Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều sao cho góc hợp bởi mặt phẳng thiết diện và mặt đáy của hình nón có số đo bằng 60°?. Thể tích của khối[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LAI
Mã đề thi: 132
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN; KHỐI: 12
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm có 50 câu; 06 trang Ngày thi: 31/5/2020
Họ, tên thí sinh: SBD:
Câu 1: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
x y
A y= − +x4 2x 2 B y x= 4−2x 2 C y x= −3 3x 2 D y= − +x3 3x 2
Câu 2: Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy
2
r bằng:
2πrl C 2π rl. D π rl.
Câu 3: Tìm phần ảo của số phức z=(2 3 2 3+ i)( − i)
Câu 4: Nghiệm của phương trình log 3 82( x − = là ) 2
3
Câu 5: Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như sau
Số nghiệm thực của phương trình f x −( ) 2020 0= là
Câu 6: Môđun của số phức 2 3i+ bằng
Câu 7: Trong mặt phẳngOxy số phức z 2 3i có điểm biểu diễn là:
y x
= + là:
Câu 9: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và chiều cao bằng 50cm Diện tích xung quanh của
hình trụ bằng:
y
2
2
2
−
Trang 2A 7500 cmπ( )2 B 10000 cmπ( )2 C 5000 cmπ( )2 D 2500 cmπ( )2
Câu 10: Cho khối lập phương có cạnh bằng 4 Thể tích khối lập phương đã cho bằng
A 64
Câu 11: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−1;1) B ( )0;2 C ( )0;4 D (−∞ − ; 1)
Câu 12: Với a là số thực dương tùy ý, ( )3
4
log a bằng
A 2 log2
Câu 13: Cho cấp số nhân ( )u với n u =2 2 và u =4 18 Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số f x sinx là:
A −cos x C+ B cos x C+ C −sin x C+ D 2cos x C+
2
x
>
là:
A ; 5 B ;5 C 5; D 5;
Câu 16: Tập xác định của hàm số y=(x−1)15 là:
A (1;+∞) B (0;+∞) C [1;+∞ ) D
Câu 17: Biết 2 ( )
1
1
g x dx 1=
1
+
∫ f x g x bằng
Câu 18: Thể tích của một khối cầu có bán kính R bằng
3
4
3
3πR
Câu 19: Từ một bó hoa hồng gồm 3 bông hồng trắng, 5 bông hồng đỏ và 6 bông hồng vàng, có bao nhiêu cách chọn ra một bông hồng?
Câu 20: Thể tích khối chóp có chiều cao bằngh và diện tích đáy bằng B là
2
1
3
1
6
1
Câu 21: Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau:
Trang 3Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào?
Câu 22: Giá trị lớn nhất M của hàm số f x( ) 2= x3+3x2−12x+1 trên [−1;2]
Câu 23: Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
1 2
3
= +
= −
=
?
A M(1;3;0) B P(2; 1;0− ) C N(1;3;3) D Q(2; 1;3− )
0
1 2 d
I =∫x + x x và u= 2 1x+ Mệnh đề nào dưới đây sai?
1
2
1
1 d
C
3
5 3
1
1
I = −
1
2
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3; 1 , 1;2;4− ) (B ), phương trình đường thẳngd đi
qua hai điểmA B là: ,
A
2
3 2
1 4
= +
= +
= − +
B
1 2
1 3 5
= − +
= − +
= −
C
1 2
2 3 4
= +
= +
= −
D
2
1 5
= −
= −
= − +
Câu 26: Cho hàm số f x , bảng xét dấu của ( ) f x′( ) như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
Câu 27: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB a= và A = °30 Quay tam giác này xung quanh cạnh
AB Diện tích toàn phần của hình nón được tạo thành là:
3πa
Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh BD= 6a, SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA=3a (minh họa như hình bên) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD bằng )
Trang 4A 60° B 30° C 45° D 90°
Câu 29: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x= 4+2x2 với trục hoành là:
Câu 30: Tập nghiệm S của bất phương trình 2
log x−5log x− ≤6 0 là
2
2
S =
2
S = ∪ +∞
4 2
log a=log a b Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :3x+2y−4 1 0.z+ = Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( ) α ?
