Toán 8 Hình Học chuyên đề Dinh ly Ta let

Mét sè m« h×nh song song kh¸c xung quanh ®-êng trung truyÕn cña tam gi¸c cã nhiÒu øng dông trong gi¶i to¸n.[r]

Trang 1

Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi

Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán

về đoạn thẳng tỷ lệ

A/ Cơ sở lý thuyết – các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết :

Phần 1

các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ

1.1 Tỷ số của hai đoạn thẳng

Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo Nh- th-ờng lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó

Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là

và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD

Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo

EF AB



( Nếu CD khác GH ) 1.3 Trung bình nhân

Đoạn thẳng AB đ-ợc gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD & EF nếu

VD Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì

đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG

1.4 Trung bình điều hoà

Đoạn thẳng AB đ-ợc gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu

EF CD

AB

1 1

2



Trang 2

VD : Cạnh nhỏ nhất của tam giác Ai Cập là trung bình điều hoà của cạnh góc vuông còn lại và chiều cao thuộc cạnh huyền

Tam giác Ai Cập là tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 3 , 4 , 5 Nếu đặt AB = 3

AC = 4 thì BC = 5 và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH =

BC

AC AB.

Do đó

AB AB

AC

BC AB AB AC

AB

BC AB AC AB

BC AC

AH

AC

2 4

4 3

1

.

1 1

D C

B A

- CD & AB tỷ lệ với C/D/ & A/B/

- AB & A/B/ tỷ lệ với CD & C/D/

- C/D/ & CD tỷ lệ với A/B/ & AB

- A/B/ & C/D/ tỷ lệ với AB & CD

- C/D/ & A/B/ tỷ lệ với CD & AB

VD : Nếu AD , BE là hai trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì Vì

BE

BG AD

1.5 Điểm chia đoạn thẳng

- Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k > 0 khi và chỉ khi C thuộc

Trang 3

Song song a , b , c tại các điểm t-ơng

Cho hai đ-ờng thẳng song song a và b định ra trên hai cát tuyến d & d/ các đoạn

thẳng t-ơng ứng AB và A/B/ Nếu một đ-ờng thẳng c cắt d và d/ tại hai điểm t-ơng

ứng C (không trùng với A ) và C/ ở cùng phía đối với đ-ờng thẳng b mà ta có các

đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ / /

/ /

C B

B A

BC AB  Thì đ-ờng thẳng c song song với a & b 2.3 Định lý Thales trong tam giác :

2.3 1 Định lý Thuận

Nếu một đ-ờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh

đối diện thì nó chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh kia của tam giác thành những đoạn

DB EC

AE DB

AD AC

AE AB

Nếu một đ-ờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh

đối diện thì nó tạo với hai cạnh kia của tam giác một tam giác mới có các cạnh tỷ lệ

với các cạnh của tam giác đã cho

G/s đ-ờng thẳng a song song với cạnh BC của tam giác ABC nh-ng không đi qua

đỉnh A cắt hai đ-ờng thẳng AB , AC tại hai điểm t-ơng ứng D và E thì tam giác

ADE có ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh của tam giác ABC

Trang 4

2.3 3 Định lý đảo

Nếu một đ-ờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì nó song song với cạnh còn lại của tam giác đó

Phần 3 : Các bài toán cơ bản áp dụng Định lý thaleS

3.1 Bài toán thứ nhất :

Cho hai đ-ờng thẳng song song cố định a và b Hai điểm A và B theo thứ tự di

động trên a và b Tìm quỹ tích các điểm M sao cho  k  0

Phần thuận : Chọn một điểm H bất kỳ trên a rồi cho cố định lại ( hình vẽ trên ) qua

H vẽ đ-ờng thẳng vuong góc với b tại K Khi đó có đúng một điểm I trên đ-ờng thẳng HK sao cho k

IK

IH  Nếu A và B theo thứ tự trên a và b mà  k  0

MB MA

Thì

IK

IH

MB

MA  Nên theo định lý đảo đ-ờng thẳng IM song song với a và b

Vậy điểm M nằm trên đ-ờng thẳng đi qua điểm I cố định và song song với a , b

Ta gọi c là đ-ờng thẳng đi qua I và song song với a , b

Phần đảo : Lấy trên c một điểm M/ Lấy trên a một điểm A/ bất kỳ khi đó đ-ờng thẳng A/ M/ cắt b tại điểm B/ áp dụng định lý thuận cho ba đ-ờng thẳng song song a, b , c và hai cát tuyến HK và A/B/ ta có

IK

IH B

M

A

M// //   Vậy mọi điểm trên c đều thoả mãn ĐK đã cho đối với điểm M Vậy quỹ tích cần tìm là đ-ờng thẳng c

3.2 Bài toán thứ hai :

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Đ-ờng thẳng đi qua giao điểm I của hai đ-ờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các

điểm t-ơng ứng E , F Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung bình điều hoà của hai đáy

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

Trang 5

3.3 Bài toán thứ ba :

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD Đ-ờng thẳng đi qua A

và song song với BC cắt BD tại E Đ-ờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt

AC tại F Chứng minh rằng E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy của hình thang

AD  Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng DE Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.6 Bài toán thứ sáu : ( Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t- )

Cho tr-ớc ba đoạn thẳng AB , m , n Dựng các điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ số

Trang 6

Cho ba đ-ờng thẳng , trong đó có hai đ-ờng thẳng cắt nhau , định ra trên hai

đ-ờng thẳng song song các đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì ba đ-ờng thẳng ấy đồng quy

c/ Định lý đảo 2 :

Nếu hai đ-ờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đ-ờng thẳng đồng quy tạo thành các

đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau

3.8 Bài toán thứ tám (bổ đề hình thang ) :

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đ-ờng thẳng

đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đ-ờng chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang

b/ Hãy nêu ra cách dựng chỉ một cái th-ớc (không dùng com pa) để dựng trung

điểm của đoạn thẳng AB cho tr-ớc khi cho một đ-ờng thẳng d song song với AB

Và dựng qua điểm M cho tr-ớc một đ-ờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho tr-ớc

mà đã biết trung điểm I của AB

3.9 Bài toán thứ chín :

Cho góc xOy và đ-ờng thẳng d không đi qua O nh-ng cắt cả hai cạnh của góc đó

Đ-ờng thẳng di động a không đi qua O nh-ng cùng ph-ơng với d , cắt Ox tại A và cắt Oy tại B Tìm quỹ tich trung điểm của đoạn thẳng AB

3.10 Bài toán thứ m-ời ( chia một đoạn thẳng cho tr-ớc ):

Chia đoạn thẳng AB cho tr-ớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b ,

c cho tr-ớc

3.11 Bài toán thứ m-ời một ( Định lý Ménélaus ):

Trang 7

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó Điều kiện cần

và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hàng là  1

RB

RA QA

QC PC PB

Lời giải : (Xem tài liệu TK )

3.12 Bài toán thứ m-ời hai ( Một ứng dụng của Định lý Ménélaus ):

Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm t-ơng ứng M , N Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN và MD Chứng minh rằng ba điểm C , P , Q thẳng hàng

3.13 Bài toán thứ m-ời ba ( Định lý Cé va ):

và đủ để ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là

và đủ để ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy là  1

RB

RA QA

QC PC PB

3.14 Bài toán thứ m-ời bốn ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Chứng minh rằng các đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh

đối diện với đ-ờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đ-ợc gọi là

điểm Gergonnecủa tam giác)

3.15 Bài toán thứ m-ời năm ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Chứng minh rằng các đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh

đối diện với đ-ờng tròn bàng tiếp thì đồng quy (Điểm đó đ-ợc gọi là điểm Nagel của tam giác )

3.16 Bài toán thứ m-ời sáu ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Cho tam giác ABC , một điểm D trên cạnh AB , một điểm E trên cạnh AC và trung

điểm M của cạnh BC Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi ba đ-ờng thẳng

AM , BE , CD đồng quy

Lời giải các bài toán 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tài liệu TK (Sách bồi d-ỡng th-ờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

3.17 Bài toán thứ m-ời bẩy ( Định lý về đ-ờng phân giác ):

Đ-ờng phân giác ( trong, ngoài ) của một tam giác chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề với hai cạnh ấy

