Phương trình và hệ phương trình HPT DOI XUNG LOAI I cô Hà

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.. Giải hệ phương trình đối xứng loại 1.[r]

A LÝ THU YẾT

1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

1 2

b

a c

P x x

a

 = + = −







Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có 1 2

1 2



 thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X2 − SX + P = 0

2 Định nghĩa: Hệ ( , ) 0

( , ) 0

f x y

g x y

=



 , trong đó ( , ) ( , )

( , ) ( , )

f x y f y x

g x y g y x

=



 thì được gọi là hệ đối xứng loại I 3.Cách giải:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2

4

S ≥ P

Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý:

+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ

B BÀI TẬP Loại 1 Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

26

+ =



 + =



HD

3

2

x y

+ =





⇒

⇒x y, là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 2

X − X − = ⇒ X = − X = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (-1;3), (3; -1)

5

x xy y

x y

 + =



HD

( )2

6

5 5

xy

x y

x y



⇒x y, là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 2

X − X + = ⇒X = X = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2;3), (3; 2)

Hệ phương trình đối xứng loại I

7

x y xy







HD

2 2

12 0

7



Ta thấy (S1 = 3, P1 = 2) thoả mãn

,

x y

⇒ là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 2

X − X + = ⇒X = X = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2;1), (1; 2)

xy x y





HD

⇒

,

x y

⇒ là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 2

X − −X = ⇒X = − X = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (-3;4), (4;-3)

3 9







HD







2 2

2

0

( )

( )

S

I

II

 =





⇔ − = ⇔ − =





Giải hệ (I) ⇒ (S = 0, P = 0) ⇒ x = y = 0

Giải hệ (II)

2

2



S1 = 3⇒P1 = 0⇒(0, 3); (3, 0)

S2 = 6⇒P2 = 9⇒(3, 3)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (0, 3); (3, 0); (3, 3), (0; 0)

Bài 6 Giải hệ

10 5 2

x y

y x

+ =





 + =



Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0

⇔

10 200 9

x y xy

+ =







Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 10 20,  ; 20 10, 

Bài 7 Giải hệ 2 2 11

x y xy





 (ĐH Quốc gia Hà nội, 2000)

HD

⇔

2

10; 21

5 50 0

⇔ + − = ⇔ = − =

+) Với S1 = 5; P1 = 6 ⇒ Nghiệm là (2, 3); (3, 2)

+) Với S2 = -10; P1 = 21 ⇒ Nghiệm là (-3, -7); (-7, -3)

Kết luận: Hệ đã cho có 4 nghiệm (2, 3); (3, 2); (-3, -7); (-7, -3)

Bài 8 Giải hệ phương trình

30 35

x y xy





 (ĐH Ngoại thương 1998- A)

HD

Đặt S= +x y, P=xy, điều kiện 2

4

S ≥ P Hệ phương trình trở thành:

2

2

30 30

90 ( 3 ) 35

35

P

S S

S

 =



=

⇔



Bài 9 Giải hệ phương trình

7 21





 (ĐH Sư phạm HN B,D,2000)

2 2

xy xy



Hệ có 4 nghiệm (x; y) là (1;2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1)

 (HV Hành chính Quốc gia A, 2001)

HD

Đặt x + y = S, xy = P Hệ trở thành: 3 3 8 2 0, 2



Bài 11 Giải hệ phương trình

2

5

x2, y2là nghiệm của PT bậc 2: t2 – 5t + 4 = 0 do đó t = 1, t = 4

do đó

2

2

2

2

1 (1; 2), ( 1; 2), (1; 2), ( 1; 2) 4

4 2;1), (2; 1 , 2;1 , 2; 1 1

x y x y

 =



=





 =

 =



Hệ phương trình đối xứng loại I

1 1

5

9

x y

x y

uv

 + + + =



với u x 1,v y 1

TH1: u = 2, v = 3 nghiệm là 1, 3 5

2

x= y= ±

TH2: u = 3, v = 2 nghiệm là 3 5, 1

2

x= ± y=

1

+ = −



 (ĐH An ninh-2001-D)

Đặt S = x + y, P = xy ta có hệ 2

1, 0

1 2

(0;1), (1; 0) 3

2, ( )

2



= −

⇔

Bài 14 Giải hệ phương trình

2 8 2 (1)

4 (2)





HD

Cách 1 Điều kiện ,x y≥ Đặt 0 t= xy ≥0, ta có:

2

xy= và (2)t ⇒ + =x y 16 2− t

Thế vào (1), ta được: 2

t − t+ = − ⇔ = t t

⇔

Cách 2

4 (2) 2 16

2x +2y = + ⇔x y 2x +2y =x +y +2xy⇔ = … x y

Bài 15 Giải hệ phương trình





HD

x + + + +x y y + + + =x y (1)

Thế vào PT đầu ta được x + y = 8 (2)

Thế (2) vào (1) : 2 2

x + + y + = (3)

Bình phương hai vế và rút gọn:

( 2 )2 2 2

t + − t = − t

2

0

t

t

 − ≥





Hệ có nghiệm duy nhất (4; 4)

Bài 16

6 6

1

x y







+ = (ĐH Ngoại thương 2001- A)

Từ (1) suy ra ( ) ( 2 2 )

x−y x +xy+y − =

TH 1: x= ythế vào (2) ta có nghiệm là 61 ;61 , 61 ; 61

TH2:

6 6

3 1

x xy y

x y







+ = từ hệ ta có

x ≤ y ≤ ⇒x +xy+y ≤

dấu bằng xảy ra khi x = 1, y = 1 hoặc x = y = - 1 nhưng 2 nghiệm này không thỏa mãn hệ nên

không là nghiệm của hệ

khó khăn khi giải ra S và P Tuỳ theo đặc thù của hệ ta có thể giải bằng phương pháp khác

Bài 17

1 1





 (ĐH Tài chính- Kế toán, 2001 A)

HD

1 x y, 1 x x 1 0

Tương tự 4( 2 ) 6 6 4 4

y y − ≤ ⇒x +y ≤x +y Dấu bằng xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = - 1

0

x= thay vào hệ y = 1 hoặc y = - 1

1

x= thay vào hệ y = 0

1

x= − thay vào hệ y = 0

Vậy hệ có 4 nghiệm là (0; 1), (0; -1), (1; 0), (-1; 0)

Bài 18

1 1





 (ĐH Mỏ - Địa chất, 2000)

HD

Trừ vế, ta có: 3( ) 3( ) ( 3) ( ) ( 3) ( )

x x− +y y− = ⇒ −y x− + −x y− =

Ta có 1+ +y y2+ + +1 x x2 > ∀0, x y, Do đó x = 1 hoặc y = 1

Với x=1thay vào hệ y = 0

Với y=1 thay vào hệ x= 0

Với hệ có 2 nghiệm (0; 1), (1; 0)

Hệ phương trình đối xứng loại I

Loại 2 Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1

2

xy x y

− = −







HD

Đặt t= −y S, , = +x t P=xt, điều kiện 2

4

S ≥ P

Hệ phương trình trở thành: 3( 3 ) 2 3 2

⇔

1

2

x+ −x =

HD

Đặt:

3

3

1

x u

x v





− =

 Vậy ta có hệ: 3 3

3 2 1

u v

 + =





 + =



⇔

2

3 2

u v

 + =





 +  + − =



⇔

3 2 19 = 36

u v

u v

 + =









u, v là hai nghiệm của phương trình: 2 3 19

⇒

12

9 - 5 12

u u

=







=





⇒

3

3

9 5

12

9 - 5

12

x

x

 =  





Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =

;

 +   −  







HD

x +y − x− y= ⇔ x− + y− = nên đặt u= −x 1,v= −y 2

⇒u v =(x−1)(y−2)=xy−2x− + y 2

Do đó xy−3x−2y=(xy−2x− +y 2) (− x− −1) (y− − =2) 5 uv u− − −v 5

Khi đó hệ phương trình trở thành:

5 16

uv u v

 − + − =



⇔  + = − ⇒ =

 TH1: u+ =v 10,uv=31 loại

