Chứng minh rằng: bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2018 đoạn thẳng không có điểm nào chung.. Ta nhận thấy rằng luôn tồn tại cách[r]
Trang 1CÂU 5 ROIRACHSG9HP318 QN
1QN.Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một
số nguyên dương không vượt quá 10 Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số trùng nhau Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần
DAPAN Trên hình vuông con kích thước 2x2 có không quá 1 số chia hết cho 2, có không quá một số chia hết cho 3
- Lát kín bảng bởi 25 hình vuông , kích thước 2x2 có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều
nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia
hết cho 3, vì vậy chúng phải là một trong các số 1; 5; 7
Theo nguyên lý Đich-Le có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
2QN Trên mặt phẳng cho 2 2018 điểm, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng
Người ta tô 2016 điểm bẳng màu đỏ và tô 2018 điểm còn lại bằng màu xanh Chứng minh rằng:
bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2018
đoạn thẳng không có điểm nào chung
Ta nhận thấy rằng luôn tồn tại cách nối 2018 cặp điểm với
nhau bằng 2018 đoạn thẳng và vì có 2018 cặp điểm nên số cách nối là hữu hạn Và hiển nhiên là trong hữu hạn cách nối đó ta luôn tìm ra được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất Ta chứng minh cách nối đó là cách mà chúng ta cần tìm Thật vậy: Giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng
AX và BY cắt nhau tại điểm O (giả sử A và B tô màu đỏ, còn X và Y tô màu xanh)
O
Y
B A
X
Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn AY và BX, các đoạn còn lại giữ nguyên thì cách nối này có tính chất:
Trang 2AY + BX < (AO + OY)+ (BO + OX) = (AO + OX) + (BO + OY).
Suy ra: AY + BX < AX + BY Như vậy, với việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng
AY và BX ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài đoạn thẳng là nhỏ hơn Vô lí, vì trái với giả thiết là đã chọn cách nối có tổng các độ dài là bé nhất Điều vô lí đó chứng tỏ cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng ngắn nhất là không có điểm chung
3QN. Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng
Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm mà đường tròn đi qua chúng không chứa trong một điểm nào khác
Giả sử trong các điểm đã cho tồn tại 2 điểm A1; A2 sao cho tất cả các điểm còn lại thuộc một nửa mặt phẳng bờ A1A2
Ta có, trong tập hợp n-2 góc có dạng A A A 1 i 2 trong đó A
i là một trong n- 2 điểm còn lại
Do số góc là hữu hạn, nên tồn tại góc A A A 1 k 2lớn nhất.
Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác A1AkA2 không chứ trong bất kì một điểm nào
khác
(haiđộibấtkỳthiđấuvớinhauđúngmộttrận)
a) Chứngminhrằngsau 4 vòngđấu (mỗiđộithiđấuđúng 4 trận) luôntìmđượcbađộibóngđôimộtchưathiđấuvớinhau
b) Khẳngđịnhtrêncònđúngkhôngnếucácđộiđãthiđấu 5 trận?
Giả sử kếtluậncủabàitoán là sai, tức là trongbađộibấtkỳ thì có haiđộiđã đấuvớinhaurồi Giả sử đội 1 đã gặpcácđội 2, 3, 4, 5 Xétcácbộ (1; 6; i) với i {7; 8; 9;…;12}, trongcácbộ nàyphải có ítnhấtmộtcặpđã đấuvớinhau, tuynhiên 1 khônggặp 6 hay i nên 6 gặp i vớimọi i
{7; 8; 9;…;12} , vôlý vì đội 6 nhưthế đã đấuhơn 4 trận Vậy có đpcm
Kếtluậnkhôngđúng Chia 12 độithành 2 nhóm, mỗinhóm 6 đội Trongmỗinhómnày,
chotấtcả cácđộiđôimộtđã thiđấuvớinhau Lúcnàyrõ ràngmỗiđộiđã đấu 5 trận
Khixét 3 độibấtkỳ, phải có 2 độithuộccùngmộtnhóm, do đó 2 độinàyđã đấuvớinhau Ta có phản ví dụ
Có thể giảiquyếtđơngiảnhơnchocâu a nhưsau:
Do mỗiđộiđã đấu 4 trậnnêntồntạihaiđội A, B chưađấuvớinhau Trongcácđộicònlại,
vì A và B chỉ đấu 3 trậnvới họ nêntổngsố trậncủa A, B vớicácđộinàynhiềunhất là 6 và do
đó, tồntạiđội C trongsố cácđộicònlạichưađấuvớicả A và B Ta có A, B, C là bộ
bađộiđôimộtchưađấuvớinhau
Trang 3O 2
A
1
A
5QN Bên trong đường tròn tâm O bán kính R = 1 có 8 điểm phân biệt Chứng minh rằng;
