Yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, một điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 về[r]
Trang 1Phần I: Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy HSG môn toán lớp 7 có phần “ Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa xét hết các trường hợp xảy ra Lí do là học sinh chưa nắm vững biểu thức về giá trị tuyệt đối của một số, của một biểu thức, chưa biết vận dụng biểu thức này vào giải bài tập, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng dạng bài tập Mặt khác phạm vi kiến thức ở lớp 6,7 chưa rộng, học sinh mới bắt đầu làm quen về vấn đề này, nên chưa thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp hệ thống và logic hơn sách cũ rất nhiều, có lợi thế để dạy học sinh về vấn đề này ( chẳng hạn như học sinh đã được học về qui tắc chuyển vế, qui tắc bỏ dấu ngoặc…), nhưng tôi thấy để giải bài tập về tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thì học sinh vẫn còn lúng túng trong việc tìm ra phương pháp giải
và việc kết hợp với điều kiện của biến để xác định giá trị phải tìm là chưa chặt chẽ Vì vậy, trong khi giảng dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối để phân chia được các dạng, tìm ra được phương pháp giải đối với từng dạng bài Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp giải nhanh gọn, hợp lí
Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm
“ Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 7 giải dạng toán “Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối””
2 Mục đích nghiên cứu:
Củng cố cho học sinh khá, giỏi toán lớp 7 một số kiến thức để giải một số dạng giải bài toán tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn và còn giúp các em tự tin hơn khi làm toán
3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu:
+ Khách thể: Học sinh khá, giỏi môn toán lớp 7
Trang 2+ Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng bài toán “ Tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối”
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán không vượt quá chương trình toán lớp
7
4 Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tóm tắt một số kiến thức liên quan đến việc tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán cơ bản về “tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối”
5 Các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo…
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau
Trang 3Phần II: Nội dung
Chương I: Cơ sở thực tiễn
Với học sinh lớp 7 thì việc giải dạng toán “ Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” gặp rất nhiều khó khăn do học sinh chưa học qui tắc giải về phương trình, các phép biến đổi tương đương… Chính vì Vậy
mà khi gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tìm được hướng giải và khi giải hay mắc sai lầm Khi chưa hướng dẫn học sinh giải bằng cách áp dụng đề tài, học sinh giải thường vướng mắc như sau:
Ví dụ 1: Tìm x biết |x-5| -x = 3
+ Học sinh không biết xét tới điều kiện của x, vẫn xét 2 trường hợp xảy ra:
x – 5 – x = 3 hoặc 5 – x – 3 = 3
+Đưa về dạng | x – 5| = 3 +x
=> x-5 = x+3 hoặc x- 5 = -(3+x)
và học sinh chưa hiểu được ở đây 3 +x có chứa biến x
+ Có xét tới điều kiện của x để x – 5 0; x-5<0 nhưng đối với mỗi trường hợp học sinh chưa kết hợp với điều kiện của x, hoặc kết hợp chưa chặt chẽ
Ví dụ 2: Tìm x biết | 2x – 3| = 5
Học sinh chưa nắm được rằng ở đây đẳng thức luôn xảy ra (vì 5>0)
và có thể các em đi xét giá trị của biến để 2x - 30 hoặc 2x –3<0 và giải 2 trường hợp tương ứng, cách làm này của học sinh chưa nhanh gọn
Khi tôi áp dụng đề tài này vào quá trình hướng dẫn học sinh giải được bài, hiểu rất rõ cơ sở của việc giải bài toán đó Còn ở ví dụ 2 các em
đã biết lựa chọn ngay cách giải nhanh (và hiểu được cơ sở của phương pháp giải đó là áp dụng tính chất; hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau)
Cụ thể :
|2x-3|= 5( vì 5>0)
=>2x – 3 = 5 hoặc 2x – 3 = -5
Trang 4Chương II: Kết quả điều tra khảo sát
Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát hai lớp 7A, 7C trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm với đề bài:
Tìm x biết:
a) |2x – 5| = 7 ( 2,5điểm) b) |5x – 3| - x=7 ( 3,5 điểm) c) |x –4|+|x – 9| = 5 ( 4 điểm) Tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp được kết quả tìm ra với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh, hợp lí
Kết quả đạt được như sau:
Kết quả thấp là do học sinh vướng mắc những điều tôi đã nêu ra ( ở phần trên) và phần lớn các em xét chưa được chặt chẽ ở câu c, trường hợp 4x<9 thì đẳng thức trở thành x-4-x+9 = 5 => 0x = 0( xảy ra với mọi x) =>
x có thể vô số giá trị
Nhưng thực tế ở đây đang xét trong điều kiện 4x<9 nên x có vô số giá trị thoả mãn 4x<9
Trang 5Chương III: giải pháp
I Những kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, một điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 về vấn đề này đó là học sinh chưa được học về phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi tương đương, hằng đẳng thức… nên có những phương pháp dễ xây dựng thì chưa thể hướng dẫn học sinh được, vì thế học sinh cần nắm vững được các kiến thức cơ bản sau:
a- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế
b- Tìm x trong đẳng thức:
Thực hiện phép tính , chuyển vế… đưa về dạng ax = b => x =
a
b
c- Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối
0
0
|
|
A khi A
A khi A A
|A| = |-A|
|A| 0 d- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất
II Những biện pháp tác động giáo dục và giải pháp khoa học tiến hành
Từ định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài Biện pháp cụ thể như sau:
Trang 61 Một số dạng cơ bản:
1.1 Dạng cơ bản |A(x)| =B với B 0
1.1.1 Cách tìm phương pháp giải:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra thì cần áp dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyêt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau)
1.1.2 Phương pháp giải:
Ta lần lượt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp
1.1.3 Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết |x- 5| = 3
Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao?
