và c ạnh bên tạo v ới m ặt phẳng đáy góc.[r]
Trang 11
M Ộ T S Ố TH Ủ THU Ậ T CƠ B Ả N LÀM NHANH
TR Ắ C NGHI ỆM MÔN TOÁN
Sưu t ầm – Biên so ạn l ại: Đoàn Công Chung
M ột số công th ức tính nhanh “ thư ờng gặp “ liên quan c ực trị hàm s ố y ax4 bx2 c
4
; ,
; ,)
;
0
(
2 2
4 2 4
b b
b b
b
a a
a a a
với b2 4ac
Gọi BAC , ta luôn có:
3 3
3
8
8
b a và
2
S
a
Phương trình đư ờng tròn đi qua A B C x, , : 2 y 2 c n x c n 0, với 2
4
n
b a
0
a : 1 cực tiểu
0
a : 1 cực đại
0
a : 1 cực đại,2 c ực tiểu
0
a : 2 cực đại,1 c ực tiểu
Tam giác
vuông cân
3
8a b 0 m? đ ể hàm s ố y x4 m 2015 x2 5có 3 cực trị
tạo thành tam giác vuông cân
Với a 1,b m 2015
Từ 8a b3 0 b3 8 m 2017 Tam giác đ ều 24a b3 0 m? đ ể hàm s ố 9 4 2
8
y x m x có 3 cực trị tạo thành tam giác đ ều
Với 9, 3 2017
8
Từ 24a b3 0 b3 27 m 2016
Trang 22
BAC 8 3.tan2 0
2
a b m? đ ể hàm s ố y 3x4 m 7 x2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có m ột góc 120 0
Với a 3,b m 7
Từ 8a 3b3 0 b 2 m 5
0
ABC
S S 3 2 5
0
32a S b 0 m? để hàm s ố y mx4 2x2 m 2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có di ện tích b ằng 1
Với a m b, 2
Từ 3 2 5 3
0
0
b S
a
m? để hàm s ố y x4 2 1 m x2 2 m 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có di ện tích lớn nhất
Với a 1,b 2 1 m 2
Từ 2 5
0
ABC
b r
b a
a
m? để hàm s ố 4 2 3
2
y x mx có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đư ờng tròn n ội ti ếp bằng 1
Với 1,
2
a b m T ừ r0 m 2
0
am b m? để hàm s ố y m x2 4 mx2 1 m có 3 cực trị mà
trong đó có BC 2
Với a m b2, m T ừ 2
am b m vì m 0
0
AB AC n 2 2 4
0
16a n b 8b 0 m? để hàm s ố y mx4 x2 m có 3 cực trị mà trong
đó có AC 0,25
Với a m b, 1
Từ 2 2 4
0
16a n b 8b 0 m 3 do m 0 ,
B C Ox b2 4ac 0 m? để hàm s ố y x4 mx2 1 có 3 cực trị tạo thành
tam giác có B C Ox,
Với a 1,b m c, 1
Từ b2 4ac 0 m 2 do m 0
Tam giác cân
tại A
Phương trình qua điểm cực trị :
4
BC y
a và
3 , :
2
b
AB AC y x c
a
Tam giác có 3
góc nhọn
3
8a b 0 m? để hàm s ố y x4 m2 6 x2 m 2 có 3 cực
trị tạo thành tam giác có 3 góc đều nh ọn
Với a 1,b (m2 6)
Trang 33
Từ 8a b3 0 b 2 2 m 2 Tam giác có
trọng tâm O
b ac m? để hàm s ố y x4 mx2 m có 3 cực trị tạo thành
tam giác nh ận gốc tọa độ O làm tr ọng tâm
Với a 1,b m c, m
Từ b2 6ac 0 m 6 do m 0
Tam giác có
trực tâm O
b a ac m? để hàm s ố y x4 mx2 m 2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có tr ực tâm O
Với a 1,b m c m, 2
Từ b3 8a 4ac 0 m 2 do m 0
0
ABC
0
8 8
b a R
a b
m? để hàm s ố y mx4 x2 2m 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác n ội ti ếp trong đư ờng tròn có bán kính
9 8
R
8
b a
a b do m 0
Tam giác
cùng O tạo
hình thoi
b ac m? để hàm s ố y 2x4 mx2 4 có 3 cực trị cùng gốc
tọa độ O lập thành hình thoi
Với a 2,b m c, 4
Từ b2 2ac 0 m 4 do m 0
Tam giác,
tâm O nội
tiếp
b a abc m? để hàm s ố y mx4 2x2 2 có 3 cực trị lập thành
tam giác có O là tâm đư ờng tròn n ội ti ếp
Với a m b, 2, c 2
Từ b3 8a 4abc 0 m 1 do m 0 Tam giác,
tâm O ngọai
tiếp
b a abc m? để hàm s ố y mx4 x2 2m 1 có 3 cực trị lập
tam giác có O là tâm đư ờng tròn ngo ại ti ếp
Với a m b, 1, c 2m 1
Từ b3 8a 8abc 0 m 0,25 do m 0
Tam giác
vuông cân
tại A
3 0
a b m? đ ể hàm s ố y x4 2 m 2016 x2 2016m 2017 có
