Đề thi và lời giải chi tiết kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng 1 và vòng 2 Môn Toán năm học 2018 - 2019 thành phố Hà Nội

[r]

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 12 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019

Thực hiện lời giải bởi: Vted.vn – Học toán online chất lượng cao

Câu II)

1) Giải phương trình cos x =1− x2.

2) Giải hệ phương trình

x2+ 3y2+ 2xy −6x −2y + 3= 0

x2− y +5 = 2x y + 3

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

Giải

1) Xét hàm số f (x) = x2+ cos x −1 có ′f (x) = 2x −sin x; ′′ f (x) = 2−cos x > 0,∀x do đó phương trình

′f (x)= 0 có tối đa một nghiệm, tức ′f (x) = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến ta có phương trình f (x) = 0 ⇔ cos x =1− x2 có nghiệm duy nhất x = 0.

2) Từ phương trình thứ nhất của hệ nhóm lại thành phương trình bậc hai ẩn x có

x2+ 2x( y −3)+ 3y2−2y + 3= 0.

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

0

+∞

Δ′x = ( y −3)2−(3y2−2y + 3) ≥ 0 ⇔ y2+ 2y −3≤ 0 ⇔ −3≤ y ≤1.

Khi đó viết lại phương trình thứ hai của hệ có: (x − y + 3)2= 2y −2.

Nhận thấy

VT ≥ 0;VP ≤ 0 ⇒VT =VP = 0 ⇔ x − y + 3 = 0

2 y−2 = 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2;1).

Câu III)

Cho dãy số (a n) thoả mãn

a1=1

2 và

2

a n2− a n+1,n=1,2,

1) Chứng minh rằng dãy số (a n) là dãy số giảm

2) Với mỗi số nguyên dương n, đặt b n = a1+ a2+ + a n Tính

n→+∞lim b n

Giải Rõ ràng a n> 0 với mọi n =1,2, và

a n+1

a n2− a n+1=

1

a n+ 1

a n−1

2 a n 1

a n −1

2−1=1.

Điều đó chứng tỏ dãy số (a n) là dãy số giảm

Ta có biến đổi đưa về sai phân:

2

a k2− a k+1⇔ a k+1−1= a k−1

a k2− a k+1⇔

1

a k+1−1= a k+ 1

a k+1−1−

1

a k−1.

Vậy

k=1

n

a k+1−1−

1

a k−1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟

k=1

n

a n+1−1−

1

a1−1=

1

a n+1−1+ 2.

Vậy

lim

n→+∞ b n= lim

n→+∞

1

a n+1−1+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟= lim 1

n→+∞ a n+1−1+ 2 =

1 0−1+ 2 =1. Chú ý n→+∞lim a n= 0

Câu IV)

Theo quy tắc hình hộp có

A ′ C

! "!!

= AB! "!!+ AD! "!!+ A ′! "!!A

⇔ A ′ C

! "!!

! "!!

! "!!

+ A ′ A

! "!!

! "!!

! "!!

! "!!

! "!!

Mặt khác do bốn điểm M , N , P,Q đồng phẳng nên

3

AP.

Mặt khác

1

AP

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

> 1

AH.

Do đó

3

AQ> 1

AH ⇔ AQ < 3AH.

Chú ý khối tứ diện vuông AMNP có

1

AP2

Câu V)

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a2+ b2+ c2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a + b+ c−4abc.

Giải Vì tính đối xứng của a,b,c nên ta có thể giả sử

c = max a,b,c{ }⇒1= a2+ b2+ c2≤ 3c2⇒ c ∈ 1

3;1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥.

Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz có:

P = a + b+ c−4abc = c(1−4ab)+ a + b

≤ c( 2+ (a + b)2) ((1−4ab)2+12)= (1+ 2ab)(16a2b2−8ab+ 2)

Đặt

t = ab ≤ a2+ b2

1 3

3⇒ 0 ≤ t ≤1

3. Khi đó

P ≤ f (t) = (1+ 2t)(16t2−8t + 2) ≤ max

0;1 3

⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥

f (t) = f (0) = 2. Vậy giá trị lớn nhất bằng 2. Dấu

bằng đạt tại chẳng hạn

a = 0,b = c = 1

2.