(có xảy ra vì |A| 0 , 3>0) Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau)
Bài giải
|x-5| = 3 => x – 5 = 3 ; hoặc x – 5 = -3
+ Xét x - 5 = 3 => x = 8 + Xét x – 5 = -3 => x = 2 Vậy x = 8 hoặc x = 2
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra các ví dụ khó dần
Ví dụ 2: Tìm x biết: 3|9-2x| -17 = 16
Với bài này tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để đưa được về dạng cơ bản đã học?” Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9-2x|=11
Bài giải
3|9-2x| -17 = 16
=>3|9-2x| = 33 => |9-2x| = 11
=> 9-2x = 11 hoặc 9 – 2x = -11
+ Xét 9- 2x = 11 => 2x = -2 => x = -1 + Xét 9-2x = -11 => 2x = 20 => x= 10 Vậy x= -1 hoặc x = 10
1.2 Dạng |A(x)| = B(x) ( trong đó Bx là biểu thức chứa biến x) 1.2.1 Cách tìm phương pháp giải:
Trang 7Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên, học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra Nếu B(x) < 0
=> Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy luận tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách?
1.2.2 Phương pháp giải:
Cách 1: ( Dựa vào tính chất)
|A(x) |= B(x)
Với điều kiện B(x) 0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x)( giải 2 trường hợp với điều kiện B(x) 0)
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) 0 => x ? Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) 0) + Xét A(x) < 0 => x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận: x = ?
Lưu ý: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều
chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau ( |A(x)| = m 0 dạng đặc biệt vì m>0) của 2 dạng
Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng |A | = B(Nếu B0 đó
là dạng đặc biệt còn Nếu B< 0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu B là biểu thức chứa biến là dạng 2 và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trường xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối
1.2.3 Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết: |9-7x| = 5x -3
Cách 1:
Với 5x – 3 ≥0=> 5x 3 => x
5
3
ta có 9-7x = 5x -3 hoặc 9 – 7x =-(5x-3) + Nếu 9-7x = 5x- 3 => 12x = 12 => x= 1(thoả mãn)
+ Nếu 9-7x = -(5x-3) => 2x = 6 => x = 3(thoả mãn)
Vậy x= 1 hoặc x= 3
Cách 2:
+ Xét 9- 7x 0 => 7x≤ 9 => x≤
7 9
ta có 9 – 7x = 5x – 3 => x =1(thoả mãn)
Trang 8+ Xét 9- 7x <0 => 7x>9 => x>
7
9
ta có -9 + 7x = 5x – 3 => x =3(thoả mãn) Vậy x = 1 hoặc x = 3
Ví dụ 2: Tìm x biết |x- 5| - x= 3
Cách 1: | x – 5| - x = 3
=>|x – 5| = 3 + x
Với 3 + x 0 => x - 3 ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3+x)
+ Nếu x – 5 = 3 + x => 0x = 8( loại)
+ Nếu x – 5 = -3 – x => 2x = 2 => x = 1 thoả mãn
Vậy x = 1
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Xét x - 50 => x 5 ta có x – 5 – x = 3 => 0x = 8 (loại)
Xét x – 5 < 0 => x < 5 ta có –x + 5 – x = 3 => -2x = -2 => x = 1 thoả mãn Vậy x = 1
1.3 Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0
1.3.1 Cách tìm phương pháp giải:
Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy được đây là dạng đặc biệt(
vì đẳng thức luôn xảy ra do cả 2 vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x)(dựa theo định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x)=B(x); A(x) =-B(x)( vì ở đây cả hai vế đều không âm do |A(x)|≥
0 và |B(x)|≥ 0) Để học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các
em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được
1.3.2 Phương pháp giải:
Cách 1: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối
Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)
1.3.3 Ví dụ:
Ví dụ1: Tìm x biết |x+3| =|5-x|
|x+3| =|5-x|
Trang 9
8 0
1 8
0
2 2 5 3
5 3
x
x x
x x
x
x x
=>x=1 Vậy x = 1
Ví dụ 2: Tìm x biết: |x-3| + |x+2| =7
Bước 1: Lập bảng xét dấu:
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x – 3 = 0 => x = 3 ; x + 2 = 0 => x = -2
