Tính thể tích khối chóp SMNC... 2 Xác ñịnh m ñể Cm có cực ñại, cực tiểu và hai ñiểm cực ñại cực tiểu ñối xứng với nhau qua ñường thẳng 1 2 y= x.. Gọi P là trung ñiểm BC, chân ñường vuông
Trang 1Sở GD & ðT Hưng Yên ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC NĂM 2010 LẦN I
Trường THPT Trần Hưng ðạo Môn: Toán - Thời gian: 150 phút
ðề Bài
Bài 1(2 ñiểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y=(| | 1) (| | 1)x + 2 x − 2
2) Tìm các ñiểm trên trục hoành mà từ ñó kẻ ñược ñúng 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị (C) Bài 2(3 ñiểm)
1) Giải hệ phương trình: ( 2 1)(2 1)( 2) 6
2) Giải phương trình sau: sin3 x + cos3 x = cos 2 (2 cos x x − sin ) x , ( với x ∈ ¡ ) 3) Tìm m thực ñể phương trình sau có hai nghiêm thực phân biệt:
( m − 1).log1/ 22 ( x − 2) ( − m − 5) log1/ 2( x − 2) + − = m 1 0
Bài 3(1 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =a > 0) và các cạnh SA= SB = SC = 3a Trên cạnh SA, SB lấy ñiểm M, N sao cho SM = BN = a Tính thể tích khối chóp SMNC
Bài 4(2 ñiểm)
1) Tính tích phân sau:
1
2 0
∫
2) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho ñiểm A(3; 1) lập phương trình ñường thẳng d qua A và cắt chiều dương của trục Ox, Oy lần lượt tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất
Bài 5(2 ñiểm)
Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng 1
1
1 2
= +
= +
¡
ðường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và
(Q): 2x + y + 2z – 5 = 0
1) Chứng minh rằng d1, d2 cắt nhau tại I, viết phương trình mặt phẳng chứa d1và d2 2) Viết phương trình ñường thẳng d3 qua A(2; 3; 1) tạo với hai ñường thẳng d1và d2 tam giác cân ñỉnh I
Hết
Trang 2đáp Án vắn tắt Bài 1: 1) khảo sát hàm số : y = x4 - 2x2 + 1 ( C)
2) Gọi A(a:0) là ựiểm trên trục hoành mà từ A kẻ ựược ựến ( C) ba tiếp tuyến Phương trình ựường thẳng ựi qua A và có hệ số góc k là d: y = k(x-a)
d là tiếp tuyến của ( C) khi hệ pt sau có nghiệm
⇔
Phương trình
2
2
1 0
4 1 0(*)
x
Mà x2 Ờ 1 = 0 cho ta hai x nhung chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1: y = 0 Vì vậy ựể từ A kẻ ựược 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiếm pb x khác ổ1
KQ:
< − >
hoẳc
Bài 2: 1) kq (3;2) hoặc (2;3)
2) kq
2
4 1 arctan
2
π π π π
π
ằ
3) kq ( 3;1) (1; )7
3
m ∈ − ∪
Bài 3: +) Chân ựường cao hạ từ ựỉnh S là trung ựiểm của AC
+) Kq 34 3( )
54 a dvtt
Bài 4: 1) Kq ln 2 1
2
−
2) Kq 1
x y
Bài 5: 1) Hai ựường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại I(1;1;1) và mặt phẳng chứa hai ựường thẳng chắnh là mặt phẳng (P)
2) Gọi B là giao của d1 và d3 ( ựk: B khác I) C là giao của d2 vàd3 (ựk: C khác I)
Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(1 + tỖ;1 +2 tỖ;1 -2 tỖ) Với ựk: t t ≠ ' 0
Trang 3Sở GD & ðT Hưng Yên ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC NĂM 2010 LẦN 2
Trường THPT Trần Hưng ðạo Môn: Toán - Thời gian: 180 phút
ðề Bài Câu I: (2 ñiểm) Cho hàm số: 3 ( ) 2
y=x − m+ x + x+ −m (1) có ñồ thị là (Cm) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) với m=1
2) Xác ñịnh m ñể (Cm) có cực ñại, cực tiểu và hai ñiểm cực ñại cực tiểu ñối xứng với nhau qua ñường thẳng 1
2
y= x
Câu II: (2,5 ñiểm)
1) Giải phương trình: sin 2x(cosx+3)−2 3 osc 3x−3 3 os2c x+8( 3 cosx−s inx)−3 3 =0 2) Giải bất phương trình : ( 2 )
