TỌA ĐỘ HÓA HÌNH KHÔNG GIAN (STRONG) - FULL ĐÁP ÁN CHI TIẾT - Sách Toán - Học toán

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng.. Lời giải.[r]

Trang 1

TỌA ĐỘ HÓA – LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Góc giữa mặt bên (SBC với mặt phẳng đáy bằng 45 Gọi ) M N lần lượt là trung điểm của AB và ,

SB Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và CN

A 3

213

Gọi  là giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD 

Do SAB vuông cân tại Anên SA a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) sao cho A O (0;0;0),D a ;0;0 B0; ;0 ;a  S 0;0;a

CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC

TỌA ĐỘ HÓA HÌNH KHÔNG GIAN (STRONG) - FULL ĐÁP ÁN CHI TIẾT

LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 Tham gia Group 8+ Free:https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/

Trang 2

Ta có MD//CNE nên d MD CN , d MD CNE ,  d M CNE ,  

Gọi I là hình chiếu của M lên CE và H là hình chiếu của M lên NI

Suy ra MHCNE hay d MD CN , d M CNE ,  MH

Gọi  là giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD 

Do  SAB vuông cân tại Anên SAa

Trang 3

AH HC    a AC nên tam giác AHC vuông tại H , tức là AH HC

Chọn a  và chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) sao cho 1 OH0;0;0, 3; 0; 0

2

C 

 ,

30; ; 0

A

C

D

Trang 4

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a, cạnh bên SA10a và vuông góc với

mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và

Chuẩn hóa với a 1

Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sau:

(5;0;0) A≡O

M

C D

B S

Trang 5

Dựng hình bình hành SADS' Khi đó (SBC)(AMC)S C

Dựng AH SB tại H và HK BC// (KS C )

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng AMC và SBC

Khi đó ta có (AHK)S C  HKA

 

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều Hình chiếu của S lên mặt

phẳng ABCD trùng với trung điểm I của AB Gọi H K lần lượt là trung điểm của DC và SB , ,

K

Trang 6

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với

đáy, ABa AD, 2 ,a SA3a Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A lên SB SD, và

P là giao điểm của SC với mặt phẳng AMN Tính thể tích khối chóp S AMPN

A

31869

140

a

355891820

a

3181120

a

318631820

S z

x

y

Trang 7

SB SB b

SD SD d

SN SA

y z

x

C B

Trang 8

Ta có 14

9

a c  b d c

3

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2,SA vuông góc với mặt phẳng đáy

ABCD và SA2 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC Thể tích khối chóp S AMCN đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Lời giải Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên sao cho A0;0;0, B2;0;0, D0;2;0, S0;0; 2, suy

Trang 9

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp S AMCN là 8 3 8

3



Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, ABBCa, AD2a; cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, CD Tính cosin của góc giữa MN và SAC

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với OA

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có  ABC vuông tại B, AB1,BC  3,  SAC đều, mặt phẳng SACvuông

với đáy Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC Giá trị của cos bằng

B

C S

Trang 10

Gọi H M N, , lần lượt là trung điểm của AC AB BC, ,

SAC  ABCSHABCSH  HM SH, HN

Trang 11

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có các cạnh bằng 2 , gọi điểm M là tâm của mặt bên ABB A  ,

các điểm N P Q K, , , lần lượt là trung điểm của các cạnh AC DD D C B C, ,  ,   Tính cosine góc giữa hai mặt phẳng MNP và  AQK 

S

E

Trang 12

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc A O cạnh A B  nằm trên Ox , cạnh A D  nằm trên Oy và cạnh

A A  nằm trên Oz Từ các dữ kiện đề bài đã cho ta tìm được tọa độ các điểm

1; 0;1 , 1;1; 2 , 0; 2;1 , 2;1; 0 , 1; 2; 0 , 0; 0; 2

Ta có MN0;1;1 , NP  1;1; 1 ,  AK2;1; 2 ,  AQ1; 2; 2 

Gọi u u 1, 2

lần lượt là 2 vector pháp tuyến của mặt phẳng MNP và AQK Như vậy ta tính được u1 2; 1;1 , u22; 2;3