A n =3 (2; 4;1− ) B n =4 (3;2; 4− ) C n =1 (3; 4;1− ) D n =2 (3;2;4)
Câu 33: Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình bên dưới bằng
1
−
1
−
1
−
1
−
Câu 34: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z2−4z+ =3 0 Giá trị của
biểu thức z1 + z bằng 2
Câu 35: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điềm M(1;2; 3) − lên mặt phẳng (Oyz) có tọa
độ là
A ( 1;2; 3) − − B (0;2; 3)− C (1;0;0 ) D (1; 2;3) −
Trang 5Câu 36: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng
( )P x: −2y z+ − = có phương trình là 3 0
A x− 2y z+ + = 3 0 B x+ 2y+ 3z= 0
C x− 2y z+ = 0 D x− 2y z+ − = 8 0
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y−1) (2+ +z 3)2 =25 Tâm của( )S có tọa
độ là
A (−1;2; 3− ) B (−2;1;3) C 2;1;3 D (− −2; 1;3)
Câu 38: Cho số phức z1= +1 i và z2 = −2 3i Tìm số phức liên hợp của số phức
1 2
w z z= + ?
A w= − 1 4i B w= − 3 2i C w= − + 1 4i D w= + 3 2i
Câu 39: COVID19 là một loại bệnh viêm đường hô hấp cấp do chủng mới của virus corona (nCoV) bắt
nguồn từ Trung Quốc (đầu tháng 12/2019) gây ra với tốc độ truyền bệnh rất nhanh (tính đến 7/4/2020 đã
có 1 360 039 người nhiễm bệnh) Giả sử ban đầu có 1 người bị nhiễm bệnh và cứ sau 1 ngày sẽ lây sang 4 người khác Tất cả những người nhiễm bệnh lại tiếp tục lây sang những người khác với tốc độ như trên (1 người lây 4 người) Hỏi sau 7 ngày sẽ có tổng cộng bao nhiêu người nhiễm bệnh? (Biết rằng những người nhiễm bệnh không phát hiện bản thân bị bệnh và không phòng tránh cách li, do trong thời gian ủ bệnh vẫn lây bệnh sang người khác)
A 77760 người B 16384 người C 62500người D 78125 người
Câu 40: Cho hàm số y ax bx cx d= 3+ 2+ + có đồ thị như hình vẽ Tính S a b= + ?
Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại B và C, CD=2AB, AD a= , 30ADC = °, SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a (minh họa như hình
bên dưới) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng
A 2 57
19
a
19
a
C 4 57
19
Trang 6Câu 42: Cho hình nón có chiều cao bằng 2 3 Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều sao cho góc hợp bởi mặt phẳng thiết diện và mặt đáy của hình nón có số đo bằng 60° Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
3
π
9
Câu 43: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Mặt bên tạo với đáy góc 60o Mặt phẳng ( )P chứa AB và tạo với đáy góc 30 o và cắt SC SD lần lượt tại , M và N Tính thể tích V của khối chóp S ABMN theo a
6
a
48
a
8
a
16
a
V =
Câu 44: Cho hàm số f x biết ( ) f( )π = và 0 f x′( )=2sinx−3sin ,3x x∀ ∈ , biết 2
2
0sin 1
π
dx a
x c
Tổng S a b c bằng
Câu 45: Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ: ( )
Số nghiệm thuộc đoạn 3 ;2
2π π
của phương trình 3 cosf ( x + = là ) 5 0
y
-2
-1
-1
log a b+ + 25a +b + +1 log ab+ 10a+3b+ =1 2 Giá trị biểu thức a+2b bằng?
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
34
f x
=
− + + trên đoạn [ ]0;3 bằng 2 Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Câu 48: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x y; )thoả mãn x y+ > −0; 20≤ ≤x 20 và
2
log x+2y +x +2y +3xy x y− − =0?
