Học sinh phân biệt và nhận dạng được các dạng toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba từ đó giải được hầu hết các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy[r]
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
A ĐẶT VẤN ĐỀ
“ Căn bậc hai, căn bậc ba” là một phạm trù kiến thức khá phức tạp, tương đối trừu tượng và là kiến thức mới đối với học sinh lớp 9 Khi gặp một bài toán “có chứa căn bậc hai, căn bậc ba” không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt
đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay xở ra sao Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố, để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh vì đây là một dạng toán mang tính chất phức tạp, trừu tượng, khó biến đổi
Vì vậy tôi thấy có nhiều thắc mắc muốn xây dựng chuyên đề để phần nào
giúp học sinh học tập tốt hơn phần này nên tôi chọn đề tài : “một số bài toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba” để làm đề tài
Qua giảng dạy phần “một số bài toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba” tôi
tự rút ra một số vấn đề trọng tâm sau:
1 Lý thuyết căn bậc hai, căn bậc ba
2 Một số bài toán và phương pháp giải
3 Một số bài toán có dạng tổng đặc biệt nhờ vào số hạng tổng quát để biến đổi và rút gọn
Để học sinh nắm bắt được kiến thức một cách chặt chẽ và lô gíc, giúp học sinh có năng khiếu nâng cao kiến thức một cách có hệ thống theo chương trình
được tiếp thu ở trên lớp học hàng ngày đặc biệt là học ở bậc THPT sau này
B PHẦN KIẾN THỨC
I LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa căn bậc hai:
Với a≥ 0,
=
≥
⇔
=
a x
x a
2 Các công thức vận dụng
2.1 Hằng đẳng thức: A2 = A
2.2 Khai phương một tích: A.B = A. B với A ≥ B0 , ≥ 0
2.3 Khai phương một thương:
B
A
B A = với A ≥ B0 , > 0 2.4 Đưa thừa số từ ngoài vào trong và từ trong ra ngoài dấu căn
B
A
B
B A
B
A = − 2 với A < 0 ( A2B = −A B với A < 0)
2.5 Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
B
AB
2.6 Trục căn thức ở mẫu:
a)
B
B A
B
A = với B > 0
2
B A
B A C B
A
C
−
=
±
m
Trang 2c) ( )
B A
B A C B
A
C
−
=
±
m
3 Định nghĩa căn bậc ba
a x
a
x= 3 ⇔ 3 =
4 Tính chất của căn bậc ba
4.1 3 3 3
.B A B
A =
4.2
3
3
3
B
A B
A = với B≠ 0
II CÁC DẠNG TOÁN
II.1 BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC
Dạng phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
x
x x x
x
x
− +
+
−
1
1
2
với x> 0
Hướng dẫn giải
1 2 1
1
1 1
2 1
1
2
−
=
−
=
−
− + +
= +
− +
+
=
+
− + +
−
+
− +
=
+
− +
+
−
+
x x x x x
x x x
x
x
x
x x x
x
x x x x x
x x x
x
x
x
Dạng phân tích mẫu thành nhân tử rồi quy đồng sau đó rút gọn
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
2
1 :
1
1 1 1
−
+ + +
+
−
x x
x
x x
x
x
Với x > x0 , ≠ 1
Hướng dẫn giải
2
1 :
1
1 1 1
−
+ + +
+
−
x x
x
x x
x
x
2 1
1 1 1
1
2
−
−
+ + +
+ + +
−
+
=
x x x
x
x x
x
x
x
2 1
1
1 1
2
− +
+
−
+ +
−
− +
+
=
x x
x x
x x x
x
x
2 1 1
