Ta có nhận xét: Sau mỗi trận đấu, dù kết quả thế nào, tổng số điểm của hai đội tham gia thi đấu đều bằng 2.. Chia các đội bóng làm hai nhóm..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2018
Câu I: (2,0 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức:
P
2 Cho hai số thực a , b lần lượt thỏa mãn các hệ thức a3 3a25a 17 0 và
b b b Chứng minh a b 2
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: x2 x 4 2 x 1(1 x)
2 Giải hệ phương trình:
1
Câu III: (2,0 điểm)
1 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn: x2019 y2019 y1346 y6732.
2 Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên dương k đặt
1k 2k k
k
S n Chứng minh S2019 S1
Câu IV: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có AB AC Gọi , ,D E F lần lượt là chân các đường cao kẻ
từ , ,A B C của tam giác, P là giao điểm của các đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua
D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB AC CF tại , ,, , Q R S
1 Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
2 Chứng minh
PC DC và D là trung điểm của QS.
3 Khi ,B C cố định và điểm A thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn các điều kiện trên, chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1,0 điểm)
Một giải đấu bóng chuyền có n đội tham gia ( n,n2), luật đấu như sau: Mỗi đội đấu với tất cả các đội khác đúng một trận Sau một trận đấu, đội thắng được 2 điểm, đội thua được 0 điểm; còn nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm
Sau giải đấu các đội xếp hạng theo điểm số từ cao xuống thấp (hai đội bằng điểm nhau xếp cùng hạng) Hỏi sự chênh lệch về điểm lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ hạng liền nhau là bao nhiêu?
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I.1.
Với n,n1, ta có:
( 1)
1 2 3
2
n n
Từ đó suy ra:
n n n
Cho n các giá trị từ 2,3, , 2018 rồi nhân các biểu thức ta được:
1.4 2.5 2017.2020 1.2.3 2017 4.5 2020
2.3 3.4 2018.2019 2.3.4 2018 3.4 2019
Vậy
2020 1010 3.2018 3027
Câu I.2.
Ta có: a132a1 14 0 và b132b1 14 0
Cộng từng vế của hai biểu thức trên ta được: a13b132a12b1 0
Đặt
1
1
x a
y b
đẳng thức trở thành: x3y32x2y0 (x y x )( 2 xy y 22) 0
0
x y
(do
x xy y x
Vậy (a1) ( b1) 0 a b 2
Câu II.1.
Điều kiện xác định: x 1
Ta có: x2 x 4 2 x1(1 x) x22x x1 x 1 2(x x1) 3 0
Đặt x x1 (điều kiện y y ).1
Phương trình trở thành y2 2y 3 0
1 3
y y
y (do 3 y )1
Khi đó : x x1 3 x1 3 x 2
x
2 2
5
x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2
Câu II.2.
Điều kiện xác định: 2 2
2 0
x y xy
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
2 2 2 2
x y x y
2 2 2 2
2 2
(1)
x y x y
x y xy
Trang 3Từ (2) ta có:
2 0
2
xy
x y xy
xy
+Với xy , thay vào (1) suy ra 2 2 2 2
4
x
Từ đó suy ra hệ có các nghiệm: ( ; )x y 2; 2
; ( ; )x y 2; 2
(thỏa mãn điều kiện) +Với xy , thay vào (1) suy ra 1 2 2
1 1
x x
(vô nghiệm)
Vậy hệ có 2 nghiệm: ( ; )x y 2; 2
; ( ; )x y 2; 2
Câu III.1.
Giả sử x y; là cặp số nguyên thỏa mãn phương trình đã cho.
Đặt a x 673,by673 ta có ,a b thỏa mãn a3 b3 b2 b 2
Ta thấy: a3b132b12 1 b13
và a3b3 b1 b2 +) Nếu b 1 hoặc b 2 thì b1 b2 Suy ra:0
b13a3 b3 b 1 a b điều này không thể xảy ra vì ,a b .
+) Nếu 2 b 1, vì b suy ra b 2; 1;0;1
Với b2 y673 2 y .
Với b 0 a 2 x673 2 x .
Với
673
673
1 1
y x
Với
673
673
1 1
y x
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là x y ; 1;1 và ( ; )x y 1; 1.
Câu III.2.
