Các bài toán bất đẳng thức côsi (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chứng minh rằng:.

BTVN NGÀY 15-03

Bất đẳng thức Côsi.

Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.

CMR: 3

x y z + x y z + x y z ≤

Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1

CMR:

y + z + x ≥

Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.

CMR: 2 4+ x + 2 4+ y + 2 4+ z ≥3 3

Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:

Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3

b c a

Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.

Tìm Min của: 1 1 1

=  + ÷ +  + ÷ +  + ÷

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG BTVN NGÀY 15-03

Bất đẳng thức Côsi.

Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.

CMR: 3

x y z + x y z + x y z ≤

Giải:

Ta có:

( ) ( )

1

1

2 4

VT







Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1

CMR:

y + z + x ≥

Giải:

Ta có:

2

2

1

1

x y

xyz

y VT x y z z

z x

 +

+ ≥ 

 +

+ ≥ 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.

CMR: 2 4+ x + 2 4+ y + 2 4+ z ≥3 3

Giải:

Đặt:

( )

(1)

1 18

4

, , 0

1 4

x y z

a

a b c

abc c

abc

 =

>



 =



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0

Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:

Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2

4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c

Giải:

3

ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.

Tìm Min của: 1 1 1

=  + ÷ +  + ÷ +  + ÷

Giải:

Ta có:

2 2 2

2 3

2 3

2 3

1 1

1 1 1 1 1 3 1

3 ( )

2 ( ) 2 2

xyz

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Sử dụng chiều biến thiên.

Bài 1 : Tìm Min, Max của:

2

2 3 2 2 12 2

xy A

=

Giải:

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

2

2 2

2

2

1

3 1 1 12

1 1 12 1

3 1 1 12

1

3

y

x

t A

t t

u

u

    

 ÷ + ÷ + +  ÷

  ÷   ÷

− +

 

= −



⇒ = ⇔ = ⇒ = ≤ 3) 16 ax 181 .

à : lim ( ) 0 0

u

M A

→∞

Bài 2 : Cho 3 số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1

Giải:

Đặt:

ó :

Qua BBT ta c

= + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −  





Bài 3 : Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4 Tìm Min của:

4 1

4

A

= +

Giải:

Ta có:

( )2 2

5 16

5

4 4 ( ) 4 (5 4 )

4

0

4 5

3

A

a

a

+ −

−

−

= < <

=





 = −

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4

Bài 4 : CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os

Giải:

Xét hàm số:

2

cos 1 2

x

' sin à '' 1 cos 0; ;

2

> ∀ ∈  ÷ 

Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0 Vậy ta có:

2

2

x

x > −

Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:

> − > − > −

2

18 144

3 3

A B C

+ +

⇒ >  + + ÷− + + ≥ −

+ +

−

= − = >

Bài 5 : Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:

S

Giải:

Ta có:

2 2

2

2

( ) ( ) 2 2

1 2 inS ( ) 6

S

S

 

⇒ = + < ⇒ 



BTVN NGÀY 19-03

Sử dụng các phương pháp khác.

Bài 1 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1 Chứng minh rằng:

P

Giải:

ì :

V

P

V

=

3 3

3

1

3 2

+ +

Bài 2 : Cho 3 số thực a,b,c tùy ý Chứng minh rằng:

Giải:

Đặt:

tan

tan (*) sin( ) sin( ) sin( )

tan

ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( )sin( ) sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )

a

b

c

α

γ

=





 =



 Điều phải chứng minh

Bài 3 : Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3 Chứng minh:

9 6 2

4

F ac bd cd = + − ≤ +

Giải:

Gọi:

Vì AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O

2

1

Bài 4 : Cho: a c≥ ≥0;b c≥ Chứng minh:

c a c ( − + ) c b c ( − ≤ ) ab

Giải:

Gọi:

, ,

r r r r

Bài 5 : Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1 Tìm Min của:

2 2 2

P

Giải:

Đặt

3

tan

2

2 1 tan 1 tan 1 tan 2

tan

2

ì : ó : t anA tan tan t anA.tan tan 3 t anA.tan tan

3 3

t anA tan tan t anA.tan tan 3 3

2

A x

B

C z

 =







 =



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A=B=C=600 hay 1

3

x= = =y z

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang