g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.. c/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m Ýt nhÊt mét[r]
Trang 1Chủ đề ph-ơng trình bậc hai một ẩn
A Kiến thức cần nhớ
I Định nghĩa : Ph-ơng trình bậc hai một ẩn là ph-ơng trình
có dạng
2
ax + bx + = c 0
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr-ớc gọi là các
hệ số và a ≠ 0
II Công thức nghiệm của ph-ơng trình bậc hai :
Ph-ơng trình bậc hai 2
ax + bx + = c 0(a ≠ 0)
2
b 4ac
∆ = −
*) Nếu ∆ > 0 ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
− + ∆ − − ∆
*) Nếu ∆ = 0 ph-ơng trình có nghiệm kép :
1 2
b
x x
2a
−
= =
*) Nếu ∆ < 0 ph-ơng trình vô nghiệm
III Công thức nghiệm thu gọn :
Ph-ơng trình bậc hai 2
ax + bx + = c 0(a ≠ 0)và b = 2b '
2
' b ' ac
∆ = −
*) Nếu ∆ > ' 0 ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
b ' ' b ' '
− + ∆ − − ∆
*) Nếu ∆ = ' 0 ph-ơng trình có nghiệm kép :
1 2
b '
x x
a
−
= =
*) Nếu ∆ < ' 0 ph-ơng trình vô nghiệm
IV Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1 Nếu x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình 2
ax + bx + = c 0(a ≠ 0)
thì :
Trang 21 2
1 2
b
x x
a c
x x
a
+ = −
=
2 Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải ph-ơng trình :
2
x − Sx + = P 0
(Điều kiện để có u và v là 2
S − 4P ≥ 0)
3 Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình 2
ax + bx + = c 0(a ≠ 0) có hai nghiệm :
c
x 1; x
a
Nếu a - b + c = 0 thì ph-ơng trình 2
ax + bx + = c 0(a ≠ 0) có hai nghiệm :
c
x 1; x
a
= − = −
V Một số quy tắc, phép biến đổi :
- Quy tắc nhân, chia đa thức
- Hằng đẳng thức đáng nhớ
- Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Ph-ơng pháp quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại
số
- Quy tắc biến đổi ph-ơng trình, bất ph-ơng trình
- Khái niệm căn bậc hai và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
- Ph-ơng pháp giải hệ ph-ơng trình
B Ph-ơng pháp học và làm
- Nắm đ-ợc các đơn vị kiến thức cần nhớ
- Khi làm bài tập cần đọc kĩ đề bài, xác định đúng dạng bài Từ đó có ph-ơng pháp phù hợp để giải
C Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
I Ph-ơng trình bậc hai không có tham số (Bài tập về giải ph-ơng trình)
1 Ph-ơng trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Ph-ơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
Ph-ơng pháp giải :
Trang 3- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
- Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đ-a về dạng : x2 = a
+) a > 0 ph-ơng trình có nghiệm x = ± a
+) a = 0 ph-ơng trình có nghiệm x = 0
+) a < 0 ph-ơng trình vô nghiệm
b/ Ph-ơng trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :
Ph-ơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng ph-ơng pháp đặt nhân tử chung, đ-a về ph-ơng trình tích rồi giải
2 Ph-ơng trình bậc hai đầy đủ :
Ph-ơng pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số ph-ơng trình đặc biệt
3 Ph-ơng trình đ-a đ-ợc về ph-ơng trình bậc hai :
ax + bx + = c 0(a ≠ 0)
Ph-ơng pháp giải : Đặt t = x2(t ≥ 0) đ-a về dạng : 2
at + + = bt c 0
b/ Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu :
Ph-ơng pháp giải :
- B-ớc 1 Tìm điều kiện xác định của ph-ơng trình
- B-ớc 2 Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
- B-ớc 3 Giải ph-ơng trình vừa nhận đ-ợc
- B-ớc 4 Trong các giá trị tìm đ-ợc của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn
điều kiện xác định là nghiệm của ph-ơng trình đã cho
c/ Ph-ơng trình tích
4 Không giải ph-ơng trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et)
II Ph-ơng trình bậc hai có tham số
1 Giải ph-ơng trình khi biết giá trị của tham số
2 Tìm tham số biết số nghiệm của ph-ơng trình (có hai
nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm hoặc vô nghiệm)
3 áp dụng định lý Vi-et
a/ Tìm tham số khi biết nghiệm của ph-ơng trình
b/ Tìm tham số khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng d-ơng hoặc cùng âm)
Trang 4c/ Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm :
- Hệ thức đối xứng
- Hệ thức không đối xứng
d/ Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số
e/ Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của ph-ơng trình không phụ vào tham số
f/ Lập ph-ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của ph-ơng trình
D Một số ví dụ
Bài 1 Giải các ph-ơng trình sau :
2
a / 2x − = 8 0
2
b / 3x − 5x = 0
2
c / 2x − + 3x + = 5 0
d / x + 3x − = 4 0
e / x + 3x − 2x − = 6 0
f / 3
x 5 2 x
+ + =
Giải
a / 2x − = ⇔ 8 0 2x = ⇔ 8 x = ⇔ = ± 4 x 2
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = ± 2
2
x 0
x 0
b / 3x 5x 0 x(3x 5) 5
3x 5 0 x
3
=
=
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x 0; x 5
3
= =
2
c / 2x − + 3x + = 5 0
*) Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm :
2
=> ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
2.( 2) 2.( 2) 2
*) Cách 2 : Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph-ơng trình có
nghiệm : x1 1; x2 5 5
2 2
= − = − =
−
Trang 54 2
d / x + 3x − = 4 0
§Æt 2
t = x (t ≥ 0) Ta cã ph-¬ng tr×nh : 2
t + − = 3t 4 0
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm : t1= > 1 0 (tháa m·n);
2
4
1
= − = − < (lo¹i)
2
t = ⇔ 1 x = ⇔ = ± 1 x 1
VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ± 1
e / x 3x 2x 6 0 (x 3x ) (2x 6) 0 x (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2) 0
x 3
x 3 0 x 3
= −
⇔ − = ⇔ = ⇔
= ±
VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x = − 3; x = ± 2
f / 3
x 5 2 x
+
+ =
− − (§KX§ : x≠2; x≠5)
Ph-¬ng tr×nh : x 2 3 6
x 5 2 x
+ + =
2
2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30
4x 15x 4 0
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
⇔ − + − − + = −
⇔ − + + =
∆ = − − = + = > ∆ =
=> ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm :
1
15 17 1 x
2.( 4) 4
− +
− (tháa m·n §KX§)
2
15 17
2.( 4)
− −
− (tháa m·n §KX§)
Bµi 2 Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m :
2
a/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = - 2
b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh TÝnh 2 2 3 3
1 2 1 2
x + x ; x + x
theo m
Trang 6c/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
2 2
1 2
x + x = 9
d/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5
e/ Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại
f/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph-ơng trình không phụ thuộc vào giá trị của m
Giải
a/ Thay m = - 2 vào ph-ơng trình (1) ta có ph-ơng trình :
2
2
x 2x 1 0 (x 1) 0
x 1 0
x 1
− + =
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
Vậy với m = - 2 ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x = 1
b/ Ph-ơng trình : 2
x + mx + + = m 3 0 (1)
m 4(m 3) m 4m 12
∆ = − + = − −
Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥ 0
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)
x + x = (x + x ) − 2x x = − ( m) − 2(m 3) + = m − 2m 6 −
x + x = (x + x ) − 3x x (x + x ) = − ( m) − 3(m 3)( m) + − = − m + 3m + 9m
c/ Theo phần b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥ 0
Khi đó 2 2 2
1 2
1 2
2
' ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; 4
∆ = − − − = + = > ∆ =
=> ph-ơng trình có hai nghiệm : m1 1 4 5; m2 1 4 3
Thử lại : +) Với m = ⇒ ∆ = − < 5 7 0 => loại
+) Với m = − ⇒ ∆ = > 3 9 0 => thỏa mãn
Trang 7Vậy với m = - 3 thì ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa
mãn : 2 2
1 2
x + x = 9