Trang 8

3.18 Bài toán thứ m-ời tám ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giác đều ABC và điểm D sao cho :

5 3

3.19 Bài toán thứ m-ời chín ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giác ABC, có đ-ờng trung tuyến AD Đ-ờng phân giác của góc ADB và ADC cắt các cạnh t-ơng ứng AB , AC tại E , F Chứng minh rằng EF // BC và EF

là trung bình điều hoà của AD , BD

3.20 Bài toán thứ hai m-ơi ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giác ABC không cân tại A Chứng minh rằng chân đ-ờng phân giác ngoài của góc A và chân của hai đ-ờng phân giác trong của hai góc B , C là ba

điểm thẳng hàng

3.21 Bài toán thứ hai m-ơi mốt ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giácABC vuông tại A Chứng minh rằng : Đ-ờng cao AH , đ-ờng trung tuyến BD , đ-ờng phân giác CE đồng quy khi và chỉ khi AB là trung bình nhân của

BC và CA

3.22 Bài toán thứ hai m-ơi hai (Định lý đảo của định lý về đ-ờng phân giác )

Đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy là đ-ờng phân giác( trong, ngoài) của tam giác đó

3.23 Bài toán thứ hai m-ơi ba ( Quỹ tích về đ-ờng tròn Apollonius ):

Quỹ tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân biệt A & B bằng một hằng số k ( 0< k # 1 ) là một đ-ờng tròn có đ-ờng kính là

đoạn thẳng nối các điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo tỷ số k

3.24 Bài toán thứ hai m-ơi t- ( ứng dụng Quỹ tích về đ-ờng tròn Apollonius): Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng B , C , D Dựng tam giác vuông ABC mà AD

là đ-ờng phân giác của góc vuông

Lời giải các bài toán 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tài liệu TK (Sách bồi d-ỡng th-ờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

Phần thứ t-

Một số dạng toán cơ bản về định lý thales và đoạn thẳng tỷ lệ học sinh cần

phải thông thạo

Trang 9

A) Dạng toán thứ nhất : Chứng minh đoạn thẳng tỷ lệ

ĐVĐ : Ng-ời ta th-ờng dùng đ-ờng song , đ-ờng phân giác của một góc hoặc tam giác đồng dạng để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ

Trong tr-ờng hợp cả ba ph-ơng pháp trên đều không có hiệu lực , thì ng-ời ta phải tìm hai đoạn thẳng tỷ lệ thứ ba làm trung gian , để chứng minh các đoạn thẳng khác

tỷ lệ với nhau

1) Lợi dụng đ-ờng thẳng song song

VD 1 : Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy một điểm D , kéo dài CB đến E, sao cho BE = AD, ED và AB cắt nhau tại F Chứng minh rằng :

BC

AC

FD EF 

Suy xét : Quan sát bốn đoạn thẳng tỷ lệ và

hai đoạn thẳng bằng nhau cho tr-ớc trong hình

vẽ , ta thấy muốn làm cho ba đoạn E F , FD ,

EB có mối liên hệ , thì phải từ D dựng DG //

AB , nh- vậy ba đoạn thẳng trên và BG là

những đoạn thẳng tạo nên bởi một đ-ờng song

song với một cạnh của tam giác EDG và cắt hai

cạnh kia của tam giác đó Đồng thời bốn đoạn

thẳng AC, BC , AD , BG cũng có mối liên hệ

AD BG

EB FD

EF



2) Lợi dụng đ-ờng phân giác của một góc :

VD 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đ-ờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt

đ-ờng phân giác BE tại F ( E thuộc AC ) Chứng minh rằng :

EC

AE

FA

DF 

Suy xét : DF và FA là hai đoạn thẳng

tạo nên bởi đ-ờng phân giác của góc B

trong tam giác BAD cắt cạnh đối diện với

thấy DBA  ABC mà BD &BA ;

AB & BC là hai cặp cạnh t-ơng ứng của

hai tam giác nói trên suy ra ĐPCM D

F

E

C B

A

3) Lợi dụng tam giác đồng dạng :

Trong ví dụ trên ta đã dùng định lý hai tam giác đồng dạng thì các cạnh t-ơng ứng của chúng tỷ lệ với nhau để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ

4) Lợi dụng các tỷ số khác làm trung gian :