tồn tại ít nhất hai điểm trong số chúng mà khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn 1
Nhận xét: Ít nhất 7 điểm trong số 8 điểm đã cho là khác tâm O Gọi các điểm đó là
1, 2, ,3 4, ,5 6, 7, 8
A A A A A A A A
Ta có góc nhỏ nhất trong số các góc A OA (1 k i k ; 1 i k, 8)
là không lớn hơn
0 0 360
60
7 Giả sử A OA1 2 là bé nhất
Xét A OA1 2 vì A OA 1 2 600 hoặc 0
OA A hoặc 0
2 1 60
OA A
hoặc OA2 A A1 2 hoặc OA1 A A1 2
Mà OA hoặc 1 1 OA 2 1 A A 1 2 1
6QN Trên một hòn đảo có một loài tắc kè sinh sống, chúng có ba màu: xanh, đỏ và tím Tất cả
có 2017 con màu xanh, 2018 con màu đỏ và 2019 con màu tím Để lẩn chốn và săn mồi thì loài tắc kè này biến đổi màu như sau: Nếu hai con tắc kè khác màu gặp nhau thì chúng đồng thời đổi màu sang màu thứ ba Nếu hai con tắc kè cùng màu gặp nhau thì giữ nguyên màu Có khi nào tất
cả các con tắc kè trên trở thành cùng màu được không ? Vì sao ?
+ Nếu một con tắc kè xanh gặp một con tắc kè đỏ thì cả hai con tắc kè này chuyển thành màu tím nên số tắc kè lúc này là: 2016 con xanh, 2017 con đỏ và 2021 con tím Lúc này các số dư của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0, 1, 2
+ Nếu một con tắc kè xanh gặp một con tắc kè tím thì hai con tắc kè này chuyển thành màu đỏ nên số tắc kè lúc này là: 2016 con xanh, 2020 con đỏ và 2018 con tím Lúc này các số dư của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0,1, 2 như vậy vẫn đầy đủ ba số dư đã có ban đầu
+ Nếu một con tắc kè đỏ gặp một con tắc kè tím thì hai con tắc kè này chuyển thành màu xanh nên số tắc kè lúc này là: 2019 con xanh, 2017 con đỏ và 2018 con tím Lúc này các số dư của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0, 1, 2 như vậy vẫn đầy đủ ba số dư ban đầu Lập luận trên dẫn đến số dư của các số tắc kè chia cho 3 có đầy đủ ba số dư 0, 1, 2 Mà số dư khi chia 3 số
2017, 2018, 2019 cho 3 lần lượt là : 1, 2, 0
Trang 4Mặt khác, tổng tất cả tắc kè trên đảo là 2017 + 2018 + 2019 = 6054 là một số chia hết cho 3 Nếu tất cả tắc kè đều cùng một màu thì số dư của lượng tắc kè xanh, đỏ và tím chia cho 3 là 0,
0, 0 Điều này vô lí nên không thể có trường hợp tất cả tắc kè trên đảo có cùng màu
7QN Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2
điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm
Xét điểm A và hình tròn (C1) có tâm A, bán kính bằng 1
C2
C1
C
B A
- Nếu tất cả 98 điểm còn lại đều nằm trong (C1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh
- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C1)
Ta có: AB > 1 (1)
Vẽ hình tròn (C2) tâm B, bán kính bằng 1
+ Giả sử C là một điểm bất kì khác A và B Khi đó điểm C thuộc một trong hai hình tròn (C1) và (C2) Thật vậy, giả sử C không thuộc hai hình tròn nói trên
Suy ra: AC > 1 và BC > 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra bộ 3 điểm A, B, C không có hai điểm nào có khoảng cách nhỏ hơn 1 (vô
lí vì trái với giả thiết)
Chứng tỏ C (C1) hoặc C (C2) Như vậy 99 điểm đã cho đều thuộc (C1) và (C2)
Mặt khác 99 = 49.2 + 1 nên theo nguyên tắc Dirichle ắt phải có một hình tròn chứa không ít hơn
50 điểm
8QN Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị) Đặt 22 đấu thủ vào
bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau
DAPAN
Trang 5Ta điền các số như hình bên.
Xem mỗi lồng chim gồm các ô được điền cùng số Như vậy ta có 7 lồng chim Khi đặt 22
đấu thủ vào 7 lồng thì sẽ có một lồng chứa ít nhất 4 đấu thủ nhớ rằng các đấu thủ trong
cùng một lồng đôi một không tấn công lẫn nhau Đpcm
9QN Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu
xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu
DAPAN
C
B
A
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam
giác cân
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác
nhau và tạo thành một tam giác cân
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo
0,25
0,25
0,25
Trang 6thành một tam giác cân.
