Bài tập hệ thức lượng trong tam giác – Hình học 10 – Xuctu.com

Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất.. Cho tam giác ABC.[r]

Trang 1

BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC- Hình học 10

1 Cho ∆ABCcó a =12, b =15, c =13

a Tính số đo các góc của∆ABC

b Tính độ dài các đường trung tuyến của∆ABC

c Tính S, R, r

d Tínhh h h a, b, c

HS: Tự giải

2 Cho ∆ABCcó AB = 6, AC= 8, 0

120

A=

a Tính diện tích ∆ABC

b Tính cạnh BC và bán kính R

HS: Tự giải

3 Cho ∆ABCcó a = 8, b =10, c =13

a ∆ABC co góc tù hay không?

b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

c Tính diện tích ∆ABC

HS: Tự giải

4 Cho ∆ABCcó A= 60 , 0 B= 45 , 0 b= 2 tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp

ABC

∆ và diện tích tam giác

HS: Tự giải

5 Cho ∆ABC AC = 7, AB = 5 và cos 3

5

A= tính BC, S, h a, R

HS: Tự giải

6 Cho ∆ABC có m b = 4,m c = 2và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC

HS: Tự giải

7 Cho ∆ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 Tính cạnh BC

HS: Tự giải

8 Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

9 Tính A của ∆ABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức ( 2 2) ( 2 2)

HS: Tự giải

10 Cho ∆ABC CMR

a

tan tan

= + −

b 2 ( )2 1 cos

4 sin

C

−

2 sin sin sin

2

e a=bcosC+ccosB

Trang 2

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo)

sin A p p a p b p c

bc

HS Tự giải

11 Gọi G là trọng tâm ∆ABC và M là điểm tùy ý CMR

3

b 4(m a2 +m b2 +m c2) (= 3 a2 + +b2 c2)

HS Tự giải

12 Cho ∆ABC có b + c =2a CMR

a sinB+sinC=2sinA

b 2 1 1

a b c

HS Tự giải

13 Cho ∆ABC biết A(4 3, 1 ,− ) B( )0,3 ,C(8 3,3)

a Tính các cạnh và các góc còn lại của ∆ABC

b Tính chu vi và diện tích ∆ABC

HS Tự giải

14 Cho ∆ABC biết a= 40, 6;B= 36 20 ', 0 C= 73 0 Tính A, cạnh b,c của tam giác đó

HS Tự giải

15 Cho ∆ABC biết a= 42, 4m; b= 36, 6m; 0

33 10 '

C= Tính A B, và cạnh c

HS Tự giải

16 Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta

phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là 0

75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?

HS Tự giải

17 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông Biết

CAB= CBA= Hãy tính khoảng cách AC và BC

HS Tự giải

Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, A=α và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau Tính S∆ABC

Hướng dẫn giải:

Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc

với nhau thì

2

3m b 3m c a

2

a

A

B

C

M

N

Trang 3

2 2 2

5a b c

Mặt khác a2 = + −b2 c2 2bccosA

cos cos

2

1

2

ABC

Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi l l l A, ,B C lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C Chứng minh rằng

a 2 cos

2

A

l

=

+

b

1 1 1

l + l + l = + +a b c

c 1 1 1 1 1 1

A B C

l + +l l > + +a b c

a Trước hết chứng minh công sin 2 sin cos

α= bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có A= 2α thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên

1

sin 2

ABC

ABD A

A

ACD A

A

2

ABC ABD ACD A

∆ = ∆ + ∆ ⇒ =

+

b

2

A

+

Tương tự

cos cos cos

1 1 1

c Ta có

l + l + l < + +l l l

A B C

⇒ + + > + +

A

B

C

D

Trang 4

Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi m m m a, b, c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua

A, B, C,

2

a b c

Chứng minh rằng

3

4

Gọi D là điểm đối xứng của A qua

trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

3

GBD GBC AGB AGC ABC

Mà ∆GBD có ba cạnh 2 ,2 ,2

3m a 3m b 3m c

2

2 3

 

3 3

4

Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d

Chứng minh rằng S□ABCD = (p a p b p c p d− )( − )( − )( − )

Với

2

P= + + +

Do ABCD nội tiếp nên

sinABC= sinADC

cosABC= − cosADC

1

sin 2

ABCD ABC ADC

1

1 cos

Trong tam giác ABCcó 2 2 2

2 cos

Trong tam giác ADC có 2 2 2

2 cos

cos

B

+

1 cos 2

ABCD

1

a b c d

ab cd

+

1

4

4 ab cd a b c d

A

B

C

P

M

N

D

G

B

C

A

D

a

b

c

d

x

Trang 5

2 2 2 2

a+ + −b c d a b c+ − +d a b− + +c d − + + +a b c d

ABCD

S p a p b p c p d

2

p= + + +

Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng

cos cos cos 2

Ta có ( )2

0

AB+BC+CA = 2 2 2

AB BC CA AB BC BC CA AB CA

2 cos 2 cos 2 cos

cos cos cos 2

+ +

Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là 2 2

a=x + +x b= x+ c=x − chứng minh rằng tam giác có một góc bằng 120 0

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác

2

1 0

x

 − >







− + + > + +

 Với x>1 thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất

2

Bài 24 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có

a

cotA cotB cotC a b c R

abc

+ +

b sin ( )( )

