Toán 11 Chương 1 cách giải lượng giác va Bài tập

NhËn xÐt : Víi ph-¬ng ph¸p kh¶o s¸t hµm sè ta th-êng ¸p dông ®Ó chøng minh nghiÖm duy nhÊt hoÆc ta cã thÓ nhÈm nghiÖm hoÆc lµ dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ®Ó suy ra nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh.[r]

WWW.ToanCapBa.NetCh-ơng I: Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản

và một số ph-ơng trình l-ợng giác th-ờng gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Đặt điều kiện để ph-ơng trình có nghĩa Các điều

kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa

B-ớc 2: Bằng ph-ơng pháp thích hợp đ-a các ph-ơng trình đã

cho về một trong các ph-ơng trình cơ bản

B-ớc 3: Nghiệm tìm đ-ợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt

ra Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Ph-ơng trình l-ợng giác là ph-ơng trình

chứa một hay nhiều hàm số l-ợng giác

1.1.2- Các ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản

a) Giải và biện luận ph-ơng trình sin x= (1) m

Do sinx∈ −[ 1;1] nên để giải ph-ơng trình (1) ta đi biện luận theo các b-ớc sau

B-ớc1: Nếu |m|>1 ph-ơng trình vô nghiệm

B-ớc 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua sin của góc đặc biệt

,giả sử α khi đó ph-ơng trình sẽ có dạng đặc biệt

π α π

= +



-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ-ợc qua sin của góc đặc

π α π

= +



Nh- vậy ta có thể kết luận ph-ơng trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ đ-ợc các giá trị của các cung đặc

th-ơng đ-a về các cung đặc biệt

x+π =

Giải:

VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

b) Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c cosx=m ( )b

Ta còng ®i biÖn luËn (b) theo m

α π

Nh- vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph-¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm

VÝ Dô Minh Ho¹

VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau:

1cos

2

x= −

Gi¶i:

VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

c) Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c tan x = m ( ) c

Ta còng biÖn luËn ph-¬ng tr×nh (c) theo c¸c b-íc sau:

d) Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c cot x = m ( ) d

Ta còng ®i biÖn luËn theo m

B-íc1: §Æt ®iÒu kiÖn sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈¢

B-íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng

WWW.ToanCapBa.Net D¹ng 1: asin2x+bsinx+ =c 0 (a≠0; , ,a b c∈¡ ) (1)

C¸ch gi¶i: §Æt t =sinx , ®iÒu kiÖn | |t ≤1

§-a ph-¬ng tr×nh (1) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m x

D¹ng 2: acos2x+bcosx+ =c 0 (a≠0; , ,a b c∈¡ ) (2)

C¸ch gi¶i: §Æt t =cosx ®iÒu kiÖn | |t ≤ ta còng ®-a ph-¬ng 1

tr×nh (2) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo t, gi¶i t×m t råi t×m x

D¹ng 4: acot2 x+bcotx+ =c 0 (a≠0; , ,a b c∈¡ ) (4)

C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈¢

§Æt t =cotx (t∈¡ ) Ta còng ®-a ph-¬ng tr×nh (4) vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t

VÝ Dô Minh Ho¹:

VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2cos2x−3cosx+ =1 0 (1)

Gi¶i:

Ph-¬ng tr×nh (1)

2cos 1

,1

2cos

32

x k x

§iÒu kiÖn sin 2 0 ,

Bµi 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 5sin2x−4sinx− =1 0

Bµi 2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos 2x−3cosx− =4 0

3tan 2 3tan 0

2

Bµi 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos(4x+2)+3sin(2x+ =1) 2

Bµi 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: tan 34 x−3tan 3x+ =1 0

WWW.ToanCapBa.Net Bài 9: Giải ph-ơng trình 4

1.2.2- Ph-ơng trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

a)Định nghĩa: Ph-ơng trình asinx+bcosx=c (1) trong đó a, b,

VÝ Dô Minh Ho¹:

VÝ Dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin 2x−3cos 2x= (1) 3

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos ) cos 0

sin 3cos 0 cos 0

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều

kiện tr-ớc khi bắt tay vào giải ph-ơng trình bởi có một số

bài toán đã cố tình tạo ra những ph-ơng trình không thoả

mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình 2 2(sinx+cos ) cosx x= +3 cos 2x ( )2

Vậy ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần l-u ý rằng việc biến đổi l-ợng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình (1+ 3)sinx+ −(1 3) cosx=2 (3)

42

,3

sin( ) sin

22

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu đ-ợc nghiệm ph-ơng trình chẵn

Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt tan

(*)⇔sin[P x( )+α ]=sin[Q x( )+β ] hoặc

(*)⇔cos[P x( )+α ]=cos[Q x( )+β ] trong đó α β, là các góc phụ

thích hợp Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải ph-ơng trình: cos 7x−sin 5x= 3(cos5x−sin 7 ) (4)x

Giải:

k x

VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau :

1 3 sinx+cosx= 3

2 10cosx−24sin 2x=13

3 sin2x+ 6 cosx=3cos2x+ 2 sinx

4 4cos3x− 3 sin 3x= +1 3cosx

5 sin4x−cos4x = +1 2 2 sin cosx x

6 2( 3 sinx−cos )x = 7 sin 2x+3(cos4 x−sin4x)

8 2 2(sinx+cos ) cosx x= +3 cos 2x

9 cosx+2cos 2x=2 2+cos3x

asin2x+bsin cosx x+ccos2x=d (1) trong đó a, b, c,

d ∈Ă

b) Cách giải :

Chia từng vế của ph-ơng trình (1) cho một trong ba hạng

tử sin2x,cos2 x hoặc sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các b-ớc sau:

B-íc 2: NÕu cosx≠0.Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh trªn cho cosn x ta sÏ ®-îc ph-¬ng tr×nh bËc n theo tan Gi¶i

ph-¬ng tr×nh nµy ta ®-îc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ban ®Çu

VÝ Dô Minh Ho¹:

VÝ Dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 2 3 cos2x+6sin cosx x= +3 3 (1)

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của ph-ơng trình

Vậy ph-ơng trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài ph-ơng pháp giải ph-ơng trình thuần nhất đã

pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình: 1 tan

1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin

cos sincos sin

cos sin cos sin

cos

24

sin

44

π

π π

1) 3sinx−4sin cosx x+cos2 x=0

2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx=0

5) sin3x−5sin2xcosx+7sin cosx 2x−2cos3x=0

6) sin 2 sinx x+sin 3x =6cos3x

8) (sin2x−4cos )(sinx 2x−2sin cos )x x =2cos x4

9) cos3x−sin3x=sinx−cosx

1.2.4-Ph-ơng trình đối xứng đối với sin x và cos x

a) Định nghĩa: Ph-ơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là

ph-ơng trình dạng

a(sinx+cos )x +bsin cosx x+ =c 0 trong đó a b c, , ∈Ă (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx+cosx)2 = +1 sin cosx x nên ta đặt

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

Điều kiện | |t ≤ 2

Suy ra

2

1sin cos

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho ph-ơng trình

(sin cos ) sin cos 0

a x− x +b x x+ =c bằng cách đặt t=sinx−cosx và lúc đó

2

1sin cos

2

t

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình sinx+cosx−2sin cosx x+ =1 0 (1)

Giải:

Cách 1: Đặt sinx+cosx= điều kiện t | |t ≤ 2 Lúc đó

2

1sin cos

(*)⇔ = −t 1⇔sinx+cosx = −1

21

2

z z

24

C¸ch gi¶i: Ph-¬ng tr×nh (1) cã thÓ viÕt

sin cos

( sin cos )sin cos

⇔ ( sina x−bcos )( sinx a x+bcos )x =c a( sinx±bcos )x

⇔ ( sina x[ ]± bcos ) ( sinx  a x[ ]mbcos )x −csin cosx x=0

*Quy -íc: Khi cã nhiÒu dÊu [ ]± trong mét biÓu thøc hay mét

hÖ hiÓu lµ cïng lÊy dßng trªn hoÆc cïng lÊy dßng d-íi

VÝ Dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos ) (2)x

⇔(sinx− 3 cos )(sinx x+ 3 cos )x =4(sinx+ 3 cos )sin cosx x x

⇔(sinx+ 3 cos ) (sinx  x− 3 cos )sin 2x x =0

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của ph-ơng trình

Vậy theo ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải ph-ơng trình:

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

T-ơng tự cho ph-ơng trình a(tanx[ ]± sin )x +b(cotx[ ]± cos )x − + =a b 0

Chú ý: Ta có thể áp dụng ph-ơng pháp đối với ph-ơng trình

hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2

Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

Ph-¬ng tr×nh (1) cã d¹ng

cos sin 2 cos 2sin cos

261

6cos 0

22

2

1

1 sin 22

sin 2 1

1 7sin 2

3

7 1sin 2 sin

2 2(tanx−sin )x +3(cotx−cos )x + =5 0

3. 1 cos+ 3x−sin3x=sin 2x

4 sinx+cosx=( 3 1) cos 2− x

5 2cos2 (1 sin ) cos2 0

2

x

6 sin3x+cos3x =sin 2x+sinx+cosx

7 4(sin4 x+cos4 x)+ 3 sin 4x=2

WWW.ToanCapBa.Net 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng tan x và



