Ôn tập phép đổi cận đổi biến trong tích phân - Sách Toán - Học toán

Dưới đây xin trình bày kỹ thuật đổi biến số không làm thay đổi cận tích phân với một số bài toán tích phân hàm lượng giác cũng như tích phân các hàm số khác khi mà ta khó áp dụng cách tí[r]

g Thầy Nguyễn Đăng Ái ÔN TẬP TÍCH PHÂN ĐỀ 01

d ĐỔI CẬN ĐỔI BIẾN VÀ BÀI TẬP TỔNG ÔN c

LATEX bởi Tư Duy MởĐược sử dụng P trong khi làm bài

h Group. Cộng đồng tư duy mở toán lý.

v Youtube Tư Duy Mở

Họ và tên Trường

1 Phương pháp đổi cận đổi biến.

Dưới đây xin trình bày kỹ thuật đổi biến số không làm thay đổi cận tích phân với một số bài toán tíchphân hàm lượng giác cũng như tích phân các hàm số khác khi mà ta khó áp dụng cách tính tích phân thôngthường Đảm bảo khi đọc phương pháp này các bạn sẽ không cần phải để ý tới các dạng tích phân đặc biệt

1.1 Các bài toán liên quan tới hàm chẵn, hàm lẻ

Tính chất 1 Nếu f (x) là hàm chẵn f (x) = f (−x) tức là đồ thị sẽ đối xứng qua Oy thì ta có

Ta có chú ý Xét hàm f (x) liên tục và xác định trên tập D, khi đó

• Nếu f (x) là hàm chẵn thì f0(x) là hàm lẻ

• Nếu f (x) là hàm lẻ thì f0(x) là hàm chẵn

7 Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

4 cos xf (x) + 4f (|x|) = (cos x + 1) x2+ sin2x cos x

Tính giá trị của biểu thức tích phân

3π 4

Z

− 3π 4

2√c, điều phải chứng minh.

Mở rộng 1 Hàm số f (x) liên tục trên [0; 1], khi đó ta có

π 2

Z

0

f (sin x) dx =

π 2

Z

0

sinnxsinnx + cosnxdx

2 Tính tích phân I =

π 2

Z

0

cos3xsin x + cos xdx

3 Tính tích phân I =

π 2

Z

0

1cos2(sin x)− tan

2(cos x)

dx

4 Tính tích phân I =

π 2

Z

0

(sin x)ncos x(sin x)n−1+ (cos x)n−1dx

9 Cho hàm số f (x) liên tục trên [0; 2] thỏa mãn f (x) = f (2 − x) ,

Z

− 3π 2

√sin 7x(cos x)9dx

Chú ý Từ tính chất này ta suy ra được kết quả sau.

Nếu hàm số f (x) liên tục trên [0; 1], thì

Yêu cầu Chứng minh hệ quả này

Bài tập tính chất 1 đến tính chất 5 Tính các tích phân sau

2(sin x)

dx

1.2 Các bài toán liên quan tới hàm tuần hoàn

Định nghĩa Nếu f (x) là hàm tuần hoàn chu kì T , f (x + T ) = f (x) thì ta có

0

h(tan 2x)2007+ (sin 6x)2009

idx

1.3 Các bài toán biến đổi nâng cao

Bài 1 [Đề minh họa THPT Quốc Gia 2020] Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn

13

= −134

Bài 2 Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0, 2] Biết f (0) = 1 và thỏa mãn

Lời giải Cách làm tổng quát cho dạng này như sau

Từ giả thiết ta suy ra f (0) f (2) = 1 ⇒ f (2) = 1

Bài toán được giải quyết.

2 Các bài toán trắc nghiệm tổng hợp.

L Câu 1. Giả sử F (x) = x2là một nguyên hàm của f (x) sin2x và G (x) là một nguyên hàm của f (x) cos2xtrên khoảng (0; π) Biết rằng G

π2



= 0, G

π4

π 4

f (x) cos2xdx = G (x)|

π 2 π 4

= Gπ2



− Gπ4



Z

π 4

f (x) 1 − sin2x
dx =

π 2

Z

π 4

f (x) dx −

π 2

Z

π 4

2

π 2 π 4

=

π 2

Z

π 4

2xsin2xdx −

 π2

4 −

π216



=

π 2

Z

π 4

2xsin2xdx −

3π216

+ 2

π 2

Z

π 4

cot xdx = −2x cot x|

π 2 π 4

+ 2 ln |sin x||

π 2 π 4

2 1

= 2 ln 2 − ln e2+ 6
+ ln(e + 2)

= a ln 2 + b ln e2+ 6
+ c ln(e + 2)Vậy ta tính được a + b + c = 2

4 1

= 4

2020− 1

24040− 116160

0

f (sin x)dx =

π 2

Z

0

(sin x − cos x)2020sin xdx =

π 2

Z

0

(sin x − cos x)2020sin xdx +

π 2

Z

0

(sin x − cos x)2020(sin x + cos x)dx

Đến đây ta được dạng toán biến đổi để đưa vào trong dấu vi phân đơn giản, ta được

2I =

π 2

1

Z

0

2x(x2+ 1)2dx −

1

Z

0

2x(x2+ 1)3dxBây giờ ta lần lượt có các kết quả sau

1

Z

0

d x2+ 1
(x2+ 1)2 = −

1

x2+ 1

1 0

= 12

1

Z

0

2x(x2+ 1)3dx =

1

Z

0

d x2+ 1
(x2+ 1)3 = −

12(x2+ 1)2

1

0

= 38

dtcos2t, từ đây ta suy ra được

π 4



π 4

0

= 12

 π

4 −

12



= π

8 −14

x8 − 1

x11

!

dx = ab

3

√

c, với a, b, c nguyên dương, a

b tối giản và c < a.Tính S = a + b + c?

