thạch va chạm rồi dính vào trạm P nói trên. Sau va chạm thì trạm vũ trụ cùng với thiên thạch chuyển sang quỹ đạo elip. Biết khối lượng của trạm P gấp 10 lần khối lượng của thiên thạch [r]
Trang 1OLYMPIAD TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG – THÁI NGUYÊN 2010
ĐỀ THI MÔN VẬT LÝ
(Thời gian làm bài:180 phút) (Đề gồm 02 trang)
Câu 1: Một động cơ nhiệt làm việc theo chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 như hình 1, tác
nhân là khí lý tưởng đơn nguyên tử
1) Tìm hiệu suất của chu trình theo các nhiệt độ
tuyệt đối T1, T2, T3, T4 của các trạng thái 1,
2, 3, 4 tương ứng
2) Biết V2 = 3V1 Tính giá trị hiệu suất của chu
trình Cho phương trình của quá trình đoạn
nhiệt: T V. γ−1=const, với γ =5 / 3 là chỉ số
đoạn nhiệt của khí lý tưởng đơn nguyên tử
Câu 2: Một xylanh có chiều dài là 2L chứa pittông có diện tích tiết diện S có thể trượt
trên sàn nằm ngang với hệ số ma sát trượt là µ Trong xylanh chứa khí ở áp suất p0, nhiệt độ T0 Tổng khối lượng của xylanh, píttông và khí là m Bên ngoài áp suất khí quyển là p0 Pittông nối với tường cố định bằng một lò xo có độ cứng k (hình 2) Ban đầu pittông ở chính giữa xylanh Bỏ qua ma sát giữa xylanh và pittông Hỏi phải tăng nhiệt độ của khí lên bao nhiêu lần để thể tích của khí tăng gấp đôi Xét 2 trường hợp:
1) Ma sát giữa xylanh và sàn đủ lớn để xy
lanh luôn đứng yên
2) Ma sát nhỏ nên trong quá trình khí giãn
nở thì xylanh bị dịch chuyển
Câu 3:
Một hình trụ bán kính R khối lượng M đặt
lên mặt phẳng nghiêng góc α với phương ngang và lăn không trượt xuống Hệ số ma sát giữa hình trụ với mặt phẳng nghiêng là µ
Hình 2
2L
p0
p0, T0
P
V
P2
P1
0
đoạn nhiệt
đoạn nhiệt
Hình 1
1
2
3
4
Trang 21) Tìm điều kiện về góc α để hình trụ lăn không trượt trong 2 trường hợp: hình trụ đặc và hình trụ rỗng
2) Tìm gia tốc của tâm hình trụ trong 2 trường hợp trên
3) Đặt vào trong hình trụ rỗng bán kính R,
khối lượng M một hình trụ đặc đồng chất
có bán kính r = R/2, có khối lượng là m
rồi đặt hệ lên mặt phẳng nghiêng góc α
và thả ra không vận tốc đầu (hình 3) Biết
rằng không xảy ra sự trượt giữa các hình
trụ và giữa hình trụ với mặt phẳng nghiêng khi hệ lăn xuống Tìm gia tốc của
hệ khi chuyển động ổn định
C©u 4:
Một trạm thăm dò vũ trụ P bay quanh hành tinh E theo quỹ đạo tròn có bán kính
R Khối lượng của hành tinh E là M
1) Tìm vận tốc và chu kỳ quay quanh hành tinh E của trạm P
2) Một sự kiện không may xảy ra: có một thiên thạch T bay đến hành tinh E
R
58
thạch va chạm rồi dính vào trạm P nói trên Sau va chạm thì trạm vũ trụ cùng với thiên thạch chuyển sang quỹ đạo elip Biết khối lượng của trạm P gấp 10 lần khối lượng của thiên thạch T Hãy xác định:
a) vận tốc của hệ (P và T) ngay sau va chạm
b) khoảng cách cực tiểu từ hệ đó đến tâm hành tinh E
HẾT
α
Hình 3
Trang 3ĐÁP ÁN
Câu 1
1) Nhiệt lượng thu vào trong quá trình 1 – 2:
Q12 = n.CV(T2 – T1)
Nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình 3 – 4:
Q34 = n.CV(T3 – T4)
Hiệu suất:
η = − = −
−
2) Phương trình đoạn nhiệt: T V. γ−1 =const, với
5 / 3
γ = là chỉ số đoạn nhiệt của khí lý tưởng đơn nguyên tử Ta có:
T V2 1γ−1 = T V3 2γ−1; T V1 1γ−1= T V4 2γ−1
T T
3 2
1 4
=
1
γ−
−
= = − =
2 1
3
1
3
γ−
η = − = − = − ≈
Câu 2
1) Trường hợp ma sát lớn đến mức mà cho đến khi thể tích của khí tăng gấp đôi (lò xo
bị nén L) thì xylanh vẫn đứng yên: µ mg ≥ kL
Áp suất khí trong xy lanh khi thể tích tăng gấp đôi là p Phương trình cân bằng lực của pít tông: (p – p0)S = kL
Phương trình trạng thái áp dụng cho khí trong xylang: p S L p S L
T 0 T0
2
=
P
V
P2
P1
0
đoạn nhiệt
đoạn nhiệt
1
2
3
4
Trang 4Suy ra: T kL
2) Nếu µmg<k L. thì ống trụ sẽ đứng yên đến khi lực ma sát nghỉ cực đại bằng ma sát trượt và sau đó xylanh trượt, sự tăng thể tích xảy ra với áp suất không đổi
Khi bắt đầu trượt thì lò xo biến dạng là: x mg
k
µ
= Tại thời điểm ấy nhiệt độ khí là T’, áp suất là p Ta có các phương trình:
- Cân bằng của pittông: (p – p0)S = kx = µmg
- Phương trình trạng thái: pS L x p SL
0 0
( ) '
+ =
T0 p S0 xL
'
µ µ
= + +
' = ' =( ) =1 =1 µ
Câu 3
1) Hình trụ lăn không trượt: tác dụng lên hình trụ
gồm trọng lực P, lực ma sát nghỉ F và lực pháp tuyến
N của mặt phẳng nghiêng (hình vẽ)
Phương trình động lực học cho chuyển động tịnh tiến:
Mgsinα − =F M a.