đ-a ph-ơng trình đã cho về dạng đại số F t( )=0

B-ớc 2: Giải ph-ơng trình F t( )=0 loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán

B-ớc 3: Với nghiệm t tìm đ-ợc ở b-ớc 2 thế vào b-ớc 1 để

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 8 0

6 sinx+cosx=tanx+cotx

7 8(tan4x+cot4x)=9(tanx+cot )x 2 −10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, tr-ớc khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm đ-ợc có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta

có thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba ph-ơng pháp sau:

1.3.1 Ph-ơng pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của ph-ơng trình (1) thoả mãn

điều kiện (*) nào đó Tr-ớc hết ta giải ph-ơng trình (1) sau đó thay nghiệm của ph-ơng trình (1) tìm đ-ợc vào (*) để loại nghiệm không thích hợp

Ví Dụ: Giải ph-ơng trình 1 sin

0sin 4

x x

(1) Giải:

Điều kiện sin 4x≠ (*) 0

N ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối đ-ợc đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của ph-ơng

1.3.3- Ph-ơng pháp đại số

Ph-ơng pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển

về ph-ơng trình (th-ờng là ph-ơng trình nghiệm nguyên) hoặc bất ph-ơng trình đại số

* Ví Dụ: Giải ph-ơng trình: cos8

0 (1)sin 4

x

−

-Nếu ph-ơng trình chứa nhiều hàm l-ợng giác khác nhau thì biến đổi t-ơng đ-ơng về ph-ơng trình chỉ chứa một hàm -Nếu ph-ơng trình chứa hàm l-ợnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi t-ơng đ-ơng về ph-ơng trình chỉ chứa một cung

D-ới đây là một số ph-ơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn ph-ơng pháp cho phù hợp

2.1 - Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng

Ph-ơng pháp: Sử dụng công thức l-ợng giác đã học thực

hiện các phép biến đổi đại số và l-ợng giác đ-a ph-ơng trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của

các hàm l-ợng giác Vì mối liên hệ này sẽ chỉ

đ-ờng cho cách biến đổi ph-ơng trình

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

3

3sin 3x− 3 cos9(π +x) 1 4sin 3= + x (1)

NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy trong bµi to¸n cã 2 sè h¹ng

3

3sin 3 , 4sin 3x x ta cã thÓ sö dông ®-îc c«ng thøc gãc nh©n ba

Ta cã (1)⇔3sin 3x−4sin 33 x− 3 cos9x=1

sin 3 sin sin 2 2sin 2 cos sin 2

2

x x x

23

Vậy ph-ơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

x=π

Nhận xét : Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng đòi hỏi phải sử

dụng nhiều công thức l-ợng giác vì vậy việc nắm chắc các

công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết

sức cần thiết

2.1- Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ

Ph-ơng pháp :

Có 2 loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đ-a ph-ơng trình đã cho về ph-ơng

trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đ-a ph-ơng trình đã cho về hệ ph-ơng trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi ph-ơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có đ-ợc một ph-ơng trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông th-ờng trong ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta th-ờng gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến d-ới hàm l-ợng giác

+) Đặt cả biểu thức l-ợng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến d-ới hàm l-ợng giác

Ph-ơng pháp:

Khi các biểu thức d-ới hàm l-ợng giác có mối liên hệ đặc

biệt : bù nhau, hơn kém nhau

x

x

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos

4cos 2 4cos 3cos 1 0

cos

4 22

2

sin (4sin 1) 0 sin (2cos 2 1) 0

2 2sin 0

514

25

2.1.2- Đặt một biểu thức l-ợng giác làm ẩn phụ

Chú ý một số ph-ơng pháp đặt ẩn phụ của ph-ơng pháp đại số sau đây

WWW.ToanCapBa.Net Gi¶i :

§iÒu kiÖn sin 0

Do sinx+ >3 0 nên ph-ơng trình (*) là ph-ơng trình bậc hai đối với t

2

(sin 3) 4(sin 3)(sin 1)(sin 3)

