Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải làm xong 420 chi tiết máy cùng loại trong một số ngày qui định, mỗi ngày làm được một [r]
Trang 1Bài I (2,0 điểm) Với x > 0,x ≠ , cho hai biểu thức: 9
15
x P
x
−
Q
−
1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 25
2) Rút gọn biểu thức Q
3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức T = P Q đạt giá trị nguyên
Bài II (2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải làm xong 420 chi tiết máy cùng loại trong một số ngày qui định, mỗi ngày làm được một số lượng chi tiết máy như nhau Nhờ cải tiến kĩ thuật, thực tế mỗi ngày tổ làm thêm được 2 chi tiết máy cùng loại so với kế hoạch Vì vậy, tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với qui định Tính số chi tiết máy
tổ sản xuất dự định làm trong một ngày theo kế hoạch
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 4 2
6 0
x + x − =
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol(P) : 2
y = x và đường thẳng (d) y = mx + 3
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol(P) tại hai điểm A,B phân biệt
b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục Ox Tìm giá trị của m để chiều cao hình thang AHKB bằng 3 2 ( đơn vị
độ dài)
TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9
LẦN 2 NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 23/03/2019 Thời gian làm bài: 120 phút
Trang 2Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O R; ) và dây BC cố định (BC < 2R) Lấy
điểm A thuộc cung lớn BC sao cho ABC∆ nhọn vàAB < AC Hai đường cao BM vàCN của ABC∆ cắt nhau tại H
1) Tứ giác AMHN nội tiếp
2) Vẽ đường kính AD của đường tròn ( )O Chứng minh tứ giác
BHCD là hình bình hành
3) Tia BM cắt đường tròn tại điểm thứ hai làE Chứng minh M
là trung điểm của HE vàMN ⊥ AD
4) Tia CN cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là F Gọi d là đường thẳng đi qua H và vuông góc vớiEF Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho ABC∆ nhọn thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Bài V (0,5 điểm):
Cho 0 ≤ x y z, , ≤ 2 và x + + =y z 3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
K = + +x + +y + z - Hết -
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài I
1) Thay x = 25 (TM) vào biểu thức P ta được: 25 15 2
25
= =
Vậy P = tại 2 x = 25
2)
3
3
Q
x
−
+
Vậy
3
x Q
x
=
+
3) Ta có: 15 15
T P Q
TH1: Xét x = 15 ⇒T = ∈0 ℤ ⇒ x = 15 (TM)
TH2: Xét x ≠ 15, x ∈ ℤ nhưng x ∉ ℤ ⇒ x là số vô tỉ ⇒ x + là 3
số vô tỉ Mà x −15 là số nguyên khác 0 nên 15
3
x x
− + là số vô tỉ
T
⇒ ∉ ℤ (Loại)
TH3: Xét x ∈ ℤ và x ∈ ℤ ta có: 3 6
3
x
+
Vì x − ∈ ℤ3 nên
6
3 3
x
+
ℤ ℤ Ư( )6 = ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 6}
Trang 4Vì x + ≥ ⇒3 3 x + ∈3 { }3;6
Với x + = ⇔3 3 x = 0 (TM)
Với x + = ⇔3 6 x = ⇔3 x = 9 (TM)
Vậy x ∈{0;9;15}
Bài II
Gọi số chi tiết máy tổ sản xuất mỗi ngày theo dự định là x (chi tiết máy) (x ∈ ℕ*)
Thời gian theo kế hoạch để sản xuất 420 chi tiết máy là: 420
x (ngày) Nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày tổ sản xuất thêm 2 chi tiết nên tổ làm được x +2 (chi tiết máy) mỗi ngày