2
+
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y=x.sin2x, y=2x, x=
2
π
Câu III: (2 ñiểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên hợp với ñáy một góc là 450 Gọi P là trung ñiểm BC, chân ñường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1
2
AP= AH
uuur uuur
gọi K là trung ñiểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC
cắt BB’ và CC’ tại M, N Tính tỉ số thể tích
' ' '
ABCKMN
A B C KMN
V
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
2
2
6 5
6 0
Câu IV: (2,5 ñiểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất ñể lấy
ñược 5 bông hồng trong ñó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
3 1
9 19
720
m
n
P
−
+
−
2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc
1
x + y = (E), viết phương trình ñường thẳng song song Oy và cắt (E) tại hai ñiểm A, B sao cho AB=4
3) Viết phương trình mặt phẳng cách ñều hai ñường thẳng d1 và d2 biết:
Trang 41
2
3
= +
= −
2: 1 2 1
Câu V: (1®iÓm) Cho a, b, c≥ 0 và 2 2 2
3
a +b +c = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
………Hết………
ðÁP ÁN ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 2
Bài
1
1
Khi m = 1 ta có hàm số: 3 2
y=x − x + x−
• BBT:
x -∞ 1 3 +∞
y/ + 0 - 0 +
3 +∞
y
-∞ 1
1ñ
2 y' = 3x2− 6 (m+ 1 )x+ 9
ðể hàm số có cực ñậi, cực tiểu:
0 9 3 ) 1 ( 9 ' = + 2 − >
∆ m ⇔ m∈ ( −∞ ; − 1 − 3 ) ∪ ( − 1 + 3 ; +∞ )
3
1 3
+ +
− +
− + +
−
y
Vậy ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu là
1 4 ) 2 2 (
−
y
Vì hai ñiểm cực ñại và cực tiểu ñối xứng qua ñt y x
2
1
= ta có ñiều kiện cần là
2
1 ) 2 2 (
−
=
=
⇔
=
− +
⇔
3
1 0
3 2
2
m
m m
m
Khi m = 1 ⇒ptñt ñi qua hai ñiểm Cð và CT là:y = - 2x + 5 Tọa ñộ trung ñiểm
Cð và CT là:
= + +
−
= +
=
= +
1 2
10 ) (
2 2
2 2
4 2
2 1 2
1
2 1
x x y
y
x x
Tọa ñộ trung ñiểm Cð và CT là (2; 1) thuộc ñường thẳng y x
2
1
= ⇒ m= 1tm Khi m = -3 ⇒ptñt ñi qua hai ñiểm Cð và CT là: y = -2x – 11
1ñ
Trang 5Vậy m = 1 thỏa mãn ñiều kiện ñề bài
Bài
2
1 phương trình ñưa về:
=
=
=
⇔
=
− +
=
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
) ( 4 cos
1 cos
3 tan
0 4 cos 3 cos
0 sin cos 3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos 3 (
2
2
loai x
x x x
x
x x
x x
x x
Ζ
∈
=
+
=
k x
k x
, 2
3 π
π
2
ðk:
−
>
+∞
∪
−
−∞
∈
⇔
>
+
>
− +
7
)
; 1 ( ) 5
; ( 0
7
0 5 4
2
x
x x
x x
) 1 ( ) 5
; 7 ( − − ∪ + ∞
∈
⇒ x
Từ pt
7
1 log 2 ) 5 4 (
+
−
>
− +
⇒
x x
27 log ( 4 5) log ( 7)
5
⇔ + − > + ⇔ <
Kết hợp ñiều kiện: Vậy BPT có nghiệm: )
5
27
; 7 ( −
−
∈
x
0.75ñ
3 Ta có: x.sin2x = 2x ⇔x.sin2x – 2x = 0 ⇔x(sin2x – 2) =0 ⇔x = 0
Diện tích hình phẳng là:
∫
0 2
0 ( sin2 2 ) (sin2 2)
π π
dx x x dx
x x x S
ðặt
−
−
=
=
⇒
−
=
=
x
x v
dx du
dx x dv
x u
2 2
2 cos )
2 2
2 2
π π
−
= +
−
=
0.75ñ
Bài
3
Trang 61 Gọi Q, I, J lần lượt là trung ñiểm B’C’, BB’, CC’
ta có:
2
3
a
AP = ⇒AH = a 3
Vì ∆' AHA' vuông cân tại H
Vậy A'H =a 3
Ta có
4
3 2
3 2
1 a a2 a
4
3 4
3 3
3 2
' ' '
a a
a
V ABCA B C = =
vtt) (1)
Vì ∆' AHA' vuông cân
(BB C C)
HK AA
⇒
G ọi E = MN∩KH ⇒BM =
PE = CN (2)
'H AH
A + = 3a2+3a2 =a 6
4
6 2
CN PE BM
a
⇒
Ta có thể tích K.MNJI là:
1 3
'
MNJI
a
=
2
MNJI
S =MN MI =a = dvdt
( )
KMNJI
3 3
2 3 ' ' '
3
1
ABCKMN
A B C KMN
V
V
−
+
1ñ
2 ðK: a2 + a≠ 0
Từ (1) ⇔ (a2+a)2 − 5 (a2+a) − 6 = 0
= +
−
= +
⇔
6
1
2 2
a a
a a
Khi a2+ a= − 1 thay vào (2)
2
1 23.