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi
cùng một màu hoặc đôi một khác màu
0,25
10QN Bên trong một hình vuông có cạnh bằng 8cm, lấy 100 điểm bất kì Chứng minh rằng
trong 100 điểm vừa lấy, có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1cm
DAPAN
Ai
D
C B
A
P N
Q M
Gọi ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8cm
Giả sử 100 điểm được vẽ bên trong hình vuông ABCD là A1, A2, …A100 Dựng 100
đường tròn có tâm Ai có cùng bán kính bằng 1cm, kí hiệu mỗi đường tròn là (Ai) (i =
1, 2, 100)
Tổng diện tích của 100 đường tròn vừa vẽ là 100πcm2
Vẽ hình vuông MNPQ có cùng tâm với hình vuông ABCD (như hình vẽ), có MN //
AB và MN = 10cm
Khi đó tất cả các đường tròn đã vẽ ở trên đều nằm bên trong hình vuông MNPQ và
hình vuông MNPQ có diện tích bằng S1 = 100cm2
Do π> 3 nên S > 3S1, suy ra tồn tại điểm O là điểm trong của ít nhất 4 đường tròn
trong số các đường tròn (Ai) Giả sử 4 đường tròn này là (A1), (A2), (A3), (A4)
Khi đó 4 điểm A1, A2, A3, A4 sẽ nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính bằng 1cm
11QN. Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn và 6 sách Anh văn Có bao nhiêu cách sắp xếp lên kệ sách dài nếu các cuốn sách cùng loại xếp liền nhau
DAPAN
Trang 7Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài thì có 3! cách
Trong mỗi nhóm ta hoán vị các sách cùng loại với nhau thì
sách Toán có 2! cách
Sách Văn có 4! cách
Sách Anh văn có 6! cách
Vậy có 3!.2!.4!.6! = 207360 cách sắp xếp
0,25
0,5
0,25
12QN. Cho hình vuông 1 đơn vị chứa 101 điểm Chứng minh rằng có ít nhất 5 điểm thuộc một đường tròn có bán kính nhỏ hơn
1
7
DAPAN
Chia hình vuông đơn vị thành 25 hình vuông có cạnh là
1
5 Xếp 101 điểm vào 25 hình vuông Theo nguyên lí Đrichlê tồn tại ít nhất 1 hình
Giả sử 5 điểm thuộc hình vuông ABCD
Gọi I là giao điểm của AC và BD
0,25
1 IA 7
Vậy có ít nhất 5 điểm thuộc một đường tròn có bán kính nhỏ hơn
1
13QN.Sau một bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng Hệ
thống camera tự động đếm thấy có tất cả 66 cái bắt tay
Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?
DAPAN
Gọi số người trong phòng cần tìm là n (người) thì mỗi người sẽ bắt tay với
n-1 người còn lại
Mỗi “Cái bắt tay” phải có 2 người với nhau (2 lần )
0,25điểm
Trang 8Như vậy n người sẽ cú n(n-1) lần bắt tay Và số “Cỏi bắt tay” là
2
n n
A
2
2
1
2
132 0
( 1) 528 529
529 23
12 ( / )
11 (loại)
Vậy số người trong phũng là 12 người
0,25điểm
0,25điểm 0,25điểm
14QN. Cú 9 chiếc bàn vừa màu xanh, vừa màu đỏ xếp thành một hàng dọc cỏch đều nhau Chứng minh rằng cú ớt nhất một chiếc bàn được xếp cỏch 2 bàn cựng màu với mỡnh một khoảng cỏch như nhau
DAP AN
5
(1đ)
+ Gọi tên theo thứ tự 9 chiếc bàn là B1,B2,B3, B4,B5,B6 B7,B8,B9 Giả sử
không có bàn nào đợc xếp cách đều hai bàn cùng màu với mình (*)
+ Không mất tổng quát, giả sử B5 là bàn màu xanh, khi đó B4 và B6
không thể cùng màu xanh Có hai khả năng:
- B4 và B6 cùng màu đỏ Do đó B4 cách đều B2 và B6, còn B6 cách đều
B4 và B8 nên B2 và B8 cùng màu xanh, suy ra B5 đợc xếp cách đều hai
bàn cùng màu xanh là B2 và B8, trái với giả thiết (*)
- B4 và B6 khác màu, không mất tổng quát, giả sử B4 màu xanh còn B6
màu đỏ Do B4 cách đều B3 và B5 nên B3 là bàn màu đỏ Do B6 cách
đều B3 và B9 nên B9 là bàn màu xanh Do B5 cách đều B1 và B9 nên B1
màu đỏ Do B2 cách đều B1 và B3 nên B2 màu xanh Do B5 cách đều B2
và B8 nên B8 có màu đỏ Do B6 và B8 cùng có màu đỏ nên B7 có màu
xanh Nh vậy B7 đợc xếp cách đều hai bàn cùng màu xanh là B5 và B9,
0,25đ
0,25đ
Trang 9trái với giả thiết (*)
Vậy cả hai khả năng trên đều dẫn đến vô lý nên điều giả sử (*) là
sai Nh vậy có ít nhất một bàn đợc xếp cách đều với hai bàn cùng màu
với mình
0,25đ
0,25đ
15QN. Hỏi cú hay khụng 16 số tự nhiờn, mỗi số cú ba chữ số được tạo thành từ ba chữ
số a, b, c thỏa món hai số bất kỳ trong chỳng khụng cú cựng số dư khi chia cho 16?
