Tuyển tập 100 bài toán Hệ phương trình

Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn kia... Phương trình vô nghiệm.[r]

TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015

ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC

Bài 1 Giải hệ phương trình:

2 3

y x

y x

y y

f x    x phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3)

Bài 2 Giải hệ phương trình: (12 ) 2 ( 1)

0 2

2 2 2

Bài 3 Giải hệ phương trình:

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2).

Bài 4 Giải hệ phương trình:

Ta có PT(1)  (x  2)3 6(x  2) y3  6y2

Xét hàm số f t( )t36 ,t t   0; 4 ta có f t'( ) 3t2 12t 3 (t t4)  0, t 0; 4 f t( )

  nghịch biến trên 0;4

  Mà phương trình (1) có dạng: f x( 2) f y( )yx2 thay vào phương trình (2) ta có: 4x2   6 3 4 x2  x 0 từ đó ta có y = 2

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2)

Bài 5 Giải hệ phương trình: 3 2 2 1 3

33

y y

Bài 7 Giải hệ phương trình:

Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình  1 , ta được:

Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S   10;2 ;  10;2 

Bài 14 Giải hệ phương trình:

 Với x ythay vào  2 , ta được: x   1 y 1

 Với x  y thay vào  2 , ta được: y    1 x 1

Bài 17 Giải hệ phương trình:

Bài 23 Giải hệ phương trình:

 Với 3

,2

Vậy nghiệm (x; y) của hệ là

Bài 25 Giải hệ phương trình sau:

Phương trình (1) (x 2) (x 2)2     3 x 2 y (y)2  3 y

Xét hàm số f t( )t t2  3 t Có

2 2

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1)

Xét hàm số f t 5t2 3t trên khoảng t 0;

 có /  2

f t  t    t hàm số đồng biến Từ (3) ta có f 10x  f 9y 10 x 9   y y x 1, 4  Thay (4) vào (2) ta được x   7 10  x x2 2x 66  0(5) ĐK: x   7;10

Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y ; 9;8

Bài 27 Giải hệ phương trình sau:

1

y x

x y

(3 )xy  7(3 )xy  14(3 )xy   8 0

Từ đó tìm được hoặc 3xy 1 hoặc 3xy 2 hoặc 3xy 4

Với 3xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó 1

3

Với 3xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)

Với 3xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó 2

Từ phương trình (2) thay 4 x2  3y2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:

4

2 4

x x

Với x = 3  y 5 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5)

Bài 31 Giải hệ phương trình sau:

Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1

Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm

Bài 33 Giải hệ phương trình sau:

11

422

y x

u v

u v

x y

x y

u v

x y

5324

Đạo hàm g x/( )   3x2  2x   2 0  x D Suy ra hàm số nghich biến trên D

Từ (1) ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm  1;0

Bài 35 Giải hệ phương trình :

2 2

x y

 



 



t t

Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)

Suy ra phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm duy nhất

Vì 1  x 1 nên đặt x = cos(t) với t [0; ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả

Bài 37 Giải hệ phương trình:

2

1

(1)5

Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có:

 Với 15x 5y 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2 2

15

Hệ phương trình tương đương

2 3

Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ

TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y3ta có hệ phương trình tương đương

Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S   1;1 ,  1; 1 

Bài 40 Giải hệ phương trình:  

Hệ phương trình biến đổi tương đương

04

2

54

a b

Bài 41 Giải hệ phương trình:  2 2    

Nhận xét y  1 0 không là nghiệm hệ phương trình

Chia hai vế phương trình một và hai cho y 1 ta có

1 10 1

y

x y y

Chia hai vế phương trình một cho y2 và hai y3

 2 

2 2

2 3

x y

y b

x    6y      Suy ra phương trình vô nghiệm 3 y 1

Với  2  thay vào phương trình ( 2 ) ta có

2 2 y 2 

22

f t  t   sauy ra hàm số f t  đơn điệu tăng

Từ đó suy ra f 2x  f 2y1 2 x 2y1   x 3 2y thay vào phương trình (2)