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn
Ta có bảng sau:
x -2 3
x – 3 - - 0 +
x + 2 - 0 + +
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến Khi xét các trương hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A0 mà kết hợp với điều kiện để A0 (ví dụ xét khoảng - 2 x3)
Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:
Nếu x- 2 ta có x- 30 và x 20
nên x- 3 3- x và x + 2= -x – 2
Đẳng thức trở thành: 3- x – x –2 = 7
-2x + 1 = 7
-2x = 6
x = -3 ( thoả mãn x-2)
+ Nếu 2x3 ta có x- 3= 3- x và x+ 2= x + 2
Đẳng thức trở thành: 3- x + x +2 = 7
0x + 5 = 7 (vô lí)
+Nếu x3 đẳng thức trở thành:
x- 3 + x + 2 = 7
2x – 1 = 7
2x = 8
x = 4 (thoả mãn x3)
Vậy x = -3 ; x = 4
Lưu ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi cách giải ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng
Trang 10xét dấu trong các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối (để nên ý thức lựa chọn phương pháp giải)
Ví dụ3: Tìm x biết:
x-1 -2 x-2 +3 x-3 = 4
Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trường hợp xảy ra, dài và mất nhiều thời gian Còn giải bằng cách 2 thì nhanh gọn hơn rất nhiều, vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy ngay có 4 trường hợp xảy ra Mặt khác, với cách giải 2 ( lập bảng xét dấu ) xẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý
và tuân theo đúng qui tắc lập bảng Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp trong khi xét các trường hợp xảy ra để thỏa mãn biểu thức 0 ( tôi đưa ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh )
Ví dụ 4 : Tìm x biết x-4 + x-9 =5
Lập bảng xét dấu
x-4 - 0 + + x-9 - - 0 + Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với x 9 thì đẳng thức trở thành
x-4+x-9 =5
x=9 thỏa mãn x 9, như Vậy Nếu không kết hợp với x= 9 để x-9=0 mà chỉ xét tới x 9 để x-9 0 thì xẽ bỏ qua mất giá trị x=9
1.4 Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0
1.4.1 Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào?(cả hai số bằng 0) Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0) Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0
1.4.2 Phương pháp giải:
Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0
1.4.3 Ví dụ:
Tìm x biết:
a) |x+3|+|x2+x| =0 b)|x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
Trang 11Bài giải:
a) |x+1| +|x2+x| = 0
=> |x+1| = 0 và |x2+x| =0
+ Xét |x+ 1| = 0 => x+1 = 0 => x= -1 (*)
+ Xét |x2+x|= 0 => x2+ x = 0 => x(x+1) = 0
=> x = 0 hoặc x+ 1 = 0
=> x = 0 hoặc x = -1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra x = -1
b) |x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
=> |x2-3x| = 0 và |(x+1)(x-3)| =0
=> x2- 3x = 0 và (x+1)(x-3)| = 0
+ Xét x2- 3x = 0 => x(x-3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3 (*)
+ Xét (x+1)(x-3) = 0 => x+1 = 0 hoặc x-3 = 0 => x= -1 hoặc x = 3 (**)
Từ (*) và (**) ta được x = 3
Lưu ý:
ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải khi kết luận giá trị tìm được thì giá trị đó phải thoả mãn cả hai đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0
2 Dạng mở rộng:
Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên
2.1 Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
2.1.1 Cách tìm phương pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trước hết tôi cũng hướng dẫn học sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách nào? Phải qua mấy lần? Và áp dụng các bỏ dấu giá trị tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ ngoài vào trong để đưa bài tập
từ phức tạp đến đơn giản.)
2.1.2 Phương pháp giải:
Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong Tuỳ theo đặc điểm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì ta áp dụng pgương pháp của dạng cơ bản đó
2.1.3 Ví dụ:
Tìm x biết:
a) ||x-5| +9|=10 b) ||4-x|+|x-9||=5