d/ Theo phần b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥ 0
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)
+ = −
= +
Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ ph-ơng trình :
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5 2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
Thay 1
2
vào (b) ta có ph-ơng trình :
2 2 2 2 (m)
( 3m 5)(2m 5) m 3 6m 15m 10m 25 m 3 6m 26m 28 0
3m 13m 14 0
13 4.3.14 1 0
⇔ − − − − = +
⇔ − − − =
∆ = − = >
=> ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1
2
13 1
2.3
13 1 7 m
2.3 3
− +
− −
Thử lại : +) Với m = − ⇒ ∆ = 2 0 => thỏa mãn
+) Với m 7 25 0
−
= ⇒ ∆ = > => thỏa mãn
Vậy với m 2; m 7
3
= − = − ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5
e/ Ph-ơng trình (1) có nghiệm
2 1
x = − ⇔ − 3 ( 3) + m.( 3) − + + = ⇔ − m 3 0 2m 12 + = ⇔ 0 m = 6
Khi đó : x1+ x2 = − ⇔ m x2 = − − m x1⇔ x2 = − − − ⇔ 6 ( 3) x2 = − 3
Vậy với m = 6 thì ph-ơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3
f/ Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3
⇔ < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ < −
Vậy với m < - 3 thì ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu
Trang 8g/ Giả sử ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 Khi đó theo
định lí Vi-et, ta có :
1 2 1 2
E Các bài đã gặp trong các đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 trong những năm gần đây
1 Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10
Bài 1 Giải các ph-ơng trình :
2
2
2
2
2
a / x 2 5x 4 0
b / x 29x 100 0
c / x 3x x 1 2 0
d / 11x 2 8x 9 18x 6 0
e / 4x 7 8x
− + =
− − − + =
+ − − + =
+ + = +
Bài 2 Cho ph-ơng trình x2 + px - 5 = 0 có nghiệm x1; x2
Hãy lập ph-ơng trình có hai nghiệm là hai số đ-ợc cho trong mỗi tr-ờng hợp sau :
1
a / x − và − x2
2
1
b / x và 2
2
x
Bài 3 Cho ph-ơng trình : 2 2
x − 3y + 2xy 2x 10y − − + = 4 0 (1)
a/ Tìm nghiệm (x; y) của ph-ơng trình (1) thỏa mãn x2 + y2 =
10
b/ Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình (1)
Bài 4 Cho ph-ơng trình : 2
(x + − k 3) x + 2(k + 3)x + 3k 9 − = 0 (1)
a/ Giải ph-ơng trình (1) khi k = 3
b/ Tìm các giá trị của k để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng và một nghiệm âm
Bài 5 Giải ph-ơng trình :
a / x 2x 1 x 2x 1 2
b / 6x 15x 2x 5x 1 1
c / 8x 8x 3 12x 12x 7 2( 2x 2x 1)
+ − + − − =
− + + − + = − + +
Bài 6 Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số t :
x − 2(t 1)x − + − = t 3 0 (1)
a/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có nghiệm
Trang 9b/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm
Bài 7 Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m :
2
mx − 5x − (m 5) + = 0 (1)
a/ Giải ph-ơng trình (1) khi m = 5
b/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c/ Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị của biểu thức
2 2
A = − 16x x − 3(x + x ).Tìm m để A = 0
Bài 8 Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m :
(m 3)x + − 2(m + 3m)x + m + 12 = 0 (1)
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình (1) Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho 2 2
1 2
x + x là một số nguyên
2 Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh
Bài 1 (Bắc Ninh 1997 - 1998)
Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2( 3) 2 7 0
a/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b/ Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình (1) là x x1; 2 Hãy tìm
m để
Bài 2 (Bắc Ninh 1998 - 1999)
1 Cho 1 ; 1
a/ Hãy tính : ab và a+ b
b/ Hãy lập một ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm là
2 Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
Trang 103 3 4 0
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ?
