• Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O. • Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính.. ➢ K[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :
; 90
a b a b
➢ b / / c
a b
a c
➢ a b a b 0 Nếu a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b
➢ Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc
( )
a
a b b
➢ a / /
b a b
➢
'
'
a hch a
b a
;
'
'
a hch a
b a
• ABC a ; AB
a BC
a AC
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :
➢ a a b
➢
a b
b c O
➢ a / / b a
➢ / / a a
➢ AB M MA | MB ( là mặt phẳng trung trực của AB)
➢
ABC
OA OB OC
➢
➢
Trang 2• Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :
, 90
P Q P Q
➢
• Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:
➢ Cách 1: (theo phương pháp hình học)
• Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng
lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho
• Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O
• Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính
➢ Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)
• Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 à 2
1 2
cos , cos u u , u u
u u
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :
, 90
a a ;
, 0
a
a a
'
a
a hch a
o Để tìm a ' hch a ta lấy tùy ý điểm M a , dựng MH tại H , suy ra
hch a a AH A a a , MAH
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp :
➢ Cách 1 : Dùng định nghĩa :
P , Q a b , trong đó :
➢ Cách 2 : Dùng nhận xét :
, ,
P
Q
p q
Trang 3➢ Cách 3 : Dùng hệ quả :
,
P
• Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ
điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
➢ Cách 1 :
▪ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)
▪ Xác định m P Q
▪ Dựng MH m P Q ,
MH P
suy ra MH là đoạn cần tìm
➢ Cách 2: Dựng MH / / d
o Chú ý :
➢ Nếu MA / / d M , d A ,
➢ Nếu MA I
, ,
• Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
d a P
a P
➢ Khi a / / P
d a P , d A P , với A P
• Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
➢ Khi
P Q d P , Q 0
➢ Khi P / / Q
với A P
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
' , ' 0
' d
➢ Khi / / ' d , ' d M , ' d N , với M , N '
➢ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Trang 4• Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
và ' là đường thẳng a cắt ở M và cắt
' ở N đồng thời vuông góc với cả và '
• Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau và '
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó
Phương pháp :
➢ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b Tính khoảng cách từ b đến
mp(P)
➢ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm
➢ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
➢ Cách 1: Khi a b
• Dựng một mp P b P , a tại H
• Trong (P) dựng HK b tại K
• Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b
➢ Cách 2:
• Dựng P b P , / / a
• Dựng a ' hch a P , bằng cách lấy M a
dựng đoạn MN , lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a
• Gọi H a ' b , dựng HK / / MN
HK
là đoạn vuông góc chung cần tìm
Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,AB BC a AD , 2 a, các mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD
a) Chứng minh SAABCD
b) Chứng minh SAC ABCD
c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S ABCD đều là các tam giác vuông
d) Khi SA a 6 Tính góc giữa SD với mặt phẳng ABCD và góc giữa hai mặt phẳng ABCD và
SCD
d) Tính các khoảng cách : d A SCD , ; d CD ,SAB ;d SD AC ,
Bài 2 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a
a) Tính đường cao của hình chóp
b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy
c) Tính d(O, (SCD))
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC
e) Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’ Tứ giác ABC’D’
là hình gì? Tính diện tích của thiết diện
(a)
'
M
N
Trang 5Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCDcĩ AD 6, AB 3 3 Lấy điểm M trên cạnh ABsao cho MB 2 MBvà N
là trung điểm của AD Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho
2 6
a) Chứng minh ADSAB ; SBC SAB ;
b) Chứng minh SBN SMC ;
c) Tính gĩc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng SMC :
(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM)
Bài 4 (*) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là ABC đều cạnh a I là trung điểm của BC, SA vuơng gĩc với (ABC) a) Chứng minh (SAI) vuơng gĩc với (SBC)
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB BE, CF lần lượt là đường cao của SBC Chứng minh (MBE) vuơng gĩc với (SAC) và (NFC) vuơng gĩc với (SBC)
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC Chứng minh OH vuơng gĩc với (SBC)
d) Cho () qua A và song song với BC và () vuơng gĩc với (SBC) Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi () khi SA = 2a
e) Gọi K là giao điểm của SA và OH Chứng minh AK.AS khơng đổi Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất
a Khi SA = a 3 Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC)
Bài 5 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng SAB đều cạnh a, (SAB) vuơng gĩc với (ABCD)
a) Chứng minh SCD cân
b) Tính số đo gĩc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
c) Tính đoạn vuơng gĩc với chung giữa AB và SC
Bài 6 Cho OAB cân tại O OA = OB = a , AOB 1200 Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuơng gĩc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho AM x BN, y
a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuơng tại O
b) Cho OMN vuơng tại O và x + y =
2
3a
Tính x, y ( x < y )
c) Với kết quả câu b) Tính gĩc OMN OAB ,
d) Giả sử M , N lưu động sao cho y 2 x Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định
Bài 7 (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt AI x , 0 x a a) Chứng minh khi x4 15a thì gĩc giữa DI và AC’ bằng 600
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích ấy
nhỏ nhất
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x
Bài 8 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ AB a SA , a 2 Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB CD , , Chứng minh rằng đường thẳng MN vuơng gĩc với đường thẳng SP Tính khoảng cáh từ P
Bài 9 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , AB a AA , ' 2 , a
A C a GọiM là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AMvà A C' Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC (KHỐI D NĂM 2009)
Bài 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'cĩ BB ' a, gĩc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng
ABCbằng 600
; ABC là tam giác vuơng tại C và BAC 600 Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính khoảng cách ttừ A 'đến mặt phẳng ABC và diện
tích của tam giác ABC
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCDcĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D,ABAD2 ,a CDa, ; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCDbằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng
Trang 6 SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCDvà
Bài 12 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBCtheo a
Bài 13 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' 'cĩ AB a, gĩc giữa hai mặt phẳng A BC' và
ABCbằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A BC' Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng ABC và
A B C' ' ' Tìm điểm M cách đều bốn điểm G A B C, , , tính khoảng cách từ M đến các điểm đĩ theo a
Bài 14 Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCDlà hình vuơng cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; Hlà giao điểm của CN và DM Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD và
3
SH a Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a
(KHỐI A NĂM 2010)
Bài 15 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng , AB BC a AA , ' a 2 GọiM là trung điểm của đoạn thẳng BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C '
Bài 16 Trong mặt phẳng P cho nửa đường trịn đường kính AB 2 R và điểm C thuộc nửa đường trịn đĩ sao cho AC R Trên đường thẳng vuơng gĩc với P tại A lấy điểm S sao cho SAB , SBC 600 Gọi
,
H K lần lượt là hình chiếu của A trên SB SC , Chứng minh tam giác AHK vuơng và tính diện ABC và