Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN).. Gọi I là trung điểm CC'.. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:.. a) SA và BD. Bài 7: Cho hai tam giác cân không đồng[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
( · ) 0
a c
⇒ ⊥
⊥
0
a ⊥ ⇔ b uur uur a b ⋅ = (Với uur uur a , b lần lượt
là các véc tơ chi phương của 2 đường
thẳng)
Khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì vận dụng các kiến thức đã biết trong hình học phẳng
( )
( )
a
a b b
α
α
⇒ ⊥
/ /( ) ( )
a
b a b
⇒ ⊥
α α
;
ABC a AB
a BC
a AC
⇒ ⊥
⊥ Dùng định lý về ba đường vuông góc
2) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng
; ( )
; ( ) ( )
a b b
b c O
∩ =
α
( )
a b
a b
⊥
α
( ) / /( )
( ) ( ) a
a
⊥
α β
α β
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
;
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
a a
( )
( )
ABC
α
α
3) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
( ) ( )α ⊥ β ⇔( ( ) ( )·α , β )= 90 0 ( )
a a
⊃ ⇒ ⊥
α
β
( ) ( )
⊥ ⇒ ⊥
4) Cách tính góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian
Cách 1:
+ Lấy O tùy ý Qua O vẽ a’//a và b’//b
+ ¶( ) ( )· ( 0 0)
a b = a b = α ≤ α ≤
Cách 2:
Tìm uur uur u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b Khi đó:
1 2
cos a b, cos u ,u u u
u u
⋅
⋅
uu r uur
uu r uur
uu r uur
5) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trang 2( ) ( ) · 0
a
a a
α
α α
⊂
'
a
a hch aα
α
α
= Để tìm a ' = hch aα ta lấy tùy ý điểm M ∈ a , dựng
( )
MH ⊥ α tại H , suy ra hch aα =a'= AH , (A= ∩a ( ) α )⇒( )a·,α =MAH·
6) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
( P , Q ) = ( ) a b ¶ , trong đó: ( )
( )
a P
b Q
⊥
⊥
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )·
( , ) ( )·,
⊥ ∆ = ∩
∩ = ⇒ =
∩ =
7) Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
(Tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng)
Cách giải:
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)
+ Xác định m = ( ) ( ) P ∩ Q
+ DựngMH ⊥ ( ) P suy ra MH là đoạn cần tìm
8) Cách t ính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Khi ( )
( ) ( ,( ) ) 0
a P
d a P
a P
∩
⊂
Khi a/ /( )P
( )
( , ) ( ,( ) )
d a P d A P
⇒ = với A ∈ ( ) P
9) Cách t ính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Khi ( ) ( )
( ) ( )P Q d( ( ) ( )P , Q ) 0
∩
≡
Khi( ) ( )P / / Q ⇒d( ( ) ( )P , Q )=d M( ,( )Q ) với A ∈ ( ) P
10) Cách t ính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
a) a b M d a b ( ) , 0
a b
∩ =
≡
b) a/ /b⇒d a b( ) (, =d M b, ) (=d N a, ) với
,
M ∈ a N ∈ b
c) Trường hợp a và b chéo nhau:
Cách 1:Dựng ( )P ⊃a& ( )P P thì: b
d a b =d b P
Cách 2: Dựng ( )P ⊃a& ( )Q ⊃b; ( ) ( )P PQ
( ), (( );( ))
d a b d P Q
Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung
Cần chú ý các trường hợp sau:
a) Khi a⊥b
+ Dựng ( ) P ⊃ b P , ( ) ⊥ a tại H + b) Khi a và b không vuông góc: Dựng ( ) P ⊃ b P , ( ) / / a
Trang 3+ Trong (P) dựng HK ⊥ btại K
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a
và b
+ Dựng a ' = hch a( )P , bằng cách lấy M ∈ a
+ Dựng đoạn MN ⊥ ( ) α tại N, lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a Gọi H = ∩ a ' b, dựng HK / / MN Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và
b
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AC =BC= AD=BD=a AB; =c và CD = c'
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Giải: Gọi I, J thứ tự là trung điểm của AB và CD
Vì AB = AC nên ∆ACD là tam giác cân đỉnh A
⇒ A J CD
Tương tự BJ CD
⇒ CD (ABJ)
Do BCD∆ = ∆ACD⇒ AJ = BJ
⇒ ∆ BJA là tam giác cân⇒ JI AB
JI là đọan vuông góc chung của AB với CD
∆ JAD có 2 2 2 2 '2
4
c
JA −AD −JD =a − (1)
a c c
c c
Vậy d AB CD( , )= 1 2 ( 2 2)
' 2
JI = a − c +c
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a Góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C'
A
B
C
D
J
I
Trang 4a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vuông góc Tính khoảng cách
giữa chúng ?