Phương trình động lực học cho chuyển động quay:
a
F R I I
R
. = γ = ,
trong đó I = MR2 đối với hình trụ rỗng và I 1MR2
2
M I R2
sin ( / )
α
=
I
F Mg
MR2 I
sin
+
α F
N
P
Trang 5Điều kiện lăn không trượt ứng với điều kiện về lực ma sát: F≤ µ = µN Mg cosα
1) Đối với hình trụ rỗng, I=MR2 thì F 1Mgsin
2
2
µ ≥ α
Với hình trụ đặc, I 1MR2
2
3
2
µ ≥ α 2) Gia tốc lăn không trượt của:
- Tâm hình trụ rỗng: a 1gsin
2
= α
- Tâm hình trụ đặc: a 2gsin
3
= α 3) Ký hiệu khối lượng của hình trụ rỗng và hình trụ đặc lần lượt là M và m Khi chuyển động ổn định, cả hai vật có cùng vận tốc tịnh tiến là v và cùng gia tốc tịnh tiến a Vận tốc góc của hình trụ rỗng là ω1 và của hình trụ đặc là ω2 Các lực tác dụng lên từng hình trụ như hình vẽ
2
= ω = ω , suy ra ω = ω2 2 1, đồng thời ta cũng có được liên hệ gia tốc góc: γ = γ2 2 1
Phương trình động lực học cho chuyển động quay của hình trụ đặc:
2
R
1
γ = , suy ra: F2 ma
2
=
PM
F1
F’2
Pm
ω1
N2
Trang 6Phương trình động lực học cho chuyển động quay của hình trụ rỗng:
a
R
( − ) = γ =
Vì F2 ' =F2 là lực tương tác giữa hai hình trụ (lực ma sát), nên F1 M m a
2
= +
Phương trình động lực học cho chuyển động tịnh tiến của hệ:
M m g F1 M m a
( + ) sinα − =( + )
Thay biểu thức của F1 ở trên vào ta thu được kết quả: a M m g
2( ) sin
4 3
=
+
Câu 4
1) Ký hiệu m0 là khối lượng trạm P, vr1 là vận tốc của trạm vũ trục trước va chạm Lực
hấp dẫn giữa trạm P và hành tinh E đóng vai trò lực hướng tâm trong chuyển động của
P quanh E:
m M m v
R
2 2
0 2
2π
R
GM
3 / 2
2π
2) Ký hiệu m là khối lượng của thiên thạch, vr2
là vận tốc của hệ sau va chạm, ur
là vận tốc của thiên thạch trước va chạm Theo định luật bảo toàn động lượng:
mur +10mvr1=11mvr2 (4)
Chiếu lên 2 trục Ox và Oy (hình vẽ):
R
R
58
11 11
x
m
u
R
M
v
v2
v1
r
Trang 7GM v
R
2
11
Sau va chạm thì hệ chuyển sang quỹ đạo elip (đường đứt nét đậm) Tại điểm cận
nhật hệ có vận tốc là v vuông góc với đoạn thẳng r nối điểm cận nhật với tâm hành tinh Ta viết phương trình bảo toàn năng lượng và bảo toàn mô men động lượng của hệ
tại vị trí va chạm và vị ví cận nhật:
2
x
v v
2
10 11
Thay v2 từ (7) và v từ (10) vào (8) ta thu được phương trình bậc hai đối với r:
r2 R r R
42 −121 +50 =0
Phương trình có 2 nghiệm: r R
2
= và r 50R
21
2
= là khoảng cách cực
tiểu cần tìm, còn r 50R
21
= là khoảng cách cực từ hệ đó đến tâm hành tinh E (tại điểm viễn nhật) Dựa vào định luật Kếp-le 3 có thể tìm được chu kỳ quay của hệ (P + T)