b/ Hãy tìm m để ph-ơng trình (1) có một nghiệm
x = + Khi đó hãy tìm nghiệm x2 của ph-ơng trình đó Bài 3 (Bắc Ninh 1999 - 2000)
1 Cho biểu thức P a b : a b
= −
(với a>0,b>0,a≠b)
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của ph-ơng trình
2
8 4 0
2 Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2 0 (1)
a/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm
b/ Chứng minh rằng với mọi m ph-ơng trình (1) không thể
có hai nghiệm cùng là số âm
c/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5
Bài 4 (Bắc Ninh 1999 - 2000)
Cho hai ph-ơng trình bậc hai ẩn x (a là tham số) :
2 2
3 2 0 (1)
1 0 (2)
− − − = + + =
a/ Giải các ph-ơng trình (1) và (2) trong tr-ờng hợp a
= -1
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai
ph-ơng trình trên luôn có ít nhất một trong hai ph-ơng
trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Trang 11Bài 5 (Bắc Ninh 2000 - 2001)
Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
x + m+n x− m +n = (1) a/ Giải ph-ơng trình (1) khi m = n = 1
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì ph-ơng
trình (1) luôn có nghiệm
c/ Tìm m, n để ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng
trình 2
5 0
x − − =x
Bài 6 (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho ph-ơng trình : 2
2( 1) 2 5 0
a/ Giải ph-ơng trình khi 5
2
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để ph-ơng trình đã cho
có nghiệm
Bài 7 (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho ph-ơng trình bậc hai :
2( 1) 3 2 0
a/ Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn 2 2
1 2 12
x +x = (Trong đó x x1, 2 là hai nghiệm của ph-ơng trình) ?
Bài 8 (Bắc Ninh 2002 - 2003)
Cho hai ph-ơng trình : 2
3 2 6 0 (1)
và 2
2 10 0 (2)
Trang 12a/ Giải hai ph-ơng trình trên với m = - 3
b/ Tìm các giá trị của m để hai ph-ơng trình trên có
nghiệm chung
c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một
trong hai ph-ơng trình trên có nghiệm
Bài 9 (Bắc Ninh 2003 - 2004)
a/ Chứng minh rằng : Nếu ph-ơng trình bậc hai 2
0
ax +bx c+ =
có hai nghiệm là x x1, 2 thì x1 x2 b
a
+ = − và x x1. 2 c
a
= b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của
chúng - 5
c/ Tìm số nguyên a để ph-ơng trình 2 2
7 0
x −ax+a − = có nghiệm
Bài 10 (Bắc Ninh 2004 - 2005)
Cho ph-ơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0
1 Giải ph-ơng trình với m = 2
2 Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt
Bài 11 (Bắc Ninh 2005 - 2006)
Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m
là tham số)
1) Giải ph-ơng trình (1) với m = 1
2) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
3) Với x1, x2 là nghiệm của (1) Tính theo m giá trị của biểu thức:
A = x1(1 - x2) + x2(1 -
x1)
Bài 12 (Bắc Ninh 2006 - 2007)
Cho ph-ơng trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải ph-ơng trình (1) khi m = -1
Trang 132) Chứng minh rằng ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
3) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm d-ơng
Bài 13 (Bắc Ninh 2007 - 2008)
Cho ph-ơng trình bậc hai 2 2
2(2 1) 3 4 0
x − m− x+ m − = (x là ẩn) (1) a/ Chứng minh rằng ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của ph-ơng trình (1) Hãy tìm m để x1+ 2x2 = − 2
Bài 14 (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Cho ph-ơng trình x2 - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1,
x2
Tính giá trị của biểu thức : 2 1
1 2
S
= +
Bài 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010)
Cho ph-ơng trình : 2
(m+ 1)x − 2(m− 1)x+ − =m 2 0 (1) (m là tham
số)
a/ Giải ph-ơng trình (1) với m = 3
b/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1; x2 thỏa mãn :
1 2
1 1 3
2
F Tài liệu ôn thi đã đáp ứng đ-ợc những dạng bài nào, ở mức độ khó dễ nh- thế nào ?
- Tài liệu ôn thi đã cung cấp đ-ợc một số đơn vị kiến thức cần nhớ, một số bài tập
- Tuy nhiên có nhiều bài tập ở mức độ khó, dạng bài tập cơ bản ch-a phong phú để học sinh luyện tập
G Đề xuất
Trang 14N¨m tíi, Së so¹n th¶o mét bé tµi liÖu «n tËp riªng cña TØnh, phï hîp víi häc sinh h¬n