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
(A'B'C') thì H là trung điểm của B'C'
Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH⊥(A'B'C') do đó
AH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Vì AA' tạo với đáy một góc bằng 300 nên tam
giác AHA' có 1 ' 1
AH = AA = a b) Kẻ KH vuông góc với AA’ thì HK là đoạn vuông góc chung của AA' và B'C'
Dùng định lý Pitago trong tam giác vuông AKH (vuông tại K) ta tính được KH
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BC' và CD'
Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') và (ACD')
chứa hai cạnh BC' và CD'
do (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách giữa
BC' và CD' chính là khoảng cách giữa hai
mặt phẳng ((A'BC') với (ACD')
Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a
Vậy B'D là trục của hai mặt phằng trên
Hai mặt phẳng trên chia đường chéo B'D
thành ba phần bằng nhau Với B'D=a 3
Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi D, F lần
lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và
B'C'
Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông
AB=BC=CA =A B =B C =C A = ⇒ các tam giác ABC, Aa /B/C/ là các tam giác
đều Ta có: / / / / /
B C // BC⇒ B C //(A BC)
A
B
C
A'
B'
C'
H
K
C'
A
B
C
D
B'
O'
O
I
K
Trang 5/ / / / / / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))
Ta cĩ: BC FD/ / / BC (A BC)/
BC A D ( A BC cân tại A )
⊥
FH⊥A D
Vì BC⊥(A ' BC) ⇒ BC⊥FH ⇒ H⊥(A ' BC)
∆ A’FD vuơng cĩ:
7
FH = A F +FD =3a +a =3a ⇒ =
Vậy, / / / a 21
d(A B; B C ) FH
7
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuơng gĩc nhau
Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuơng
AB=BC=CA =A B =B C =C A = a
⇒ các tam giác ABC, A/B/C/là các tam giác đều
Ta cĩ: B C // BC/ / ⇒ B C //(A BC)/ / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))
Ta cĩ: ⊥
/
BC FD
BC (A BC)
BC A D ( A BC cân tại A )
FH⊥A D
Vì BC⊥(A BC)/ ⇒ BC⊥FH ⇒ H⊥(A BC)/
∆ A/FD vuơng cĩ:
7
FH = A F +FD =3a +a =3a ⇒ =
Vậy, / / / a 21
d(A B; B C ) FH
7
Bài 6: Cho tứ diện OABC cĩ đáy là ∆ OBC vuơng tại O, OB = a, OC = a 3, (a 0)> và đường cao OA a 3= Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM
Giải: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O Ta cĩ: OM // BN(tính chất đường trung bình)
⇒ OM // (ABN)⇒ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN))
Dựng OK ⊥BN, OH⊥AK (K∈BN; H∈AK )
A /
B /
C /
C
B A H
D
B /
C
B A
H
F
D
Trang 6Ta có: AO⊥(OBC); OK⊥BN ⇒AK ⊥BN
BN ⊥ OK; BN ⊥ AK ⇒ BN ⊥ (AOK ) ⇒ BN ⊥ OH
OH⊥AK; OH⊥BN ⇒OH⊥(ABN)⇒d(O; (ABN) OH=
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
= 12 + 12 + 12 = 52 ⇒ OH= a 15
5 3a a 3a 3a
Vậy, d(OM; AB) OH a 15
5
Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o
Giải: Gọi M là trung điểm của BC
AM BC
⇒ ⊥ (DABC vuông cân)
Ta có: SG⊥(ABC)⇒ SG⊥BC
Suy ra: BC⊥(SAM)
Dựng BI SA⊥ ⇒ IM ⊥SA và IC⊥SA
·
BIC
⇒ là góc phẳng nhị diện (B; SA; C)
SAB SAC (c.c.c)
∆ = ∆
IB IC IBC
⇒ = ⇒ ∆ cân tại I
BC a 2; AM BM MC BC ; AG
2
AIM ~ AGS IM SG x
2 x
9
2 2
3ax 2
IM
2 9x 2a
+
Ta có: ·BIC=60o · o o
2 2
a 2 3.3ax 2 BIM 30 BM IM.tg30
2 2 9x 2a
+
⇔ 2+ 2 = ⇔ 2+ 2= 2
9x 2a 3x 3 9x 2a 27x ⇔ 2 = 2⇔ 2= 2 ⇔ = a
3 Vậy, x a
3
=
A
C
M
B
K
H
C
S
I
A
B
Trang 7Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuông góc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tính góc và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF
Giải: Gọi M là trung điểm của BF ⇒ EM // AF
⇒(SA; AF)· =(EM; AF)· =SEM·
∆SAE vuông tại A có:
SE2 =SA2+AE=a2+2a2=3a2⇒ SE=a 3
AF 2a 2 3 a 6
2
EM BM MF a 6; BF a 2
2
SB =SA +AB =a +8a =9a ⇒SB=3a
SF =SA +AF =a +6a =7a ⇒SF=a 7
Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong ∆ SBF có: 2 2 2 1 2
SB SF 2.SM BF
2
2
9a 7a 2SM 2a SM
Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆ SEM có:
·
2
3a 15a 3a
2 .a 3 2
o
45
⇒ α =
Dựng AK ME; AH SK.⊥ ⊥ Ta có: AK MF a 2
2
= = và AH⊥(SME)
Vì AF // ME⇒ d(SE; AF)=d(AF; (SME))=AH
∆ SAK vuông có: 12 12 12 12 22 32 AH a 3
3
AH = SA + AK =a +a =a ⇒ = Vậy, d(SE; AF) a 3
3
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
(0 90 )
ϕ < ϕ < Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến
mặt phẳng (SBC)
Giải: Gọi H là trung điểm của BC
Do S.ABC đều và ∆ ABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường
cao là trực tâm O của ∆ ABC và có ∆ SBC cân tại S
C S
F M B
E K
Trang 8suy ra: BC⊥SH, BC⊥AH, nên ·SHA = ϕ
Ta có: OH 1AH a 3
SHO
∆ vuông góc: SO HO.tg a 3tg
6
và SH HO a 3
cos 6.cos
Thể tích hình chóp S.ABC:
ABC
V SO.S tg
ϕ
Diện tích ∆ SBC: SSBC 1.SH.BC a2 3
ϕ Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:
SBC
SBC
ϕ
ϕ
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của
AB và C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN)
Giải: Bốn tam giác vuông:
AA ' M, BCM, CC' N, A ' D ' N bằng nhau (c.g.c)
⇒A ' M =MC=CN=NA '
⇒ A 'MCN là hình thoi
Hai hình chóp B’.A’MCN và B’.A’NC có chung
đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA MCN / =2.SA NC /
nên: VB A MCN / / =2.VB A NC / /
/
Ta có: /
/
A MCN
1
S A C.MN,
2
A C=a 3; MN=BC =a 2 /
2
A MCN
a 6
2
Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: VB'.A 'MCN =1.B'H.SA 'MCN
3 / /
/
3 2 / B A MCN
A MCN
S
A
O B H
C j
D /
C /
D
C
M N
Trang 9Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a,
góc ·BAC 120= o, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh ∆ AB'I vuông
tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)
Giải: Gọi H là trung điểm BC⇒ AH⊥BC
∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a
⇒ AH a
2
= và BH a 3 BC a 3
2
/ /
IB C
∆ vuông có:
/ 2 / 2 / / 2 a 2 13a
∆ AIC vuông có: 2 2 2 a2 2 5a2
Ta có: 2+ 2=5a2+ 2=13a2 = 2
4 4 (AB’ là đường chéo hình vuông AA’B’B cạnh a) Vậy ∆ AB’I vuông tại A
Ta có: /
2 /
AB I
S AI.AB a 2
2 ABC
S AH.BC a 3
Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta có:
/
ABC
AB I
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tứ diện ABCD, AD ⊥ (BCD) Gọi E là chân đường cao DE của tam giác BCD
a) Chứng minh (ADE) ⊥ (ABC)
b) Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK của (BCD)
Chứng minh (BFK) ⊥ (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA, =SB=SC=SD=a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa AD và SB
Bài 3: Tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B ; AC=2a Cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA = a
a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)
b) Tính khảng cách từ A đến (SBC)
c) Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
A /
B /
C /
A
H
I
Trang 10Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA
= h Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách:
a) Từ B đến (SCD)
b) Từ O đến (SCD)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông vạnh a, mặt bên (SAB) ⊥ đáy và SA =
SB = b Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD)
b) Từ AD đến (SBC)
c) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm của AB
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA
= a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SA và BD
b) SC và BD
c) AC và SD
Bài 7: Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB
a) Chứng minh AB ⊥ CD
b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD)
; SA = 2a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA=a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SC và BD
b) AC và SD
Bài 10: Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm BC
Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC
b) AI và OC