M là điểm trên đường chéo BD... M là điểm trên đường chéo BD.[r]
Trang 1UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Cho:
2
2
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b) Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình: x2+4 x+6
x2 +16 x +72
x2 +8 x +20
x2
+12 x +42
x +6
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD
a) Chứng minh DE CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1,5 điểm)
Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:
x2 4y2 282 17x4 y4 14y2 49
Trang 2UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCSNĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Cho:
2
2
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b.)Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
a) A= 1
x − 2+
x2− x − 2
(x −5)(x − 2) −
2 x −4
x − 5 Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x
≠2
0,25
( 5)( 2) ( 5)( 2)
A
x − 2
¿
(x −5)¿
A= −(x − 5)( x −3)¿
0,25
1
x A
A nguyên khi và chỉ khi
1 2
x nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
x=3, hoặc x=1
0,25
b) Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25 = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 - (a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab - (a+b)2(a2+b2)]
0,25
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab - (a+b)2] = 0
a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
Bài 2: (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1
(1)
Đặt vế trái của (1) là A, vế phải của (1) B
Xét hiệu:
A B
0.5
Trang 3Khi đó (b a a c )( ) 0; ( c b b a )( ) 0 và c3 b3 abc c 3 abc b 3
( )( ) ( )( )
A B
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
0
vì (c b )20; (b a a c )( ) 0 Vậy (1) được chứng minh
0.25
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình: x2+4 x+6
x2+16 x +72
x2+8 x +20
x2+12 x +42
x +6
Điều kiện: x2;x4;x6;x8
PT đã cho
x+2¿2+2
¿
x +8¿2+ 8
¿
x+4¿2+ 4
¿
x +6¿2+6
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
x+2+ 2
x +2+x +8+
8
x +8=x +4 +
4
x+4+x+6+
6
x +2+
8
x +8=
4
x +4+
6
1
x +2+
4
x +8=
2
x +4+
3
x+6
5 x +16
(x+2)(x +8)=
5 x+24
(x +4 )(x+6)
0,25
(5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
(5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
8x2 + 40x = 0
0,25
8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
0,25
Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc
với AB và MF vuông góc với AD
a)Chứng minh DE CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
a) Chứng minh DE CF; EF = CM
Trang 4DF = AE DFC = AED 0,25
ADE DCF
EDC DCF EDC ADE 0,25
EDC ADE = 900nên DE CF 0,25
MC = MA
(BD là trung trực của AC) 0,25
MA = FE nên EF = CM 0,25
F
1
1
2
1O
E
C D
M
0.25 b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
MCF =FED (DF = MF; DE = FC; MC = FE) MCF FED 0,25
(Vì CF DE chứng minh phần a) 0,25
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui 0,25 c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
ME + MF = FA + FD là số không đổi
Bài 5: (1,5 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:
x2 4y2 282 17x4 y4 14y2 49
Ta biến đổi PT như sau: x2 4(y2 7)2 17x4 (y2 7) 2
4 8 ( 2 2 7) 16( 2 7) 2 17 4 17( 2 7) 2
0.25
16x 8 (x y 7) (y 7) 0
2
Ta thấy: 4x2 y2 7 0
(2x y)(2x y) 7 (1)
Vì x y , nên 2x y 2x y và 2x y 0 0.25
Do đó từ (1)
Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là (x; y) = (2; 3)
0.25