Nhận xét : +Ta đã sử dụng pp chứng minh 2 vế cùng bằng 1 vế trung gian thông qua việc kẻ song song tạo hình chữ nhật + việc chứng minh 2 đoạn bằng nhau 2 đoạn đã là 2 dây cung trong 1 đ
Trang 1Vẽ thêm đoạn song song kết nối các giả thiết tìm lời giải 1 câu hình học thú vị Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ;ba đường cao
; ;
AD BE CF
và có trực tâm là H Vẽ hai đường thẳng qua
;
B C
lần lượt vuông góc EF tại
;
M N
Chứng minh : MN =DE+DF ( nguồn tham khảo ý cuối bài hình học đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Thái Bình năm 2019-2020)
Phân tích và tìm hướng giải :
Ta nhận định đây là bài toán khai thác 1 cấu hình bài toán quen thuộc :”Tam giác nhọn có ba chân đường cao và cho thêm điểm trực tâm “ tuy nhiên vấn đề câu hỏi đặt ra không quen lắm đối với các bài toán xoay quanh mô hình này
Đề toán yêu cầu chứng minh 1 đẳng thức đoạn thẳng có dạng : A B+ =C
thì thông thường đối với loại toán này ta thường có hai hướng giải quyết :
Hướng 1:
1
+ = Û + =
( loại này thường áp dụng cho các bài toán đã xuất hiện sự song song trong hình vẽ và
; ;
A B C
là các đoạn song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng Nhìn vào hình vẽ cần cm : DE+DF =MN
do các đoạn này không thỏa tiêu chí đã đưa ra ở trên nên
có lẽ ta không nên đi theo hướng này
Hướng 2: tách đoạn C thành 2 đoạn
;
E F
nào đó C= +E F
rồi chứng minh
;
A=E B=F
hoặc
;
A=F B=E
Trang 2+)Mình cố xoay xở theo hướng này đã thử lấy 1 điểm T trên đoạn MN sao cho
;
MT =DF TN=DE
tuy nhiên loay hoay mãi vẫn không định vị được vị trí điểm T để thỏa yêu cầu trên
-Mình chuyển qua nghĩ theo hướng : ‘Hay là cố tạo ra 1 đoạn trung gian
PQ
nào đó rồi bằng kiến thức hình học đang có của bản thân chứng minh :
;
DE+DF=PQ PQ=MN
(tách
PQ
ra 2 đoạn ; 1 đoạn
= DE; 1 đoạn =DF )
Để tạo ra 1 quan hệ bằng nhau dạng
PQ=MN
thì mình thấy rằng bài toán này đã xuất hiện yếu tố vuông góc và cả yếu tố song song (BM//CN) mà
;
M N
lại là chân hai đường vuông góc từ
;
B C
lên
EF
nên từ
;
B C
có thể dựng đường song song BP/ / MN hay CQ NM/ / để tạo ra các hình chữ nhật
và
;
BP=MN CQ=MN
Tuy nhiên mình đã thử dựng và vẫn không thể tìm ra kết quả cminh được
hay C
BP=DE+DF Q=DE+DF
Như thế ta cần tạo ra 1 đoạn song song và = MN
và đoạn song song này vẫn có thể nối kết được quan hệ với
;
DE DF
Ta nhận thấy DE là 1 dây cung nội tiếp đường tròn đường kính CH ; DF là 1 dây cung nội tiếp đường tròn đường kính BH mà ta biết rằng để chứng minh hai dây cung bằng nhau trong một đường tròn thường không khó lắm ( chuyển hóa qua góc bằng nhau –rất thích hợp chương trình toán 9 HK2 ) (có lẽ điểm H lúc này không còn “vô dụng “)
Do vậy qua H kẻ đường //MN cắt
;
BM CN
lần lượt ở
;
P Q
khi đó
PQ=MN
Khi đó P F H D B; ; ; ; cùng thuộc đường tròn đường kính BH ; các điểm Q E H C D; ; ; ; cùng thuộc đường tròn đường kính HC
Ta đi cm :
HP=DF Û FBD=PBH Û °- FAH = °- FEH Û FEH =FAH
( đúng vì tứ giác
EAFH
nội tiếp )
Tương tự dễ dang chứng minh được :
ECD=QCH
nên
HQ=DE
Vậy
DE+DF =HP HQ+ =PQ=MN Þ dpcm
Trang 3Nhận xét :
+)Ta đã sử dụng pp chứng minh 2 vế cùng bằng 1 vế trung gian thông qua việc kẻ song song tạo hình chữ nhật
+) việc chứng minh 2 đoạn bằng nhau ( 2 đoạn đã là 2 dây cung trong 1 đường tròn ) thường không quá khó như các pp chứng minh bằng nhau đã học ở lớp 7 và lớp 8
+Bài toán còn có một số cách giải khác ( đã xuất hiện trong sách hoặc đáp án của sở Thái bình và mình
có tham khảo thêm lời giải của thầy Hồng trí quang trên Facebook ) nhưng do mình chỉ giải quyết đúng
1 câu này nên không để ý nội dung các câu a;b;c( có thể gợi ý ra lời giải câu cuối này )
Học toán nâng cao THCS: https://www.facebook.com/groups/1642715989103591/
Youtube : https://www.youtube.com/channel/UCZtu4RtJ5cw6J8B5oI8YhDg?view_as=subscriber