Thời gian thực tế mà tổ sản xuất được 420 chi tiết máy là: 420
2
x +
(ngày)
Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với qui định nên ta
có phương trình:
420 420
1 2
+
420 x 2 420x x x 2
2
2 840 0
⇔ + − =
28 ( )
30 ( )
=
⇔ =
Vậy số chi tiết máy tổ sản xuất dự định làm trong một ngày theo kế hoạch là 28 chi tiết máy
Trang 5Bài III
1) Giải phương trình: 4 2
6 0
x + x − = (1) Đặt 2 ( )
0
x = t t ≥
1 ⇔ t + − = t 6 0
2
3 2 6 0
⇔ + − − =
⇔ + − + =
⇔ + − =
( )
3
2
= −
⇔
=
2
t = ⇒ x = ⇒ x = ±
Vậy phương trình trên có tập nghiệm là S = ± { }2
2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( )
x = mx + ⇔ x −mx − =
( )
∆ = − = − − = + > ∀
Do ∆ > ∀ nên phương trình(*) luôn có hai nghiệm phân biệt với 0, m
mọi m Vậy parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm A,B phân biệt
b) Vì parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm A,B phân biệt nên ta gọi tọa độ A x y( 1; 1) (;B x y2; 2) Hoành độ của điểm A,B chính là nghiệm của phương trình (*)
Mà phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên áp dụng hệ thức Vi- ét ta được:
x x
+ =
= −
Mà H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên Ox nên:
Trang 6( )2
( )
2
2 3 2.3 18
m
2
⇔ = ⇔ = ±
Vậy m = ± thì chiều cao hình thang AHKB bằng 3 2 ( đơn vị độ 6 dài)
Trang 7Bài IV
1
I
H 2
2 1
1 F
E
N
M
D
d
C B
A
O
P
Q
Chứng minh:
1) Xét tứ giác AMHN ta có:
0
90
AMH = (Vì BM là đường cao)
0
90
ANH = (Vì CN là đường cao)
90 90 180
Mà AMH và ANH là hai góc đối của tứ giác AMHN Do đó AMHN
là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
0
90
ACD = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ ⊥
/ / DC
BH
⇒ (cùng vuông góc vớiAB )
Tương tự cm: BD / /CH
BHCD
⇒ là hình bình hành
3) Chứng minh M là trung điểm của HE và MN ⊥ AD
+ C1 = B1( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
C = B ( vì cùng phụ với góc BAC)
CHE
∆ có CM vừa là đường phân giác, vừa là đường cao ⇒ ∆CHE
cân tại C
CM cũng là đường trung trực của HE ⇒M là trung điểm của HE + Gọi I là giao điểm của AD và MN
90 ( ABD
NAD + BDA = ∆ vuông tại B)
0
90 (
HBC +ACB = ∆BMC vuông tại M)
Trang 8Mà BDA = ACB( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
1
ANM = H ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Mà H1 = H2 (hai góc đối đỉnh)
0
H +HBC =
0
0
90 90
4) Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Gọi P là trung điểm của BC, Q là điểm đối xứng của O qua P
Vì O, P cố định nên Q cố định
Chứng minh Q ∈d
Chỉ ra AHQO là hình bình hành ⇒ HQ / /OA ⇒Q ∈d
d luôn qua Q cố định
Trang 9Bài V
+ Tìm max K
Xét
2 2(1 x) 2(1 ) 2(1 )
2 (1 x) 2 (1 ) 2 (1 )
2
2
K
x y z K
+ + +
3 2
K
⇒ ≤
Vậy max K = 3 2khi x = = = y z 1
+ Tìm min K
Bước 1: dồn K về 1 biến
Giả sử x ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ y z 1 z 2
Xét
1+ +x 1+y = + + +2 x y 2 1+ + +x y xy
≥ + + + + + = − + − = + −
⇒ + + + ≥ + − ⇒ ≥ + − + +
Bước 2: Chứng minh:
2
(z 1)(z 2) 0
− + + ≥ + ⇔ − + ≥ ⇔ − + ≤
⇔ − − ≤
(luôn đúng với mọi 1 ≤ ≤ ) z 2
1 2 3
K
⇒ ≥ + +
Vậy minK = +1 2 + 3khi (x y z; ; ) là hoán vị của (0;1;2 )