2
6 0
1 23.
2
i b
b b
i b
− −
=
⇒ − − − = ⇔
− +
=
;
+
−
=
−
−
=
⇔
= + +
2
3 1 2
3 1 0
1
2
i a
i a
a a
Khi a2+ a= 6
=
−
=
⇔
2
3
a
a
Thay vào (2) 2
1 5 2
1 5
b
− +
=
− −
=
45
E
K
J
I A
B
C
C'
B' A'
P
H
Q
N
M
Trang 7Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:
− − − +
− − − −
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
− + − −
− + − −
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
− −
− +
− −
−
− +
−
2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 3 , 2
5 1
; 3
Bài
4 1)
=
<
+ +
−
+
−
720
2
19 2 9
1
1 2
3 2
n
m n
m
m
P
A c
C
Từ (2): (n− 1 )! = 720 = 6 ! ⇔n− 1 = 6 ⇔n= 7 Thay n = 7
vào (1)
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2
2
<
+
−
⇔
<
+ +
−
⇔
<
+ +
−
⇔
m m
m m
m
m m
m
11
9 < <
⇔ m vì m∈ Ζ ⇒m= 10
Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, ñể
lấy ñược ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
C73.C102 = 1575cách
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
C74.C101 = 350cách
TH3: 5 bông hồng nhung có:
C75 = 21 cách
⇒có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách
Số cách lấy 4 bông hồng thường
% 45 , 31 6188
1946
6188
5
17
≈
=
⇒
=
P
C
2) Gọi ptñt // Oy là: x = a (d) tung ñộ giao ñiểm (d) và Elip là:
25
25 25
1 9
1 9 25
2 2
2
2 2
a a
y
y a
−
=
−
=
⇔
= +
2 2
5
3 25
25
⇒
25 5
3
; , 25 5
3
a A
25 5
6
;
3
5 5
±
=
⇒ a Vậy phương trình ñường thẳng:
3
5 5 , 3
5 5
=
−
x
3)ñường thẳng d2 có PTTS là:
+
=
+
=
+
=
' 5 1
' 2
' 2 1
t z
t y
t x
Trang 8⇒vectơ CP của d1 và d2 là:
1 (1;1; 1), 2 (2;1;5)
ur = − u =
⇒VTPT của mp(α ) là
1 2 (6; 7; 1)
d d
nrα = u ur r = − −
⇒pt mp(α ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
ðường thẳng d1 và d2 lần lượt ñi qua 2ñ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( , ( )) ( , ( ))
|12 14 3 | | 6 14 1 |
− − + = − − +
⇔ − + = − + ⇔ =
Vậy PT mp(α ) là: 3x – y – 4z +7 = 0
Bài 5
2
3 2 2
3 2 2 3
1 1
1
a a
c c c
b b b
a
+ + + + + + + +
2 4
1 1
2 1
2 2 4
2 2
2
3
b b
a b
a
+
+ +
= +
2 4
1 1
2 1
2
2
2 2
2
3
c c
b c
+
+ + +
2 4
1 1
2 1
2
2
2 2
2
3
a a
c a
+
+ +
6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
≥
6 2 2 2
9 ) (
2 2 2
3 2
2
3
= + +
≥ +
2
3 2 2
3 2 2
9 2 2
3 2 2
9
≥
⇒ P
ðể PMin khi a = b = c = 1