233 23 6532

y y y

Bài 48 Giải hệ phương trình:

034

y y

3452

x y

 

2 2

  là nghiệm duy nhất của hệ

Bài 50 Giải hệ phương trình:  2 2

Phương trình ( 1 ) tương đương

02

Vậy hệ phương trình có hai căp nghiệm 3 1 3 1

33

y y

Dễ thấy với y 0 hệ pt vô nghiệm

Xét y 0.Chia (1) cho y2, chia (2) cho y ta được hệ

27

a b

+ Với 7

11

a b

x y

x y

  



 

 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

2

113

x y

x y

(2 ) 6 (2 ) 65

(2 ) 2(2 ) 75 0

(2 ) 3(2 ) 15 0( ) 2.(2 ) +6 (2 ) 10

Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x  y 2

Bài 59 Giải hệ phương trình:  3 3

Xét y 0hệ đã cho được biến đổi thành

y

y xy

Vậy hệ đã cho có nghiệm x  y 1

Bài 60 Giải hệ phương trình:  2

32

x y

x y

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 2;0 ,   1; 3 

Bài 63 Giải hệ phương trình

1212

Đến đây sử dụng phương pháp rút thế ta dễ dàng tìm ra kết quả bài toán

Bài 64 Giải hệ phương trình  2

2 2

  (x  4)2

Phương trình có hai nghiệm:

32

12

Thay y  x 1 vào pt thứ nhất ta được: x2 5x  2 6 x25x  5 0 (3)

Giải (3): đặt x2 5x 5= t, điều kiện t0   2 1  

Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là:(1;2)và (4;5)

Bài 66 Giải hệ phương trình

1

t

t t

t t

Thay vào (1) ta có y2 x2 x 1  0 y 2  x 4.Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2)

Bài 67 Giải hệ phương trình  

Với t     1 0 t 1 hay x     y x y 0 (loại)

Với 10t4 21t3 10t2 21t100 3  Vì t  0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t2 ta được: 2 12 1

t t

52

Bài 69 Giải hệ phương trình

Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu được

chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc:  

t t

x y

1 2 1

x y

x y

2

2

0 11

Bài 74 Giải hệ phương trình: 3 3

PT  dấu “ = ” xảy ra Từ đó ta có x = y = 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)

2 3

Ap dông bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã

-1 +

Với x  4 thay vào pt (2) ta được y 103 10

Với x y2  2 thế vào pt (2) ta được y2   y 5 3 2y1 (*)

Với x     y 0 y x thay vào phương trình (2)

 , suy ra f x( ) đồng biến trên 3;2

Ta có: f  ( 2) 0, suy ra (*) có nghiệm duy nhất x    2 y 2

Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm 1; 1 ,  2;2

Bài 82 Giải hệ phương trình:

2 2

Điều kiện : y 0;y  1

Khi đó :   1 x y y2  1  y2 2y2  2 4y y14;x2  3 9y y1

Đến đậy bài toán trở thành đơn giản

Bài 87 Giải hệ phương trình:

2 2

3

2 2

Bài 88 Giải hệ phương trình:     

Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4)

Bài 91 Giải hệ phương trình:

Giải

.4

không thỏa mãn, vậy y khác 0

2 2

2 2 0

0

2 2 0

3 0

Vậy (1) có nghiệm x = y = 1 thỏa (2)

Bài 93 Giải hệ phương trình:

Như vậy hệ có nghiệm chỉ xảy ra khi : y  x y hay x = 2y

2

1 8

Với x  3suy ra y 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất 3

2

x y

Loại nghiệm x = 0, vậy phương trình có hai nghiệm: 1; 1 , 2; 5

Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,  3;3

Chú ý: Ta còn có cách giải khác

Phương trình (1) khi x = 0 và y = 0 không là nghiệm do không thỏa mãn (2)

Chia 2 vế phương trình (1) cho x3 0  1 2 y y 3 2x x3

x    Đến đây ta giải như ở phần trên

Bài 99 Giải hệ phương trình:  1 2 1 2 1

Thay vào phương trình (2) :