Ta gọi góc giữa hai mặt phẳng MNP và AQK là 

Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng vuông góc với mặt phẳng

đáy và là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh và sao cho ,

Tìm giá trị của để hai mặt phẳng và tạo với nhau một góc bằng

Lời giải Chọn A

B

D A

Trang 13

Gọi là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng thì

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , khi đó

Trang 14

Câu 11: Trong không gian, cho tam giác cân ở có Điểm di động trên

tia vuông góc , gọi là trực tâm của tam giác Khi di động trên tia thì luôn thuộc một đường tròn cố định Bán kính của đường tròn đó bằng:

Chọn hệ trục tọa độ có gốc , tia trùng tia , tia nằm trong mặt phẳng sao cho tia nằm giữa hai tia như hình vẽ Khi đó và

32

Trang 15

Giả sử Dễ thấy tam giác cân tại Gọi là trung điểm của Ta có mặt phẳng vuông góc với và là mặt phẳng cố định

Gọi là trực tâm tam giác , do , và cùng nằm trong mặt phẳng

Do đó thuộc mặt cầu đường kính và thuộc mặt phẳng cố định Vậy

luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính

x y

R 

N

K

E O

A

B

C

M H

Trang 16



Vậy bán kính của đường tròn đường kính là

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , góc

Thể tích khối chóp S ABCD là Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Hãy tính

khoảng cách h từ tới mặt phẳng theo

a

M

5719

C

Trang 17

Cách 2: Phương pháp tọa độ

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a  1

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Khi đó ta có

Câu 13: Cho tam giác vuông tại và đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng tại điểm Các

điểm thay đổi trên đường thẳng  sao cho Biết Giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện theo và bằng

Lời giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ sao cho , các tia lần lượt trùng với các tia

,

193

3 14

ABb AC c AM m b c,

Trang 18

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy VMNBC nhỏ nhất khi nằm về hai phía của và

Khi đó giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện bằng

b c

b c

Trang 19

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm Gọi và lần

lượt là trung điểm của hai cạnh và Biết , tính sin của góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

AHBC BC(MHN) HMN

2 2 2

b c





33

5

Trang 20

Gọi hình chiếu của lên , suy ra là trung điểm của

D  

2

; 0; 02

A 

140; 0;

72

Trang 21

TỌA ĐỘ HÓA – LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Gọi và lần lượt là trung điểm

các cạnh và ; là giao điểm của và Biết vuông góc với mặt phẳng

và Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo

N

M B

C S

Trang 22

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau Gọi lần lượt là trung

điểm các cạnh là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng Tính

Gọi Vì hình chóp tứ giác là hình chóp đều nên

Đặt Vậy và đáy của hình chóp là hình vuông có cạnh bằng

Do giả thiết hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên

nên mặt phẳng nhận là một vectơ pháp tuyến

Đường thẳng nhận là một vectơ chỉ phương

Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng

Trang 23

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ , tia chứa , tia chứa , tia chứa

a

A 

20; ; 02

Trang 24

Do đó khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm Gọi là điểm đối xứng

với qua trung điểm của , là trung điểm của , là trung điểm của Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Đặt và gọi là trung điểm của

2

h

ah h

Trang 25

Câu 19: Cho hình lăng trụ có là tứ diện đều cạnh Gọi , lần lượt là trung điểm

của và Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng và

Lời giải Chọn C

Không mất tính tổng quát ta chọn

Gọi là trung điểm của Gọi là tâm của

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

3 24

2 25

4 213

z

y

x

H M N

A 

1

; 0; 02

B 

30; ; 02

C 

ABC n 1 0; 0;1

30; ;06

H 

63

Trang 26

, có vtpt

Đặt

( do góc nhọn)

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại và ,

Gọi là góc của hai mặt phẳng và sao cho Khi đó thể tích của khối chóp

là

Vì Hình chiếu của lên trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp là (với là đỉnh của hình thoi )

3312

2a

33

Trang 27

là vecto pháp tuyến của

Câu 21: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , tam giác và tam

giác lần lượt vuông tại , Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

12

13

Trang 28

Vậy

Câu 22: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng Gọi lần lượt là các điểm