3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Với a 1,b m 2016
Từ a b3 0 b 1 m 2017
Trang 4Tam giác
đều
3
3a b 0 m? đ ể hàm s ố y 9x4 2m 2020 x2 2017m 2016
có 3 cực trị tạo thành tam giác đ ều
Với a 9,b m 2020 T ừ
3
BAC 3.tan2 0
2
a b m? đ ể hàm s ố y 3x4 2m 2018 x2 2017 có 3 cực
trị tạo thành tam giác có m ột góc 120 0
Với a 3,b m 2018
Từ a b3.tan 602 0 0 b 1 m 2017 0
ABC
a S b m? đ ể hàm s ố y mx4 4x2 2017m 2016 có 3 cực trị
tạo thành tam giác có di ện tích b ằng 4 2
Với a m b, 2 T ừ 3 2 5
a S b m
0
ABC
0
1 2
a
b a
m? đ ể hàm s ố y mx4 2x2 2017m3 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính ngo ại ti ếp bằng 1
Với a m b, 1 T ừ 2
0
1
1 2
a
b a
0
ABC
b r
b a
a
m? đ ể hàm s ố y x4 2 m 5 x2 2016m3 2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính n ội ti ếp bằng 1
Với 1, 5, 0 1 2;1 7
4
m
a b m r b
m
Ti ệm cận: Tổng kho ảng cách t ừ điểm M trên đ ồ thị hàm s ố y ax b
cx d đến 2 tiệm cận đạt
2
mind 2 ad bc
c
Tương giao: Gi ả sử d y kx m cắt đồ thị hàm s ố : y ax b
cx d tại 2 điểm phân bi ệt M , N
V ới kx m ax b
cx d cho ta phương trình có d ạng:
Ax Bx C thỏa đi ều ki ện cx d 0,
có B2 4AC
2
2
1 ,
k
MN
A
OMN cân tại O
2
x x k km
OMN vuông t ại O
2 2
x x k x x km m
Trang 55
MN ngắn nhất khi t ồn tại
min , k const
Kh ối đa di ện: lo ại n p có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì , n M p D 2.C hoặc
12
V a
3
V a
Kh ối thập nh ị diện
(12 mặt) đ ều
4
a V
Kh ối nh ị thập di ện
(20 mặt) đ ều
12
a V
M ột số công th ức tính nhanh “ thư ờng gặp “ liên quan th ể tích kh ối chóp
Cho hình chóp SABC với các
mặt phẳng SAB , SBC ,
SAC vuông góc v ới nhau
từng đôi m ột, di ện tích các
tam giác SAB, SBC, SAC lần
lư ợt là S S S 1, ,2 3
.
2 S S 3
S ABC
S V
Cho hình chóp S.ABC với các m ặt phẳng
SAB SBC SAC vuông góc v ới nhau
từng đôi m ột, di ện tích các tam giác SAB,
SBC, SAC lần lư ợt là 15cm2,20cm2,18cm2 Th ể tích kh ối chóp là:
3
a
C 3 20 2
a
D 3 20 6
a
1 2 3 3
2
20 3
ABCD
S S S
Chọn đáp án A
C S
A
B
Trang 6Cho hình chóp S.ABC có SA
vuông góc v ới ABC , hai
mặt phẳng SAB và SBC
vuông góc v ới nhau,
,
Khi đó:
3
.
.sin 2 tan 12
S ABC
SB
V
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc v ới
mặt phẳng ABC , hai m ặt phẳng SAB
và SBC vuông góc v ới nhau, SB a 3,
45o
BSC , ASB 30o Th ể tích kh ối chóp
S.ABC là:
A. 3 3
8
a
B. 3 6
8
a
C. 3 2
2
a
6
a
3 3
.
S ABC
V
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp đ ều S.ABC có
đáy ABC là tam giác đ ều
cạnh bằng a, cạnh bên bằng b
Khi đó: . 2 3 2 2
12
S ABC
a b a V
Cho hình chóp đ ều S.ABC có đáy ABC là tam giác đ ều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a
Th ể tích kh ối chóp S.ABC là:
24
a
B. 3 2
12
a
C. 3 2
24
a
12
a
3 2 12
SABC
a
Cho hình chóp tam giác đ ều
S.ABC có cạnh đáy b ằng a và
mặt bên tạo v ới m ặt phẳng
đáy góc
Khi đó:
3
tan 24
S ABC
a V
Cho hình chóp tam giác đ ều S.ABC có cạnh đáy b ằng a và m ặt bên tạo với m ặt phẳng
đáy góc 600 Th ể tích kh ối chóp S.ABC là :
48
a B. 3
24
a
C. 3 3
24
a D. 3
12
a
SABC
Cho hình chóp tam giác đ ều
S.ABC có các cạnh bên bằng b
và c ạnh bên tạo v ới m ặt
phẳng đáy góc
Khi đó:
.