Ta có 1
( 1)
1 2
2
n n
S n
Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng tỏ 2S2019n n ( 1)
Ta có nhận xét sau: Với ,a b nguyên dương bất kì thì a2019b2019(a b )
Thật vậy :
2019 2019 ( )( 2018 2017 2017 2018) ( )
a b a b a a b ab b a b
Xét hai trường hợp:
+) Nếu n lẻ: Từ nhận xét trên ta có
2019
2S 2n 2 1 (n1) 2 2 (n 2)
2019 2019
2
n
2019 2019 2019 2019
2019
2S 2(1 n ) 2 2 (n1)
n
Trang 4+) Nếu n chẵn: Ta có
2019
2S 2n 2 1 (n1) 2 2 (n 2)
2
n
2019 2019 2019 2019
2019
2S 2(1 n ) 2 2 (n1)
n
Suy ra 2S2019 n n ( 1)
Vậy S2019 S1
Câu IV.1.
M Q
R S
H
E
F A
Do AB AC nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
Do tứ giác BCEF nội tiếp nên AFE BCA
Do QR song song với EF nên AFE BQR
Từ đó suy ra BCA BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp.
Câu IV.2 Gọi H là trực tâm tam giác ABC Dễ thấy tứ giác AEHF nội tiếp Suy ra
FEH FAH BAD
Tương tự DEH DCH BCF Mà BAD BCF (cùng phụ với ABC ).
Suy ra FEH DEH , hay EB là đường phân giác trong góc E của tam giác DEP
Theo tính chất đường phân giác ta có :
ED BD
EP BP .
Mặt khác AC BE nên AC là phân giác ngoài của DEP , nên
ED CD
EP CP .
Suy ra :
CD BD
CP BP
PB DB
PC DC
Chứng minh tương tự ta có FC là phân giác góc DFE , hay DFS SFE
Trang 5Mà SFE FSD (so le trong do QR EF )
Vậy DFS FSD hay tam giác DFS cân tại D DF DS
Ta lại có, do tính chất phân giác ngoài nên DFQ AFE
Mà AFE FQD (đồng vị) Suy ra tam giác DFQ cân tại D DF DQ
Từ đó suy ra DS DQ , hay D là trung điểm QS
Câu IV.3.
Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM. DQ DR. từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp
tam giác PQR đi qua M cố định.
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC. . (4)
PB DB
DB PC DC PB
PC DC DB DP DC DC DP DB
2
DC DB
DB DC DP
Do M là trung điểm BC và AB AC nên 2
DC DB
DM
Do đó DP DM. DB DC. (5)
Từ (4) và (5) ta được DP DM. DQ DR.
Suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC cố
định
Câu V.
Kí hiệu D i i, 1,n là đội bóng thứ i và d là điểm số của đội i D sau giải đấu i
Không mất tính tổng quát, giả sử d1d2 d n
Xét các hiệu d i d i1,i1,n , ta có 1 d i d i1 0, i 1,n 1
Giả sử đội xếp hạng s và đội xếp hạng s có chênh lệch điểm lớn nhất, nghĩa là hiệu 1 d s d s1 lớn nhất trong số các hiệu trên
Ta có nhận xét: Sau mỗi trận đấu, dù kết quả thế nào, tổng số điểm của hai đội tham gia thi đấu đều bằng 2
Chia các đội bóng làm hai nhóm Nhóm 1 gồm các đội D1, ,D và nhóm 2 gồm các đội còn lại s
1, ,
D D .
Khi đó s đội trong nhóm 1 đấu với nhau
( 1) 2
s s
trận và nhận (s s 1) điểm Ngoài ra các đội thuộc nhóm 1 đấu với các đội thuộc nhóm 2 tất cả (n s s ) trận và nhận không quá 2(n s s ) điểm (vì trong
số (n s s ) trận này có thể có các trận mà đội thuộc nhóm 1 thua) Do đó tổng điểm mà s đội nhóm 1
nhận được không quá (s s1) 2( n s s ) (2n s 1)s
Từ đó suy ra
s
n s s
s
(1) Lại có: Các đội thuộc nhóm 2 đấu với nhau
2
n s n s
trận và nhận (n s n s )( 1) điểm Do
đó số điểm d s1 của đội D s1 sẽ lớn hơn hoặc bằng (n s n s )(n s 1) n s1, hay d s1 n s 1 (2)
Trang 6Dấu ‘=’ xảy ra khi đội vô địch thắng tất cả các đội và được 2(n 1) điểm, tất cả các đội còn lại khác đều hòa nhau (và thua đội vô địch), mỗi đội nhận n 2 điểm Vậy max(d i d i1) n