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [−2020;2020] để hàm số y x= 3−6x2+mx+1 đồng biến trên (0;+∞ )
Câu 50: Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5} Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S ,
tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10
A 1
25
-
- HẾT -
Trang 7BẢNG ĐÁP ÁN
11.A 12.C 13.B 14.A 15.A 16.A 17.C 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.B 25.D 26.C 27.C 28.A 29.A 30.A 31.B 32.B 33.A 34.D 35.B 36.C 37.C 38.D 39.D 40.A 41.C 42.D 43.D 44.A 45.B 46.B 47.B 48.C 49.D 50.B
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU VD, VDC
Câu 39: COVID19 là một loại bệnh viêm đường hô hấp cấp do chủng mới của virus corona (nCoV) bắt
nguồn từ Trung Quốc (đầu tháng 12/2019) gây ra với tốc độ truyền bệnh rất nhanh (tính đến 7/4/2020 đã
có 1 360 039 người nhiễm bệnh) Giả sử ban đầu có 1 người bị nhiễm bệnh và cứ sau 1 ngày sẽ lây sang 4 người khác Tất cả những người nhiễm bệnh lại tiếp tục lây sang những người khác với tốc độ như trên (1 người lây 4 người) Hỏi sau 7 ngày sẽ có tổng cộng bao nhiêu người nhiễm bệnh? (Biết rằng những người nhiễm bệnh không phát hiện bản thân bị bệnh và không phòng tránh cách li, do trong thời gian ủ bệnh vẫn lây bệnh sang người khác)
A 77760 người B 16384 người C 62500người D 78125 người
Lời giải Chọn D
Sau 1 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là 1 4 5+ = người
Sau 2 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là ( ) ( ) ( )2
1 4+ + +1 4 4 1 4= + người
Sau 3 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là ( ) (2 )2 ( )3
1 4+ + +1 4 4 1 4= + người
⇒ Sau 7 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là ( )7
1 4+ =78125 người
Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng công thức lãi kép để tính nhanh:
( ) ( )7
n
S =A +r = + = , với A = , 1 r = , 4 n = 7
Câu 40: Cho hàm số y ax bx cx d= 3+ 2+ + có đồ thị như hình vẽ Tính S a b= + ?
Lời giải Chọn A
Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm y =2 nên d = 2
2
y′ = ax + bx c+
Hàm số đạt cực trị tại x = và 0 x = nên 2
( )
3 1
y
Trang 8Từ đồ thị ta nhận thấy y( )2 = − ⇔2 8a+4b d+ = − ⇔2 8a+4b= − ⇔4 2a b+ = −1 2( )
Thay ( )1 vào ( )2 ta tìm được a=1,b= −3
Vậy S = − 2
Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình
thang vuông tại B và C, CD=2AB, AD a= ,
30
ADC = °, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
2
SA= a (minh họa như hình bên dưới) Khoảng cách từ
D đến mặt phẳng (SBC) bằng
A 2 57
19
a
19
a
C 4 57
19
3a
Lời giải
Chọn C
+) Gọi E là giao điểm của AD và BC ⇒DA cắt mặt phẳng (SBC) tại E
( )
( ,, )
AE
d A SBC = (1)
+) Theo giả thiết // 1
2
AB CD
⇒ AB là đường trung bình của tam giác ECD (2)
Từ (1) và (2) ( ( ) )
( )
AE
d A SBC
+) Ta có BC AB BC (SAB) (SBC) (SAB)
BC SA
⊥
lên SB thì AH ⊥(SBC)⇒d A SBC( ,( ) )= AH
+) Tam giác ECD vuông tại C, có:
CA là đường trung tuyến⇒CA AE AD a= = = ⇒ tam giác AEC là tam giác cân tại A
EDC= ° ⇒30 CEA= °60 ;
Trang 9⇒ tam giác EAC là tam giác đều cạnh a ⇒ đường cao 3
2
a
AB = +) Tam giác SAB vuông tại A có AH là đường cao
2
2
3
2