2 coscos 2

u, vv

2

14

14

sin x cos x sin x cos x

sin xu

v

u

sin xv

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng

ph-ơng pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình

2 sin cos sin cos

sin 2 2 sin cos

-Víi t =1 ta cã: sin cosx x+2 sinx+cosx =1

sinx+cosx = −1 sin cosx x ( )a

Do 1 sin cos− x x>0 nªn (a) ⇔(sinx+cos )x 2 = −(1 sin cos )x x 2

2

1 2sin cos 1 2sin cos (sin cos )

sin cos (sin cos 4) 0

-Víi t = −3 ta cã sin cosx x+ sinx+cosx = −3

⇔ sinx+cosx = − −3 sin cosx x ( )b

Ta nhËn thÊy − −3 sin cosx x< − < <2 0 sinx+cosx , suy ra ph-¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm

1 2 sin cos 2 cos 2 2 2 sin

-Víi t = −5 2cos 2x ta cã 3cos 2x = −5 2cos 2x ⇔ cos 2

3 x +2cos 2x=5 (*)

Dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải ph-ơng trình l-ợng giác

đ-ợc vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng ph-ơng trình l-ợng giác mà ta

đã biết cách giải Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm

điều kiện của nó và l-u ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện của ph-ơng trình hay không

2.3- Giải ph-ơng trình l-ợng giác sử dụng công thức hạ

bậc

Ph-ơng pháp: Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1:Đặt điều kiện để ph-ơng trình có nghĩa

B-ớc 2: Thực hiện việc hạ bậc của ph-ơng trình bằng các

công thức

* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :

A=sin3x.cos3x+sin 3 cosx 3x

Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau:

Cách 1: Ta có :

sin cos3 sin 3 cos

1 cos sin cos3 1 sin sin 3 cos

sin cos3 sin 3 cos (cos cos3 sin sin 3 )sin cos

Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ

bậc cho phù hợp Chẳng hạn đối với ph-ơng trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông th-ờng ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc

(+) Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: sin2x=cos2 x+cos 32 x

2cos 3 2cos3 cos 0 (cos3 os5 ) cos3 0

2cos 2 cos cos3 0

6 32

1 2cos 2 cos 2 2(1 sin 2 )

22cos 2 4cos 2 1 0

26cos 2 1 ( )

26

sin (sin cos ) s (cos n ) 2sin 2

(sin s )(sin cos ) 2sin 2

sin cos 2sin 2 (3)

(sinx+cos )x =2sin 2x

1 2sin cos sin 2 2sin 2 sin 2 1

Ta cã (4)⇔sin7 x+cos5x+(sin5x+cos3x)sin cosx x=sinx+cosx

⇔sin7 x+cos5x+sin6xcosx+sin cosx 4x=sinx+cosx

(sin sin cos ) (cos sin cos ) sin cos

sin (sin cos ) cos (sin cos ) sin cos

sin cos 0 (5)(sin cos )(sin cos 1) 0

§iÒu kiÖn: cosx≠ 0

Ta cã: sin4 cos4 (sin2 cos2 )2 2sin2 cos2

+

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 2 tan )

1 cos (1 sin )(1 2 tan )

1 cos cos (1 2 tan ) 1 cos cos 2sin )

tan 2 cot 2 3tan 2 cot 2 (tan 2 cot 2 )

3tan 2 cot 2

Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu

đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải Vì vậy để có thể sử dụng tốt ph-ơng pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt

2.4- Biến đổi ph-ơng trình l-ợng giác thành ph-ơng trình tích

Có rất nhiều cách đ-a ph-ơng trình l-ợng giác về ph-ơng trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng nh- sau:

Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích

( ) 0( ) ( ) 0

2.4.1- Ph-ơng pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích:

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình: 1 cos+ x+cos 2x+cos3x= (1) 0

k x

x k

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi ph-ơng trình chứa một hàm l-ợng giác

(1)⇔ +1 cosx+2cos2x− +1 4cos3x−3cosx=0

2sin sin 2sin 2 sin 2sin cos 0

(2sin 1 4sin cos 2cos )sin 0

(2sin 1)(1 2cos )sin 0

2

sin

72

(sin cos ) 1 sin cos 1 sin cos sin cos 0

sin cos 2 2 sin cos sin cos 0

t t

22

4cos cos 2 cos3 2cos 2 2(cos cos3 ) 2cos 2 cos 2 cos 4

2cos 2 2cos 2 cos 4 1 cos 4 cos 2 cos 6

2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho cos x

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình : 2cos3x+cos 2x+sinx=0 (1)