Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.. Đường thẳng EK cắt MO, MB lần lượt tại G, H.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Khóa thi: Ngày 06 tháng 6 năm 2013
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức:
1
2
và
x
( với x > 0, x ≠ 4)
a Rút gọn A và B
b Tìm giá trị x để A.B 2
Câu 2 (1,5 điểm)
a Giải hệ phương trình (không dùng máy tính bỏ túi):
2 5
x y
b Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2 và - 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 + 2( m - 1)x + 2m - 6 = 0
a Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
b Tìm tìm tất cả giá trị m để 1 2 1 2
13 0
x x
x x
Câu 4.(4,0 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho AC
4
R
Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C Hai tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K Đường thẳng EK cắt MO, MB lần lượt tại G, H Gọi I là giao điểm của
OM và EB
a Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp
b Tính AE theo R
c Chứng minh HM2 = HK.HE
d Tính MG theo R
Câu 5.(1,0 điểm)
Cho a, b thỏa điều kiện: 0 ≤ a ≤ 2 ; 0 ≤ b ≤ 2 và a + b = 3
Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 5
………Hết………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Họ và tên thí sinh: SBD:
SỞ GIÁO DỤC
Khóa thi: Ngày 06 tháng 6 năm 2013
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1
(1,5 đ)
a
(1đ) A = = 4 22 3 2
B =
2 2
x
0.25 0.25 0.25 0.25
a
(0.5đ) A.B =8 2
1 2
x
0.25 0.25
Câu 2
(1,5 đ)
a
(0.5đ)
HPT
1 2
x y
và kết
luận:
1 2
x y
nghiệm
0.25 0.25
b
(1đ)
Tìm được A(2;
8) và B ( -1; 2) Phương trình đường thẳng AB: y= ax +b Đường thẳng
0.25
0.25 0.25 0.25
ĐÁP ÁN
Trang 3AB đi qua A và
B nên:
2
a b
a b
Giải tìm được a=2 , b= 4 Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 2x+ 4
Câu 3
(2 đ)
a
(0.75đ)
'
= m2 - 4m + 7 = (m - 2 )2 + 3 > 0 với mọi m Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
0.25 0.25 0.25
b
(1.25đ)
Theo định lí Vi ét:
1 2
1 2
x x m
1 2
1 2
13 0
x x
x x
1 2
1 2
1 2
13 0
x x
x x
2
m
m2 10
m = 10 và kết luận
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
Câu 4
( 4đ)
Hình
vẽ
( 0.5đ )
C
D
O A
I
B
E
H M
Hình vẽ phục vụ câu a và b : 0.25
0.5
a
(1 đ )
OE = OB = R và ME = MB ( ME và MB là 2 tiếp tuyến ) Nên: OM là trung trực của EB => OIE = 900
=> OIE + OCE = 1800 ( Vì: OCE= 900 , giả thiết
0.25 0.25 0.25
Trang 4)
b
(0.75đ)
0
90
AEB
( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)
AEB
vuông tại E , có đường cao EC => AE2 = AC.AB Tính đúng AE =
2 2
R
0.25 0.25 0.25
c
(0.75đ) ED
BM ( ED và MB cùng vuông góc AB)
=>KMB =EDK(slt)
Mà : EDK = MEH ( cùng chắn cung EK ) Nên: KMH = MEH
Chứng minh: HMKđồng dạng HEM Suy ra kết quả: HM2 = HK HE
0.25 0.25 0.25
d
(1đ)
Chứng minh: BH2 = HK HE và HM2 = HK HE
=> HM = BH Chứng minh; G là trọng tâm MEB=> MG =
2
3MI Tính đúng : OM = 2R 2
Tính MI =
4
R
và MG =
6
R
0.25
0.25 0.25 0.25
Câu 5
(1đ)
Cách 1:
a2 + b2 = (a + b )2 - 2ab = 9 - 2ab
Do : 0 a2 ; 0 b 2 => ( 2 - a)(2 - b ) 0
ab2 Nên: a2 + b2 9 - 4 = 5
0.25 0.25 0.25 0.25
Cách 2:
a = 3 - b Nên: a2 + b2 5 b2 - 3b + 2 0
(b - 1)(b - 2) 0
Do giả thiết : a = 3 - b 2 và 0 b 2 => 1 b 2 Nên: (b - 1)(b - 2) 0
Vậy: a2 + b2 5
0.25 0.25 0.25 0.25