19 19
3
4
a a
AH
a
Vậy ( ,( ) ) 2 ( ,( ) ) 2 4 57
19
a
Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại B và C, CD=2AB, AD a= , 30ADC = °, SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a (minh họa như hình
bên dưới) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng
A 2 57
19
19
a
C 4 57
19
a
Câu 42: Cho hình nón có chiều cao bằng 2 3 Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều sao cho góc hợp bởi mặt phẳng thiết diện và mặt đáy của hình nón có số đo bằng 60° Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
3
π
9
Lời giải Chọn D
Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón
theo thiết diện là tam giác đều SAB
Gọi H là trung điểm của AB ta có SH ⊥ ABvà
OH AB⊥ Do đó góc hợp bởi bởi mặt phẳng
thiết diện và mặt đáy của hình nón là góc
60
SHO = °
Theo đề bài ta có: h SO = = 2 3
Xét tam giác SHO vuông tại O có
0
sin 60
SH
2
AB
SH = (do tam giác SAB là tam giác
đều)
SH
AB
3
SH AB
8 3
SA SB AB
Trang 10SA OA SO OA SA SO r OA 2
Câu 43: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Mặt bên tạo với đáy góc 60o Mặt phẳng ( )P chứa AB và tạo với đáy góc 30 o và cắt SC SD lần lượt tại , M và N Tính thể tích V của khối chóp S ABMN theo a
6
a
48
a
8
a
16
a
V =
Lời giải Chọn D
Gọi AC BD∩ ={ }O ⇒SO⊥(ABCD) (vì S ABCD là hình
chóp đều)
Gọi I J lần lượt là hình chiếu vuông góc của , Otrên
,
DC AB và gọi
( ) { } ( ( ) (, ) ) 60o
( ) ( )
( P , ABCD )=EJO=30o
Khi đó tam giác SIJ đều Mà 30 1
2
o
E JO= = SJI ⇒JE là phân giác của góc SJI ⇒F là trung điểm của SI ( )1 (với
{ }
JE SI∩ = F ) Mặt khác
Từ ( )1 và ( )2 suy ra MN là đường trung bình trong tam giác
1 2
SM SN
SBC
60 o
30 o
J
N
O
S
A
D M
I
Khi đó ta có
.
.
.
S ABM
S ABM S ABC S ABCD
S ABC
S AMN
S AMN S ACD S ABCD
S ACD
( )
S ABMN S ABM S AMN S ABCD S ABCD S ABCD
.
Thay ( )2* vào ( )* ta được . 3 3 3 3 3
S ABMN a a
Câu 44: Cho hàm số f x biết ( ) f( )π = và 0 f x′( )=2sinx−3sin ,3x x∀ ∈ , biết 2
2
0sin 1
π
f x dx a bπ
x c
Tổng S a b c bằng
Lời giải Chọn A
Ta có f x( )=∫ (2sinx−3sin3x x)d =∫sin 2 3sinx( − 2x x)d =∫sin 3cosx( 2x−1 d) x
(3cos2x 1 d cos) ( x)
= −∫ − = −cos3x+cosx C+
Trang 11Vì f( )π = nên 0 −cos3π+cosπ + = ⇔ = Vậy C 0 C 0 f x( )= −cos3x+cosx
cos 1 cos
Cách 1: Đặt sinx u u= ; d =cos dx x;
2
x= ⇒ =u x= ⇒ = π u
2
u
Xét 01 21 d
1
u
=
+
2
1
t
π
4
u= ⇒ =t u= ⇒ =t π
2
4
4
t
π
4
I = − = − J π
2
x= t t∈ π .Lấy vi phân 2 vế, ta có cos dx x=(tan2t+1 d) t;
x= ⇒ =t x= ⇒ =π t π
2
4
Vậy S a b c 6
Câu 45: Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ: ( )
Số nghiệm thuộc đoạn 3 ;2
2π π
của phương trình
3 cosf x + = là 5 0
x y
-2
-1
-1
Lời giải Chọn B
( ) ( ) ( )
5
x a
x b
x c
x d
= ∈ − −
= ∈ −
Vì cosx∈ −[ 1;1] nên cosx a= ∈ − − và ( 2; 1) cosx d= ∈( )1;2 vô nghiệm
Xét đồ thị hàm số y=cosx trên
3 ;2
2π π
Phương trình cosx b= ∈ −( 1;0) có 4
nghiệm phân biệt
Phương trình cosx c= ∈( )0;1 có 3
Trang 12nghiệm phân biệt, không trùng với
nghiệm nào của phương trình
cosx b= ∈ −1;0
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 ;2
2π π
log a b+ + 25a +b + +1 log ab+ 10a+3b+ =1 2 Giá trị biểu thức a+2b bằng?
