không có chữ số 0

 Chọn ba chữ số trong tập 1;2;3;4;5;6;7;8;9

có C93 cách.

 Ba chữ số này tạo thành 3! 6 số trong A.

 Lấy hai số trong 6 số này có C62 cách (hai số các chữ số có mặt ở hai số đó giống

nhau)

 Suy ra có C C93 62 cách lấy hai số thỏa trường hợp 1.

Trường hợp 2: Ba chữ số có mặt trong hai số được lấy có chữ số 0

 Chọn thêm hai chữ số trong tập 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có 2

9

C cách.

 Ba chữ số này (hai chữ số vừa chọn và chữ số 0 ) tạo thành 2.2! 4 số trong A.

 Lấy hai số trong 4 số này có C42 (hai số các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau).

 Suy ra có C C92 42 cách lấy hai số thỏa trường hợp 2.

Suy ra   3 2 2 2

9 6 9 4 1476

n M C C C C 

.+ Do đó, xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau là:

Câu 74 [1D2-5.2-4] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho một quân cờ đứng ở

vị trí trung tâm của một bàn cờ 9 9 (xem hình vẽ) Biết rằng, mỗi lần di chuyển, quân cờ chỉ

di chuyển sang ô có cùng một cạnh với ô đang đứng Tính xác suất để sau bốn lần di chuyển,quân cờ không trở về đúng vị trí ban đầu

A

 là biến cố quân cờ trở về đúng vị trí ban đầu sau bốn lần đi chuyển

Để quân cờ trở về đúng vị trí ban đầu sau bốn lần đi chuyển thì phải thực hiện 1 trong 3 trường hợp sau:

 Trường hợp 1: Có một U, một D, một R, một L

Xếp cách thực hiện U, D, R, L theo thứ tự có 4! 24 cách

 Trường hợp 2: Có hai U, hai D

Xếp cách thực hiện hai U, hai D theo thứ tự có C C 42 22 6 cách.

 Trường hợp 3: Có hai R, hai L

Xếp cách thực hiện hai R, hai L theo thứ tự có C C 42 22 6 cách.