Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.. Trên tia HC lấy điểm.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN 8 (Thời gian: 150 phút)
Bài 1 (2,0đ) Giải các phương trình sau:
a)
x 214 x 132 x 54
6
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: A = ab c 3
c b
c a
b a
c b a
x y z
a b c và 0
a b c
x y z
Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
Bài 3 (1,0đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên
4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó
Bài 4 (3,0đ).
Cho ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE
theo m = AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh:
D
GB H
BC AH HC
Bài 5 (1,0đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
2010x 2680 A
Bài 6 (1,0đ)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Trang 2ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 8 Bài 1 (2,0đ) Giải các phương trình sau:
x 214 x 132 x 54
x 300 x 300 x 300
0
86 84 82
x 300
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ : x 4;x 5;x 6;x 7
Phương trình trở thành :
(x 4)(x 5) ( x 5)(x 6) ( x 6)(x 7) 18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
1 7
1 4
1
x
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: A = ab c 3
c b
c a
b a
c b a
Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Trang 3Từ đó suy ra a= 2 ; 2 ; 2
y x c z x b z
) ( ) ( ) (
2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
Từ đó suy ra A 2(2 2 2)
1
hay A 3
x y z
a b c và 0
a b c
x y z Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
Từ :
ayz+bxz+cxy
a b c
x y z xyz
ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
2
x y z x y z
a b c a b c
2 2 2
2 2 2 2.( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
2 2 2
x y z cxy bxz ayz
2 2 2
2 2 2 1( )
x y z
dfcm
a b c
Bài 3 (1,0đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là x+11 x (x là số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x+15 x − 7 (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình x+11 x =x+15 x − 7
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số −5
6
Bài 4 (3,0đ).
1 Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BECADC 1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BEAB 2 m 2
Trang 42 Ta có:
BM BE AD
BC BC AC (do BEC ADC)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
BC AC AC AB BE (do ABH CBA)
Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra:
GB AB
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Bài 5 (1,0đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
2010x 2680 A
x 1
2
2010x 2680
A
x 1
=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3
Bài 6 (1,0đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10)