3 sin cos
4
S ABC
b
V
Cho hình chóp tam giác đ ều S.ABC có các cạnh bên bằng 2 và c ạnh bên tạo v ới m ặt
phẳng đáy góc 30 0
Th ể tích kh ối chóp S.ABC là :
A. 3 3
3
3 3
3 4
.
3 sin cos 3 3
S ABC
b
Chọn đáp án A.
B
C A
S
C A
S
B
M G
C A
S
B
M G
B
S
M G
Trang 77
Cho hình chóp tam giác đ ều
S.ABC có các cạnh đáy b ằng
a, cạnh bên tạo v ới m ặt
phẳng đáy góc
Khi đó:
3
.tan 12
S ABC
a V
Cho hình chóp tam giác đ ều S.ABC có các cạnh đáy b ằng a, m ặt bên tạo v ới m ặt
phẳng đáy góc 30 Th ể tích kh ối chóp 0
S.ABC là :
A. 3
48
a
B. 3
24
a
C. 3 3
24
a
36
a
SABC
Cho hình chóp t ứ giác đ ều
S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông c ạnh bằng a, và
Khi đó:
.
6
S ABC
a b a
V
Cho hình chóp t ứ giác đ ều S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông c ạnh bằng a, và
SA SB SC SD a Th ể tích kh ối chóp
S.ABCD là:
A. 3 6
6
a
B. 3 2
2
a
C. 3 2
6
a
3
a
Chọn đáp án C
Cho hình chóp t ứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy b ằng a,
góc tạo bởi m ặt bên và m ặt
phẳng đáy là
Khi đó:
3
.tan 6
S ABCD
a V
Cho hình chóp t ứ giác đ ều S.ABCD có cạnh đáy b ằng a, góc tạo bởi m ặt bên và m ặt
phẳng đáy là 45 Th ể tích kh ối chóp 0
S.ABCD là:
A. 3
12
a
B. 3 3
6
a
C. 3 6
2
a
D. 3
6
a
SABCD
Cho hình chóp t ứ giác đ ều
S.ABCD có cạnh đáy b ằng a,
SAB , v ới ;
4 2 Khi đó:
.
6
S ABCD
a
V
Cho hình chóp t ứ giác đ ều S.ABCD có cạnh đáy b ằng a, SAB 600 Th ể tích kh ối chóp
S.ABCD là:
12
a
B. 3 2
6
a
C. 3 6
2
a
D. 3
6
a
3 tan2 1 3 2
SABCD
V
Chọn đáp án B
Cho hình chóp t ứ giác đ ều
S.ABCD có các cạnh bên bằng
a, góc tạo bởi m ặt bên và m ặt
đáy là với 0;
2 Khi đó:
Cho hình chóp t ứ giác đ ều S.ABCD có các cạnh bên bằng 1, góc tạo bởi m ặt bên và
mặt đáy là 45 Th ể tích kh ối chóp S.ABCD 0
là:
A. 4 3
4 3
3 2
D. 4
27
B
S
M G
O B
S
C
M
O C
S
B
M
O C
A D
S
B M
O C
S
B
M
Trang 82
4 tan
3 2 tan
S ABCD
a
27
S ABCD
Cho hình chóp tam giác đ ều
S.ABC có cạnh đáy b ằng a
Gọi P là m ặt phẳng đi qua
A song song v ới BC và vuông
góc với SBC , góc gi ữa P
với m ặt phẳng đáy là
Khi đó:
3
cot 24
S ABCD
a V
Cho hình chóp tam giác đ ều S.ABC có cạnh đáy b ằng a Gọi P là m ặt phẳng đi qua A song song v ới BC và vuông góc v ới SBC , góc giữa P với m ặt phẳng đáy là 30 0
Th ể tích kh ối chóp S.ABC là:
A 3 3
24
a
8
a
C
3
8
a
D
3
3 8
a
3cot 300 3 3
SABC
Kh ối tám m ặt đều có đ ỉnh là
tâm các m ặt của hình l ập
phương c ạnh a
Khi đó: 3
6
a V
Kh ối tám m ặt đều có đ ỉnh là tâm các m ặt
của hình l ập phương c ạnh a có thể tích là:
A
3
12
a
4
a
C
3
6
a
D 3 3
2
a
Chọn đáp án C.
Cho kh ối tám m ặt đều cạnh
a N ối tâm c ủa các m ặt bên ta
đư ợc kh ối l ập phương
Khi đó: 2 3 2
27
a V
Cho kh ối tám m ặt đều cạnh a N ối tâm c ủa
các mặt bên ta đư ợc kh ối l ập phương có
thể tích bằng V Tỷ số a3
V gần nhất giá tr ị
nào trong các giá tr ị sau?
A. 9,5 B. 7,8 C. 15,6 D. 22,6
V
V
Chọn đáp án A.
x
N
C A
S
B
F
M G E
O1 O3 O4 O2
O
O'
C D
B' C' D'
A'
B
D
A
S
C
S'
N G2
M G1