Trang 10

VD 3 : Từ một điểm A ngoài đ-ờng tròn dựng hai tiếp tuyến AB , AC với đ-ờng tròn đó ;Trên đ-ờng tròn lấy một điểm P tuỳ ý , dựng PD vuông góc với BC , PE vuông góc với AB , PF vuông góc với AC Chứng minh rằng :

PF

PD

PD PE 

Suy xét ( Cách 1 ) PE & PD là hai cạnh của tam

giác PED , PD & DF là hai cạnh của tam giác PDF

Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác PDF thì

bốn cạnh đó tỷ lệ với nhau Muốn chứng minh hai

tam giác đó đồng dạng với nhau thì phải chứng minh

hai cặp góc t-ơng ứng bằng nhau từng đôi một Để

chứng minh hai cặp góc bằng nhau từng đôi một thì

phải tìm những cặp góc khác làm trung gian Từ

những đ-ờng vuông góc đã cho trong giả thiết ta thấy

các tứ giác PEBD và PDCF nội tiếp cho nên có thể

tìm đ-ợc những góc nội tiếp bằng nhau Từ tiếp

tuyến đã cho trong giả thiết ta sẽ suy ra đ-ợc góc

giữa tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm bằng góc

nội tiếp chắn cung mà dây đó căng

Suy xét (Cách 2 ) : Nếu chỉ nối PC , PB thì từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm

ta biết góc PBE = góc PCD Ta chứng minh đ-ợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông PDC , và suy ra PE : PD = PB : PC Với cách đó ta cũng chững minh đ-ợc PD : PF = PB : PC và nh- vậy qua tỷ số trung gian PB : PC ta chững minh đ-ợc tỷ lệ thức trong kết luận Cách giải này đơn giản hơn cách giải 1

VD 4 : Ba đ-ờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC gặp nhau tại H Chứng minh rằng : DA.DH = DE.DF

Suy xét : Muốn chứng minh DA.DH =

DE DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA :

DF = DE : DH , rồi chứng minh tỷ lệ thức

này DA , DA là hai cạnh của tam giác

DAE DF , DH là hai cạnh của tam giác

DFH ta phải tìm cách chứng minh hai tam

giác này đồng dạng với nhau Muốn cho

hai tam giác đồng dạng thì cần phải có hai

D

E

C B

A

Dạng toán thứ hai :

Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và chứng minh hai

đ-ờng thẳng song song với nhau

1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Trang 11

a/ ph-ơng pháp 1 : Chứng minh tỷ số của hai đoạn thẳng bằng tỷ số nghịch đảo của chúng

Trong các bài tập dễ , muốn chứng minh a=b , thì ta có thể chứng minh a : b = b: a

VD 5 : Cho tam giác ABC , từ điểm P trên AB dựng PQ // BC cắt AC tại Q ; từ Q dựng QR //AB cắt BC tại R ; từ R dựng đ-ờng thẳng song song với AC , đ-ờng này lại đi qua P Chứng minh rằng P là trung điểm của AB

VD muốn chứng minh x =y , mà ta đã biết a = b rồi ta có thể chứng minh a : x = b :

y

VD 6 : Từ một điểm D trên một đ-ờng tròn dựng DE vuông góc với đ-ờng kính

AB ; tiếp tuyến qua A và D cắt nhau tại C; nối CB cắt DE tại F Chứng minh rằng :

DF = FE

Suy xét : Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn

chứng minh DF = FE thì ta phải chứng minh CD :

DF = CA : FE (1) Tỷ số của vế phải của (1) bằng

AB : EB Còn tỷ số ở vế trái rất khó chứng minh

bằng AB : EB , CD và DF là hai cạnh của tam giác

CDF cho nên nếu dựng tiếp tuyến qua B , cắt CD

kéo dài tại G thì sẽ đ-ợc tam giác CGB đồng dạng

với tam giác CDF , nh- vậy tỷ số ở vế trái của (1)

A

D

G C

c/ Ph-ơng pháp 3 :

Chứng min h hai đoạn thẳng này và một đoạn khác tạo thành một tỷ lệ thức

Muốn chứng minh x = y mà trong bài lại không cho các đoạn thẳng bằng nhau , ta

có thể dựa vào một đoạn thẳng a và chứng minh

a : x = a : y

Trang 12

VD 7 : Cho một hình thang Chứng minh rằng giao điểm của các đ-ờng chéo chia

đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy của

Vế phải của hai tỷ lệ thức trên

bằng nhau , vì đấy là những đoạn

thẳng tạo nên bởi ba đ-ờng thẳng

song song cắt hai đ-ờng thẳng

Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút ra đ-ợc FE = EG

d/ Ph-ơng pháp 4 :