2

A p b p c

bc

=

a Sử dụng định lí sin và cosin

b Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp

sin = sin cos 1

ABC

Từ hình vẽ:

ABC

S

p

∆

A

C

O

Trang 6

Từ (1) và (2) ( )2

( ) tan sin cos

ABC

p

∆ = −

( ) sin

2

p

sin

2

A p b p c

bc

Bài 25 Tam giác ABC có tính chất gì khi 1( )( )

4

ABC

Theo Hê rong

ABC

S∆  + +   + −  − +   − + + 

a b c a c b a b c a b c b c a

Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam

giác Chứng minh rằng: 1

2

r

Ta có ,

4

= = r S2 4p p a( )(p b)(p c) 4(p a)(p b)(p c)

Mà ( )( ) 2

2

8

abc

2

r R

Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

cot cot

+

b 2( 3 3 3 )

3S≥ 2R sin A+ sin B+ sin C

c p< p− +a p b− + p c− ≤ 3p

d 2 1 ( 4 4 4)

16

Trang 7

a BĐT

1

in A B

sin A sin B 2 sin A sin B

b 3S≥ 2R2(sin 3A+ sin 3B+ sin 3C)

2

3

2

R

3abc a b c

c Từ ( )2 2 2 2

( )2 2 2 2

⇒ + + > + +

Nên x, y,z dương thì 2 2 2

x+ + >y z x +y +z áp dung vào CM + p− +a p b− + p c− > p− + − + − =a p b p c p

p− +a p b− + p c− ≤ p− + − + − =a p b p c p

d 2

S = p p−a p b p− −c

a+ +b c a+ −b c a b− +c − + +a b c

( 2 2 2) 2 ( 2 2 2) 2

( 2 2 2 2 2) 4 4 4

Bài 28 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 1( 2 2 )

sin 2 sin 2 4

ABC

Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,

C

A

C’

B

C

A

C’

B

C’

C

Trang 8

+ B là góc tù

Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 2 2 2

a + + <b c ab+ bc+ ca

Ta có ( )2 2 2 2 2

2

a− < ⇔b c a−b <c ⇔a + − <b c ab

Bài 30 Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập

phương các cạnh bé nhất

4

+ +

Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 12 12 12 12

4

2 2 2

− −

Tương tự 12 2 1 2, 12 2 1 2

Nên 12 12 12 2 1 2 2 1 2 2 1 2

(a b c)(1a b c) (b c a b c a)(1 ) (c a b c)(1 a b)

1

Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Trang 9

a a b c 3

b 1 1 1 1

a b c

c b2 2c a2 1

a b c

h +h +h >r

2

b+ −c a c+ − ≤a b + − + + − =c

2

b+ −c a b+ − ≤a c + − + + − =b

abc

a b c a c b b c a abc

a b c a c b b c a

Mà

b 1( )

a b c

c

2

p

Ta có

Tương tự

2

b

b c

2

c

Công lại ta có

2

Trang 10

Bài 33 Cho tam giác ABC có 2 2 2

sin B+ sin C= 2sin A Chứng minh rằng 0

60

sin B+ sin C= 2 sin A⇔b + =c 2a

0

1 2

A

+ + −

Bài 34 Cho tam giác ABC có a43+b43 =c43 Chứng minh rằng có một góc tù

3

a b c c a b  a b a b a b 

4 4 4 4 4 4 2 2

4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3

2

4 4 2 2 2 2

2

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

⇒ > + Mà

0

2

ab

+ −

Bài 35 Tam giác ABC có 2 2 2 2

36

a + + =b c r thì có tính chất gì?

2

Ta có 2 (p b p− )( − ≤c) (2p b− + 2p− =c) a

8

9

abc

+ +

Mà 2 2 2

a + + ≥b c ab bc+ +ca

0

Vậy tam giác ABC có 2 2 2 2

36

a + + =b c r thì tam giác ABC đều

Trang 11

ĐẶT MUA SÁCH THAM KHẢO TOÁN 10 MỚI NHẤT

NĂM HỌC 2020-2021-ĐANG PHÙ HỢP VỚI BẠN

+ Cập nhật dạng toán mới và Phương pháp mới

* Trọn bộ gồm 3 quyển, Giá 420.000 đồng

=> Free Ship, thanh toán tại nhà.

Đặt mua tại:

https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2 Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

FB: facebook.com/xuctu.book/

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	557,03 KB