12
− +
+
−
−
=
x x
x
x
x
1
2
+
+
=
x
x
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
1
2 2
1 2
3
9
3
−
−
− +
+
−
−
+
−
+
x
x x
x x
x
x
x
với x > x0 , ≠ 1
Hướng dẫn giải
1
2 2
1 2
3
9
3
−
−
− +
+
−
−
+
−
+
x
x x
x x
x
x
x
Trang 3( )( ) ( )( ) ( 1)( 2)
2 2
1 1
3 3
3
+
−
+
−
−
− +
−
−
+
=
x x
x x
x x
x
x
( )( ) ( ( 1)( )( 2) )
2 1
2 1
2 3
+
−
+ +
= +
−
+
+
=
x x
x x
x
x
x
x
1
1
−
+
=
x
x
II.2 BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức
a)
2
6
3
2
4
−
−
b) (3 2 + 6) 6 − 3 3
Hướng dẫn giải
2 2
1 ) 1 3 ( 2
1 3 1
3 2
1 3 2
6
3
2
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
b) (3 2 + 6) 6 − 3 3 =(3 + 3) 12 − 6 3 =(3 + 3) (3 − 3) (2 = 3 + 3)(3 − 3)= 6
Ví dụ 2: Cho x+ x2+ 2014 y+ y2 + 2014 = 2014 (1)
Tính tổng x + y
Hướng dẫn giải
Ta có:
2014 2014
− + +
2014 2014
− + +
− + +
=
x x y
− + +
=
y y x
Cộng (4) với (5) và thu gọn ta được
0
= +
⇒
−
−
=
+y x y x y
x
II.3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH
Ví dụ 1: Chứng minh hiệu:
3 2
1 3 2
1
+
−
− là số hữu tỉ
Hướng dẫn giải
Ta có:
7
6 7
3 2 3 2 9
2
3 2 9 2
3 2 3 2
1 3 2
1
−
=
−
=
−
−
−
−
+
= +
−
Vậy :
3 2
1 3
2
1
+
−
− là số hửu tỉ
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
1 5
2 + và 2
5
1 −
là hai số đối nhau
Hướng dẫn giải
1 5 2
1 5 1 5 4 2
5 1 1
5
2
= +
+
−
−
=
− + +
Trang 4Vậy:
1
5
2
+ và 2
5
1 −
là hai số đối nhau
Ví dụ 3: Chứng minh tổng: 3 3
13 5 18 13 5
18 − + + là một số nguyên tố
Hướng dẫn giải
13 5 18 13
5
=
x
Ta có:
3 3
3 3
13 5 18 13
5
=
x
+ +
+
−
13 5 18 13 5 18 13 5 18 13 5 18 3 13 5 18 13
5
18
(18 25 13)x
3
36 + 2 −
=
x
3
36 −
=
0 36
3
3 + − =
( − 3) ( 2 + 3 + 12)= 0
0
3 =
−
⇔ x vì x2 + 3x+ 12 > 0 , ∀x
3
=
⇔ x
13 5 18 13 5
18 − + + là một số nguyên tố
II.4 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
II.4.1 Một vài phương pháp cơ bản
a) Phương pháp nâng lũy thừa
Ví dụ 1: Giải phương trình
8 5
3
2x− + = (1)
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
2
3
≥
x
3 6
2 9 3 2 3 3
2
)
1
( ⇒ x− = ⇔ x− = ⇔ x= ⇔ x=
Đối chiếu điều kiện x= 3 thỏa mãn
Vậy x= 3 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 2: Giải phương trình
2 1
1
4x+ − x− = x− (1)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x≥ 2
( )
1 2 2
1 2 2
4
2
1 2 2 1 2
1
4
1 2
1
4
1
−
−
=
+
⇔
−
−
=
+
⇔
−
− +
− +
−
=
+
⇒
− +
−
= +
⇔
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
( + 2) (2 = − 2)( − 1)
⇔ x x x vì x≥ 2 hai vế đều không âm
7
2
2
7
2 3 4
2
−
=
⇔
−
=
⇔
+
−
= +
+
⇔
x
x
x x x
x
Trang 52
−
=
x không thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình vô nghiệm
b) Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Giải phương trình
2 2 2 1 2
2
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x≥ 2
2 2 2 1 2
2
1
2 2
=
−
− +
+
−
⇔
=
−
−
− +
−
+
−
x x
x x
x
x
2 1 2 1
2 + + − − =
−
Với x− 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x− 2 ≥ 1 ⇔ x≥ 3 ta có