Lợi dụng ph-ơng tích của một điểm đối với một đ-ờng tròn

Ng-ời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ một điểm bất kỳ ở ngoài một đ-ờng tròn , ta kẻ tới đ-ờng tròn đó một cát tuyến và một tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là

trung bình nhân giữa toàn cát tuyến và phần cát tuyến ở ngoài đ-ờng tròn

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

VD 8 : Kéo dài hai dây cung AB , CD của một đ-ờng tròn , chúng cắt nhau tại một

điểm E ở ngoài đ-ờng tròn đó ; dựng đ-ờng song song với AD và đi qua E cắt CB kéo dài tại F , từ F dựng tiếp tuyến FG với đ-ờng tròn Chứng minh rằng FG = FE

D

C

A

B E

2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đ-ờng thẳng song song

Để chứng minh hai đ-ờng thẳng song song với nhau ng-ời ta th-ờng dùng hai

ph-ơng pháp sau đây :

a) Ph-ơng pháp thứ nhất :

Lợi dụng các đoạn thẳng tỷ lệ trên hai cạnh của tam giác

Trang 13

VD 9 : Cho tam giác ABC , AD là đ-ờng trung tuyến của tam giác , dựng các

đ-ờng phân giác của các góc ADB , & ADC cắt AB , AC tại E & F Chứng minh rằng : EF//BC

Suy xét : Muốn chứng minh

E F // BC ta có thể chứng minh

AE : EB = A F : FC (1) Tỷ số ở vế

trái của (1) có các số hạng là hai

đoạn thẳng đ-ợc tạo thành do đ-ờng

phân giác của góc trong tam giác

DAB chia cạnh đối diện cho nên bằng

b) Ph-ơng pháp thứ hai :

Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc bằng nhau sau đó áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đ-ờng thẳng song đã học ở lớp 7 để suy ra hai

đ-ờng thẳng song song

VD 10 : Từ một điểm P ngoài đ-ờng tròn dựng tiếp tuyến PA với đ-ờng tròn đó ,

từ trung điểm B của PA kẻ một cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đ-ờng tròn tại E và F Chứng minh rằng FE//PA

Suy xét : Muốn cho FE // PA thì phải có

góc BPC = góc E , vì góc E = góc D do vậy

ta cần chứng minh góc BPC = góc D Muốn

vậy ta tìm cách chứng minh tam giác BPC

đồng dạng với tam giác BDP Hai tam giác

này đã có góc PBC chung , muốn cho chúng

Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng và đa giác nội tiếp

Để chứng minh các điểm thẳng hàng hoặc đa giác nội tiếp , ng-ời ta dùng các

đoạn thẳng tỷ lệ để chứng minh hai tam giác đồng dạng tr-ớc , rồi dựa vào các cặp góc bằng nhau của hai tam giác đó mà chứng minh kết luận của bài ra

Trang 14

1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng :

VD 11 : Chứng minh rằng các trung điểm của hai đáy của một hình thang , giao

điểm của hai đ-ờng chéo và giao điểm của hai cạnh bên kéo dài là bốn điểm thẳng hàng

đ-ợc mục đích trên ta nghiên cứu xem tam

giác AEG có đồng dạng với tam giác CFG

H

Để chứng minh E , F , H thẳng hàng ta dùng ph-ơng pháp nói trên Ta có tam giác ADH đồng dạng với tam giác BCH và ta có AD : BC = AH : BH ta suy ra AE : BF = AH : BH , ta có thêm góc EAH = góc FBH suy ra hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc bằng nhau suy ra (đpcm) 2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh đa giác nội tiếp :

VD 12 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E sao cho :

AE BE = CE DE Chứng minmh rằng tứ giác ABCD nội tiếp đ-ợc trong đ-ờng tròn

Suy xét :