Lời giải Chọn B
Với a>0,b>0 ta có 25a2 +b2 + ≥1 10ab+1, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b=5a
log a b+ + 25a +b + ≥1 log a b+ + 10ab+1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b=5a
Mặt khác, ta lại có với a>0,b>0 thì log10 3 1a b+ + (10ab+ >1) 0,log10ab+1(10a+3 1b+ > ) 0
Do đó:
log a b+ + 25a +b + +1 log ab+ 10a+3b+ ≥1 log a b+ + 10ab+ +1 log ab+ 10a+3b+1
2 log a b+ + 10ab 1 log ab+ 10a b3 1 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
2
b
=
=
11 2 2
Câu 47: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
34
f x
=
− + + trên đoạn [ ]0;3 bằng 2 Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Lời giải Chọn B
Nhận thấy min[ ]0;3 f x =( ) 2
0;3
Xét hàm số g x( )=x3−3x+2mtrên [ ]0;3 , ta có:
+ g x'( )=3x2−3, g x'( )=3x2− = ⇔3 0 ( )
( )
1 0;3
1 0;3
x x
= ∈
= − ∉
+ g( )0 =2 ,m g( )1 =2m−2, g( )3 =2m+18
Do đó 2m− ≤2 g x( )≤2m+18,∀ ∈x [ ]0;3 , tức [ ] 3 [ ] { }
max x −3x+2m =max 2m−2 ; 2m+18
Từ đây ta có ( )1 ⇔max 2[ ]0;3 { m−2 ; 2m+18}=16
7
m
m
Suy ra S = − − Vậy, tổng các phần tử của { 7; 1} Slà −8
Trang 13Câu 48: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x y; )thoả mãn x y+ > −0; 20≤ ≤x 20 và
2
log x+2y +x +2y +3xy x y− − =0?
Lờigiải Chọn C
+ Điều kiện: x+2y> 0
+ Ta có: x y+ > nên 0
2
2
2
x y
+
Xét hàm số: f t( )=log2t t+ , ta có: ' 1 1 0 0;
ln 2
t
nên hàm số f t( ) đồng biến trên(0 ; + ∞)
Do đó: ( )1 ⇔ f x( 2+2y2+3xy)= f x y( + )⇔x2+2y2+3xy x y= +
+ Do −20≤ ≤x 20suy ra 19 1
+ Doy ∈ nên y 9; 8; ; 1;0 , với mỗi giá trịycho ta 1 giá trị x thoả mãn YCBT
Vậy có 10 cặp số nguyên(x y; )thoả mãn YCBT
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [−2020;2020] để hàm số y x= 3−6x2+mx+1 đồng biến trên (0;+∞ )
Lời giải Chọn D
Ta có: y′ =3x2−12x m+
Hàm số đồng biến trên (0;+∞ khi và chỉ khi ) y′ ≥ ∀ ∈0, x (0;+∞ ⇔) 3x2−12x m+ ≥ ∀ ∈0, x (0;+∞ )
0;
+∞
g x = − x− + ≤ ∀ ∈x +∞ nên
Vậy m ≥ 12
Số các số nguyên m cần tìm là: 2020 12 1 2009− + =
Câu 50: Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5} Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S ,
tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10
A 1
25
Lời giải Chọn B
Vì S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A nên ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:
Số các số thuộc S có 3 chữ số là 3
5
A
Số các số thuộc S có 4 chữ số là 4
5
A