( )1 ⇔ x− 2 + 1 + x− 2 − 1 = 2 Vì x− 2 + 1 > 0 với ∀x≥ 2
3
1
2
=
⇔
=
−
⇔
x
x
3
=
x thỏa mãn điều kiện
Với x− 2 − 1 < 0 ⇔ 2 < x< 3 ta có
( )1 ⇔ x− 2 + 1 + 1 − x− 2 = 2
2
2 =
⇔ thỏa mãn với mọi 2< x< 3
Kết hợp hai trường hợp ta có: Nghiệm của phương trình là: 2< x≤ 3
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình
5 3 5
3
8 + x− + − x− =
Hướng dẫn giải
Đặt: u = 8 + x− 3 ⇔u ≥ 0 ,u2 = 8 + x− 3
Đặt: v= 5 − x− 3 ⇔v≥ 0 ,v2 = 5 − x− 3
Ta có hệ phương trình:
=
=
=
=
⇔
= +
= +
2 3 3 2
13
5 2 2
v u v u
v u
v u
Thay giá trị của u, v ta tìm được nghiệm của phương trình là x= 4
II.4.2 Một vài phương pháp khác
a) Phương pháp sử dụng đối nghịch hai vế
Ví dụ: Giải phương trình
2 2
2
2 2 7 6 3 3
4
2x + x+ + x + x+ = − x−x (1)
Hướng dẫn giải
VT = 2x2+ 4x+ 3 + 3x2+ 6x+ 7 = 2(x+ 1)2 + 1 + 3(x+ 1)2 + 4 ≥ 1 + 2 = 3
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1
VP = -(x +1)2 + 3 ≤ 3
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1
Trang 6Suy ra: 2 2 2
2 2 7 6 3 3 4
2x + x+ + x + x+ = − x−x
3 2
2 7 6 3 3 4
2 2 + + + 2+ + = − − 2 =
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
b) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ: Giải phương trình
1 1
3 x3 + + x =
Hướng dẫn giải
+) Với x > 0 ta có: 3 2x3+ 1 > 1 ; 3 x > 0 suy ra: VT = 3 2x3 + 1 + 3 x > 1 = VP
Vậy phương trình vô nghiệm
+) Với x < 0 ta có: 3 2x3 + 1 < 1 ; 3 x < 0 suy ra: VT = 3 2x3 + 1 + 3 x < 1= VP
Vậy phương trình vô nghiệm
+) Với x = 0 ta có : VT = 3 2x3 + 1 +3 x = 1 = VP
Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
c) Phương pháp bất đẳng thức
Ví dụ: Giải phương trình
13 6 1
7 −x + x+ = x2+ x+ (1)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: − 1 ≤x≤ 7
Ta có: ( )2 ( 2 2)
2a b b
a+ ≤ + với mọi a, b suy ra
4 1 7
16 1 7
2 1
≤ + +
−
⇒
= + +
−
≤ +
+
−
x x
x x x
x
Mặt khác : x2 + 6x+ 13 =(x+ 3)2+ 4 ≥ 4
Vậy phương trình (1) tương đương với:
3 4
13 6 1
7 −x + x+ = x2+ x+ = ⇔ x=
Vì x = 3 thỏa mãn điều kiện
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
BÀI TOÁN VỀ TỔNG ĐẶC BIỆT
Ví dụ 1: Tính tổng
a)
2014 2013
1
5 4
1 4
3
1 3
2
1 2
1
1
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
Hướng dẫn giải
1 2014
1
2013 2014
1
4 5
1
3 4 1
2 3 1
1
2
2014 2013
1
5 4
1 4
3
1 3
2
1 2
1
1
−
=
− +
+
− +
− +
− +
−
=
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
2014
1 2013
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1 1 2
1
1
1
Hướng dẫn giải
Với mọi n ∈ N * ta có:
Trang 7( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) )
1 1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 2
1 1
1 1
1
1 1
1
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
+
− +
= + +
= +
+ +
= +
+ +
=
+
+ + +
+
= +
+ + + +
= + +
+
n n n
n n
n
n n n
n
n
n
n n
n n n
n n
n
n n
n n n
n
Do đó :
2 2
2 2 2
2 2
2
2014
1 2013
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1 1 2
1
1
1
2014
2013
2013
2014
1 1
2013
.