Từ giả thiết có thể suy ra đ-ợc

AE : DE = CE : BE , bốn đoạn thẳng trong tỷ

lệ thức là các cạnh t-ơng ứng của tam giác

ACE và tam giác DBE , các cạnh ấy lại kề với

các góc AEC = góc DEB (đ đ) do đó hai tam

giác đó đồng dạng suy ra góc A = góc D suy ra

tứ giác ABCD nội tiếp đ-ợc trong một đ-ờng

D ) Dạng toán thứ t- :

Chứng minh các quan hệ về tổng ( hiệu ) hai tỷ số

1) Chứng minh tổng ( hiệu) hai tỷ số bằng một hằng số :

a/ Bài toán gốc điển hình

Trang 15

VD 13 : Cho tam giác ABC ; G là trọng tâm của tam giác , đ-ờng thẳng qua G cắt các cạnh AB & AC tại M & N Chứng minh rằng :

  3

AN

AC AM AB

Suy xét : Đặt vế trái của hệ thức cần chứng minh là f =

AN

AC

AM AB  Ta thấy hai

đoạn thẳng thuộc hai tỷ số từng đôi một thuộc hai đ-ờng thẳng khác nhau đó là

đ-ờng thẳng AB & đ-ờng thẳng AC Do đó chúng ta đứng tr-ớc một sự lựa chọn thứ nhất đó là : Đi về đâu ? Đ-a về cùng một đ-ờng thẳng nào ? Nói cách khác là chiếu lên đ-ờng thẳng nào ?

tâm trong tam giác

Gọi I là trung điểm của

G J

I E

Q P

C B

M

N A

BC , J là giao điểm của BP với AG , qua I kẻ IQ// BP , qua C kẻ CE // BP Xét tam giác CBP có

đ-ờng thẳng IQ đi qua trung điểm I của CB lại song song với BP suy ra Q cũng là trung điểm của

AQ AG

AI

Tức là f = 3 (ĐPCM)

Làm t-ơng tự nh- cách 1

Tuy nhiên chúng ta nhận thấy ở cách 1 hoặc cách 2 đều có sự quanh quẩn dù có

chiếu sang AC hoặc AB rồi lại vẫn phải quay về AI Vì vậy tốt nhất là chúng ta

đ-a về đ-ờng trung tuyến AI Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc

đ-ờng thẳng AI )

Trang 16

điểm của JE suy ra I J = I E

E I B

M

N

C A

Trong tr-ờng học , chúng ta luôn đ-ợc cảnh báo rằng sai lầm là việc sấu , nếu ta phạm sai lầm sẽ bị trừng phạt Nh-ng nếu ta xem xét ph-ơng pháp học tập của loài ng-ời sẽ thấy rõ rằng ; loài ng-ời luôn học tập trong quá trình phạm sai lầm Trẻ con phải ngã mới học đ-ợc cách đi , nếu chúng không bao giờ ngã cũng sẽ chẳng bao giờ học đ-ợc cách đi Cách giải thứ 3 là sự hoàn hảo song không phải tự nhiên

mà có , nó đ-ợc hình thành do quá trình lao động ở cách 1 hoặc cách 2

Vì vậy , nếu không tự mình làm theo cách 1 và cách 2 dài dòng , cồng kềnh thì sẽ không thể có cái gì đẻ cải tiến trở thành cách giải thứ 3 ngắn gọn nhất , và hay nhất

đ-ợc Do đó trên cơ sở của sự vấp ngã thì con ng-ời đã lớn lên đ-ợc , hoàn hảo

đ-ợc là thế

b) Khai thác bài toán

*/ Mệnh đề đảo của bài toán VD 13 :

Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB & AC t-ơng ứng sao cho AB AC 3

AM  AN  Chứng minh rằng : Đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải : Là nội dung chính của VD 13 : Gọi I là trung điểm của BC , nối AI cắt đ-ờng thẳng MN tại G , Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đ-ờng thẳng AI ) sau đó trình bày giống VD 13 đến chỗ : f = 2 3 3

MN luôn đi qua điểm cố định G đó

*/ Mệnh đề tổng quát của bài toán VD 13

Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB & AC t-ơng ứng sao cho AB AC 2012

AM  AN  Chứng minh rằng : Tập hợp các đ-ờng thẳng

MN đồng quy

L-u ý : Thông th-ờng ng-ời ta hay chọn mệnh đề tổng quát để ra đề thi HSG các cấp

C/ Các bài toán t-ơng tự :

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	531,28 KB