3

q

7 4

0

= 2132

3

√14

L Câu 8. Cho I =

√ 3

Z

0

dx(x2+ 1)√x2+ 1 + x + 1

= aπ + b ln 2 + c ln 3

6 với a, b, c là các số nguyên Tínhgiá trị của biểu thức a + b + c

Z

π 2

dusin2u(cot2u + 1)√cot2u + 1 + cot u + 1

 =

π 2

Z

π 6

dusin2u 1

sin2u

1sin u +

cos usin u + 1



=

π 2

Z

π 6

sin usin u + cos u + 1du =

π 2

Z

π 6

2 sinu

2 cos

u2

du =

π 2

Z

π 6

sinu2sinu

2 + cos

u2du

= 12

π 2

Z

π 6

2 + cos

u2

du = 12

π 2

Z

π 6

2 + cos

u2



du

= u2

π 2 π 6

− ln sinu

2 + cos

u2

π 2 π 6

= 14



4 3

1 + x√xdx =

Z

x2p

1 + x√xdx +

xp

1 + x√xdx

1 Xét tích phân I1 =

Z

x2p

q

1 + x√x

3

−43q

1 + x√x + C1

Z d (1 + x x)

1 + x√x =

43

q

1 + x√x + C2Vậy tóm lại ta được

L Câu 13. Cho đồ thị hàm số là nguyên hàm của f (x) có dạng F (x) = ax3+ bx2+ 5x + d Tính diện tíchtạo bởi f (x) và trục hoành?

xy

−

√102

2(x + 1) (x − 1) (x − 1)

dx = 25324

Đặt t =px2+ 5 − x ⇒ dt =

x

⇒ dt = − 2t

2

t2+ 5dx ⇒ dx = −

t2+ 52t2 dt = −1



Do đó f (x) = ex.1

x2, suy ra I =

Z ln 3 1

x2f (x) dx =

Z ln 3 1

f0(x)f0(x) − cos x cos22x = 4 − 2 cos (π − x) cos22x

⇔ [f0(x)]2− f0(x) cos x cos22x = 4 + 2 cos x cos22x

⇔ [f0(x)]2− 4 − f0(x) cos x cos22x − 2 cos x cos22x = 0

f0(x) = 2 + cos x cos22x (tm) (vì hàm số đồng biến trên R)

Với f0(x) = 2 + cos x cos22x = 2 + cos x.1 + cos 4x

sin 5x

sin 3x12



π 0

 0

2 1

L Câu 22. Cho một vật chuyển động thẳng với đồ thị biểu diễn vận tốc trong 16s như hình vẽ Đoạn AB

là đường thẳng, đoạn BCD là một nửa cung tròn, đoạn DEF là một phần parabol Quãng đường vật điđược trong 15s đầu tiên tương ứng bằng?

15G

Có vận tốc ban đầu bằng 0, suy ra C = 0 ⇒ v1 = t2+ t (m/s).

Quãng đường vật thứ nhất đi được

+ C ⇒ Fn(x) = n

1 − n2

1

xn−1 − 1

n+1 n

+ C

2n−1 − 1

n+1 n

L Câu 25. Biết luôn có hai số a và b để F (x) = ax + b

x + 4, (4a − b 6= 0) là nguyên hàm của hàm số f (x) vàthỏa mãn điều kiện 2f2(x) = [F (x) − 1] f0(x) Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

⇔ 4a − b = − (ax + b − x − 4)

⇔ (x + 4) (1 − a) = 0

⇔ a = 1, do x + 4 6= 0Với a = 1 mà 4a − b 6= 0 nên b 6= 4

x

x + 1

+ 2g

12x + 2

Lấy (3) trừ đi (1), được g (1 − x) = 2 − x ⇒ g (x) = x + 1

Thay vào (1) được f (2x − 1) + 2 − x = x + 1 ⇒ f (2x − 1) = 2x − 1 ⇒ f (x) = x, từ đây suy ra

, ∀x ∈ R

Tính giá trị của tích phân

d



x2+ 4x

13

+ 32



d 2x + 103

CÁC KHÓA HỌC KHÁC DÀNH CHO 2K2-2K3 TẠI TƯ DUY MỞ

Tư duy mở luôn tự tin dẫn đầu về chất lượng với sự dẫn dắt của thầy Nguyễn Đăng Ái - một người thầy dàydặn kinh nghiệm với các bài giảng vô cùng hay Bên cạnh đó Tư Duy Mở cũng cung cấp tới các em những khóahọc toàn diện hướng tới kì thi THPT Quốc Gia

1 IM2C - Công phá hàm số thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7462532e2ca7d57b0c

[1] Các đề do Tư Duy Mở sáng tạo.

[2] Các đề thi thử trên cả nước

1 IM2C - Công phá hàm số hệ C Tham khảo

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7462532e2ca7d57b0c...

0

(sin x − cos x)2020(sin x + cos x)dx

Đến ta dạng toán biến đổi để đưa vào dấu vi phân đơn giản, ta

2I =

π 2

1...

d 2x + 103

CÁC KHÓA HỌC KHÁC DÀNH CHO 2K 2-2 K3 TẠI TƯ DUY MỞ

Tư mở tự tin dẫn đầu chất lượng với dẫn dắt thầy Nguyễn Đăng Ái - người thầy dàydặn kinh nghiệm với