c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Bài 5. Chứng minh EN song song với DM.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 – 2015 Môn: Toán – Lớp 7
(Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề) Bài 1 (1,5 điểm)
a) Cho A =
So sánh A với
1 2015
b) Cho biểu thức A =
x x x
x x x
Tính giá trị của biểu thức với x =
1 3
Bài 2 (1,5 điểm)
Tìm x, biết:
a)
x
x
b) x – 3 x = 0 với x 0 c)
2x 7 5x 2
Bài 3 (1,5 điểm)
a) Cho 4 7 5; 6
x y y z
Tính: B =
2 5
x y z
x y z
b) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là: 26; 17 1 ; 3 11
Bài 4 (1,5 điểm)
Cho biểu thức: C =
2 2
x x
a) Chứng tỏ rằng với mọi x, biểu thức C luôn có giá trị là một số dương
b) Tìm tất cả các số nguyên x, để C có giá trị là một số nguyên
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có A 900 Vẽ phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc AB) chúng cắt nhau tại O
a) Tính số đo góc BOC?
b) Trên BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA, CN = CA Chứng minh
EN song song với DM
c) Gọi I là giao điểm của BD và AN Chứng minh: tam giác AIM vuông cân
Bài 6 (1,0 điểm)
a) Xác định đa thức P(x) có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 và nhận hai số 0; - 3 làm nghiệm
b) Cho đa thức f(x), biết với mọi x ta có: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) Chứng minh rằng đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm
-Hết -Họ và tên thí sinh:……….…Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị số 1:……….………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 7
Bài 1
a) A =
1 2 3 2014 2015 1
2 3 4 2015 2016 2016
>
1 2015
0,75đ
1,5đ
b) x =
1
3 3x = 1 3x – 1 = 0
A =
2 3
3 1 3 1 2014
3 1 3 1 2015
Vì 3x – 1 = 0, nên A =
2014 2015
0,75đ
Bài 2
a) 81(x – 1)2 = 16
2
x x
hoặc x – 1=
4 9
+) x – 1 =
4
9 x =
13 9 +) x – 1 =
0,5đ
1,5đ
b) x x 3 0 x 0
c) 2x – 7 = 5x + 2 hoặc 2x – 7 = -5x – 2
x = -3 hoặc x =
5 7
0,5đ
Bài 3
a) 20 35 42
x y z
k
x = 20k, y = 35k, z = 42k
B =
3.20 4.35 5.42 130 13
20 2.35 5.42 160 16
0,75đ
1,5đ
b) 3 11 99 là số lớn nhất trong ba số
Xét tổng:
26 17 1 25 16 1 5 4 1 10 100 99 3 11
Đoạn thẳng dài nhất nhỏ hơn tổng độ dài hai đoạn thẳng kia
Vậy, tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh nói trên
0,75đ
Bài 4 a) Ta thấy: 2(x – 1)2 + 1 > 0 và (x – 1)2 + 2 > 0 với mọi x
1,5đ
b) C =
2
2
x
Để C nguyên, ta phải có (x – 1)2 + 2 là ước dương của 3
Vì (x – 1)2 + 2 2, nên (x – 1)2 + 2 = 3 (x – 1)2 = 1
Ta tìm được x = 2 hoặc x = 0
0,5đ
Trang 3c) C nhỏ nhất khi 2
3
x lớn nhất
Vì (x – 1)2 + 2 2 nên 2
3
x
3 2
2 – 2
3
x 2 –
3
2 Hay C
1 3 Vậy, C nhỏ nhất bằng
1
3 tại x = 1
0,5đ
Bài 5
a)
2
ABC ACB BOC BAC
0
2
1,0đ
3,0đ
b) ABM cân, nên phân giác BD đồng thời là đường trung
trực
ACN cân, nên phân giác CE đồng thời là đường trung trực
Suy ra: DA = DM, EA = EN
Dẫn tới: ABD = MBD, ACE = NCE (ccc)
Suy ra: DMB DAB 90 ;0 ENCEAC900
Hay: EN BC; DM BC
Do vậy: EN // DM
1,0đ
c) Phân giác BD và phân giác CE cắt nhau tại O cho ta AO
là phân giác góc BAC OAE 450
OAE = ONE (ccc) OAE OAE 450
ONM 450 (1)
Theo c/m câu b ta thấy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AMN OM = ON hay OMN cân tại O (2)
Từ (1)(2) OMN vuông cân tại O
Dễ chứng minh MON 2MAI 2MAI 900 MAI 450
AIM có IA = IM (do I thuộc trung trực BD của AM) nên
cân tại I Lại có MAI 450 Vậy, AIM vuông cân tại I
1,0đ
Bài 6 a) P(x) = x2 + ax + b
Vì 0 là một nghiệm của đa thức, nên: f(0) = b = 0
-3 là một nghiệm của đa thức, nên: 9 – 3a + 0 = 0 a = 3
Đa thức P(x) = x2 + 3x là đa thức cần tìm
0,5đ
1,0đ
b) Với x = 0, ta có: 0.f(1) = 2.f(0) f(0) = 0 0 là một
nghiệm của f(x)
0,5đ
I O
D E
B
A
Trang 4Với x = - 2, ta có: -2.f(-1) = 0.f(-2) f(-1) = 0 -1 cũng là
một nghiệm của f(x)
Vậy, đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm
Người biên soạn Nguyễn Thị Hằng Hải