1
2014
1 2013
1 1
4
1 3
1 3
1 2
1 1
2
1
1
1
1
+
=
−
+
=
− +
+ +
− +
− + +
−
+
=
c)
2014 2013 2013
2014
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
1
1
2
1
+ +
+ +
+ +
+ +
Hướng dẫn giải
Với mọi n ∈ N * ta có:
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
1
+
−
=
− + +
− +
= + + +
= + +
n n
n n
n n n
n
n
n
Do đó
2014
2014
1
2014
1
1
2014
1 2013
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
1
1
2014 2013 2013
2014
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
1
1
2
1
−
=
−
=
− +
+
− +
− +
−
=
+ +
+ +
+ +
+
+
Ví dụ 2: Cho
1 2013
1 2
2012
1
2012 2
1 2013
1
1
+ +
+ +
=
S
Hãy so sánh S và
2014
2013 2
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức cauchy viết dưới dạng:
b a b
a > +
1
1
với a≠b
Áp dụng ta có: S >
2014
2013 2
C BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn biểu thức
1
1 2 2
1
2
−
− +
+
− +
+
−
x
x x
x x x
x
x
x
Trang 8b) x−5x +x2+6−2−x+x3− x x−+32:2− x x+1
Bài 2: Chứng minh rằng 3 3 6
27
2303 6
27
2303
−
− + là một số nguyên Bài 3: Chứng minh rằng: 3 3
1 2 1
2 − + +
=
0
2
3
3+ x+ =
x
Bài 4: Giải phương trình
a) 3x2 + 21x+ 18 + 2 x2+ 7x+ 7 = 2
b) x− 1 − 5x− 1 = 3x− 2
2 4 14 10 5 7 6
3x + x+ + x + x+ = − x−x
Bài 5: Cho:
2015 2014
1
5 4
1 4
3
1 3
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
=
P
P có phải là số hữu tỉ không?
Bài 6: Chứng minh rằng
2005 1006009
1
4
1 3
1 2
1
1
2004 < + + + + + <
Bài 7: Chứng minh rằng: ∀n> 1 ,n∈N thì:
1
4 5
1 3 4
1
2
3
1
2
1
<
+ + + +
+
+
n n
F KẾT QUẢ:
Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên trong khi truyền thụ cho học sinh Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học sinh phân biệt và nhận dạng được các dạng toán có chứa căn bậc hai, căn bậc ba từ đó giải được hầu hết các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề này và qua đó cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu
Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra học sinh đã giải được
một cách tự lập và tự giác
G BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
- Hầu hết học sinh đã nắm được cách trình bày, một số còn tỏ ra lúng túng và một
số ít vẫn còn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản (nhất là những bài dễ)
- Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để rồi nhận được dạng trước một bài toán có chứa căn bậc hai Cần rèn luyện về cách lập luận
và trình bày của học sinh
Trang 9- Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi nào đó để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được
Trên đây là một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà tôi đã rút ra được khi dạy phần căn bậc hai Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và
cả về hình thức khoa học Tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp và của cán bộ chuyên viên để những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục
Xin chân thành cảm ơn