72857

24153

40257

Trang 29

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng là , chọn vectơ chỉ phương của đường

Gọi là hình chiếu của trên , ta suy ra là trọng tâm tam giác

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với trùng với gốc tọa độ, khi đó ta được:

Trang 30

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, Hai mặt

phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng Gọi lần lượt là trung điểm của và Tính cosin góc giữa và , biết thể tích khối chóp bằng

Lời giải Chọn C

a

510

3 31020

31020

3 510

Trang 31

Trang 32

;

Xét tam giác vuông tại P:

lần lượt là đường trung bình của tam giác

là đường trung bình của tam giác

Xét tam giác vuông tại H:

Suy ra: tam giác vuông tại là hình chiếu vuông góc của lên

góc giữa và là góc

Khi đó:

Xét tam giác vuông tại :

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , Các mặt bên

, , cùng tạo với đáy một góc Biết chân đường vuông góc hạ từ xuống mặt phẳng nằm ở miền trong tam giác Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng và

là Tính

a KC

Trang 33

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Gọi lần lượt là hình chiếu của trên , và Ta có góc giữa và là góc Tương tự ta có

Do đó

Mà nằm ở miền trong tam giác nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác , khi đó

Tam giác vuông cân tại nên

Chọn hệ trục Đề-các vuông góc như hình vẽ Khi đó ta tìm được tọa độ các điểm như sau

3 42

2

ABC ABC

Trang 34

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

là điểm thuộc cạnh sao cho Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại , trục hoành là , trục tung là , trục cao là (xem hình vẽ)

a

A  

210; ;

Trang 35

TỌA ĐỘ HÓA – LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng có , góc , góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng bằng Gọi , lần lượt là trung điểm của và Cosin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng

Gọi là trung điểm

Lại có lần lượt là trung điểm của và

134

34

z

y x

N M

Trang 36

Ta có , có một VTPT

Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh và các mặt bên đều là

các hình vuông cạnh Gọi là trọng tâm của tam giác và là trung điểm của đoạn thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục nằm trong mặt phẳng

và vuông góc với trục Khi đó gọi lần lượt là hình chiếu của lên các trục khi đó

Trang 37

Vậy

Câu 29: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh Góc giữa

mặt phẳng và mặt phẳng bằng Tính thể tích của khối lăng trụ

?

a

V 

3 3.2

Trang 38

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, với và góc

, cạnh bên Gọi là trung điểm của Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

3311

1010

3010

4

a a

34

a a

a

B A MA  a 

2

134

a

B M

Trang 39

Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng và

Ta có là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

MB A

S   AB AM 1 2 5

a a



2 104

a



1

.sin2

Trang 40

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là

Chọn véc tơ pháp tuyến là

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , và có cạnh bên

bằng Gọi lần lượt là trung điểm Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm trùng với gốc tọa độ, điểm nằm trên trục , điểmnằm trên trục , điểm nằm trên trục Ta có:

Do lần lượt là trung điểm

Suy ra : là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

1(x0) 1( y0) 1( z2 )a     0 x y z 2a0

Trang 41

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân tại , , , góc giữa

và bằng Gọi là trung điểm và là trung điểm Tính khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng

Lờigiải Chọn A

Gọi lần lượt là là trung điểm cạnh và Từ giả thiết ta có:

Mặt khác: đôi một vuông góc nhau Chọn hệ trục như hình vẽ có

Trang 42

Khoảng cách từ M đến là:

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng có , góc bằng , Gọi , N lần

lượt là trung điểm và Khoảng cách giữa 2 đường thẳng và là

Gọi là trung điểm Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

Vì tam giác cân tại có là đường trung tuyến nên tại hay 3 cạnh ,

và đôi một vuông góc với nhau Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm , điểm

và điểm Khi đó ta có tọa độ các điểm như sau: , ,

ABC A B C   ABACa BAC 120 AA a M

32

Trang 43

Suy ra:

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có:

Câu 34: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh và vuông góc với mặt phẳng

Gọi là trung điểm của , di động trên cạnh Giá trị lớn nhất của diện tích

là

+ Chọn hệ trục tọa độ sao cho ; ;

4,

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	1,58 MB