ĐAPAN
5/
(1đ)
Khụng tồn tại 16 số như vậy
Thật vậy, giả sử trỏi lại, tỡm được 16 số thỏa món Khi đú, ta cú 16 số
dư phõn biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;
trong đú cú 8 số chẵn, 8 số lẻ
Do đú, ba chữ số a, b, c khỏc tớnh chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a,
b và chữ số lẻ là c.
0.25 0.25
0.25
Cú 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này:
aac abc acc bac bbc bcc cac cbc ccc, , , , , , , , .
Gọi x x1, , ,2 x9 là cỏc số cú hai chữ số thu được từ cỏc số ở trờn bằng
cỏch bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị) Khi đú
mod16 16
x c x c khụng là ước của x c x c i j
tức là x i x j
khụng chia hết cho 8
Nhưng trong 9 số x x1, , ,2 x9 chỉ cú ba số lẻ ac bc cc, , nờn 8 số bất
kỳ trong 9 số x x1, , ,2 x9 luụn cú hai số cú cựng số dư khi chia cho 8,
mõu thuẫn
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c cú hai số lẻ, một số chẵn
cũng khụng xảy ra
0.25
16QN. Cho A làmộtsốnguyờndương Biếtrằngtrongbamệnhđềsauđõy P, Q, R
chỉcúduynhấtmộtmệnhđềsai Tỡm A?
P = “ A + 51 làbỡnhphươngcủamộtsốtựnhiờn”
Q = “ A cúchữsốtậncựng là 1”
R = “ A- 38 làbỡnhphươngcủamộtsốtựnhiờn”
DAPAN
Trang 10Nếumệnhđề Q đúng => A+51 tậncùnglà 2 => P làmệnhđềsai.
Khiđó A – 38 tậncùnglà 3 => R khônglàbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên => R
làmệnhđềsai
VậyQlàmệnhđềsai
0.25 điểm
0.25 điểm VậyQlàmệnhđềsaivà P, Rlàhaimệnhđềđúng
Ta có
2 2
2
51 (x N)
1
45 89
x y
x
x y
0.5 điểm
18QN. Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong
3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu
DAPAN
(1,0
điểm)
C
B
A
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của
ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và
tím sẽ xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho
thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có
ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác
màu
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 1119QN Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính
1
9 m Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường tròn
DAPAN
(1,0
Điểm)
Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 0,1m
Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt
Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì
số đường tròn không quá 9.6=54
Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường tròn
0,25 0,25
0,25 0,25
20QN Một gia đình lớn gồm bốn thế hệ, trong đó có bảy cặp ông nội – cháu nội Biết rằng, trong gia đình đó mỗi người đều chỉ có nhiều nhất hai con Hỏi gia đình đó có ít nhất mấy người là nam? Tại sao?
Xét 7 người cháu nội:
+/ Nếu 7 người này ở cùng một thế hệ thì thế hệ trước của 7 người này phải có ít nhất 4 nam (vì mỗi người nam là cha của nhiều nhất hai người con) và thế hệ trước nữa phải có
ít nhất hai nam (cha của 4 người nam nói trên)
Như vậy số người nam trong trường hợp này không ít hơn 6
+/ Nếu 7 người này thuộc vào hai thế hệ (thế hệ 3 và thế hệ 4) thì số người nam không ít hơn 5 (tự suy luận tương tự)
Vậy mô hình gia đình 4 thế hệ thỏa mãn yêu cầu của đề bài và có đúng 5 người nam (nút tròn chỉ con trai, nút vuông chỉ con gái)