Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán 2019 – Trường Liên cấp Ngôi Sao Hà Nội lần 4

Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm 1 hàng ghế và mỗi hàng xếp nhiều hơn qui định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi.. d) Khi A chuyển độ[r]

TRƯỜNG LIÊN CẤP THCS, TIỂU HỌC

NGÔI SAO HÀ NỘI

Đề số 02

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - LẦN 4

MÔN TOÁN - LỚP 9 Ngày: 23/04/2019 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

:

4

x

P

x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2 x −5 = 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = P x − x

Bài 2 (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm 1 hàng ghế và mỗi hàng xếp nhiều hơn qui định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế ?

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:  + + − =

+ − = −



2) Cho phương trình 2 + + =

5 0 (1)

x mx ( mlà tham số) Tìm m để phương trình (1) :

a) Có nghiệm kép , tìm nghiệm kép đó ?

b) Có hai nghiệm x x1, 2đều nguyên

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O , các đường caoBD CE, cắt nhau

tại H và lần lượt cắt ( ) O tại I và K

a) Tứ giác BDCE và ADHE là hình gì ?

b) Chứng minh : DE song song với IK và OA vuông góc với IK c) Khi A chuyển động trên cung lớn BC , chứng minh DE có độ dài không đổi và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

không đổi

d) Khi A chuyển động trên cung lớn BC , tìm vị trí của A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : = +

P

y x với ,x y là các số dương thỏa mãn xy = 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

−

:

4

x

P

x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2 x −5 = 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =Q P x − x

Lời giải

a) x > 0;x ≠ 4

=

=

−

=

:

4

:

:

1 4

x

x

x

x

b)

− =



⇔





⇔



 =

⇔  =



3 2 9(TM)

x

x

x

x

x

x

Thay x = 9 vào P có:

=

3 9

2

4

GTNN của = −

( )

Bài 2 (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm 1 hàng ghế và mỗi hàng xếp nhiều hơn qui định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế ?

Lời giải

Gọi số hàng ghế lúc đầu trong phòng họp là x ( hàng , x ∈ℕ*)

Số ghế trong một hàng lúc đầu là 300

x (ghế)

Số hàng ghế lúc sau trong phòng họp là x +1 (hàng)

Số ghế trong một hàng lúc sau là

+

357 1

x (ghế)

Vì mỗi hàng xếp nhiều hơn quy định 2 ghế nên ta có phương trình :

+

2

357 300

15

4

x

Vậy số hàng ghế lúc đầu trong phòng họp là 10 (hàng)

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:  + + − =

+ − = −







 − = −



⇔  + − = −





=





⇔  =



= −



5

2 2( )

2

x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y = −( 2;2)

2) Cho phương trình 2 + + =

5 0 (1)

x mx ( m là tham số) Tìm m để

phương trình (1) :

a) Có nghiệm kép , tìm nghiệm kép đó ?

b) Có hai nghiệm x x1, 2đều nguyên

Lời giải

2) a) Để phương trình có nghiệm kép

Khi m = 2 5 pt (1) ⇔ 2 + + =

⇔ x = − 5

Khi m = −2 5 pt (1) ⇔ 2 − + =

⇔ x = 5

b) Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔

 ≥



 ≤ −



2

20 0

2 5

Theo hệ thức Vi – et có:  + = −



1 2

1 2 5

Vì x1,x2 nguyên nên x1.x2 ∈{1; 1;5; 5− − }

Ta có bảng

1

2

Kết hợp điều kiện ⇒ m ∈{ }6; 6−

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( ) O , các đường caoBD CE, cắt nhau

tại H và lần lượt cắt ( ) O tại I và K

a) Tứ giác BDCE và ADHE là hình gì ?

b) Chứng minh : DE song song với IK và OA vuông góc với IK c) Khi A chuyển động trên cung lớn BC , chứng minh DE có độ dài không đổi và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

không đổi

d) Khi A chuyển động trên cung lớn BC , tìm vị trí của A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

a) Tứ giác AEHD có: + = 180o ⇒

AEH ADH Tứ giác AEHD nội tiếp

Tứ giác BCDE có: = = 90o ⇒

BEC BDC Tứ giác BCDE nội tiếp

x

I

M

K

I

D E

T H O A

B

C

b) Tứ giác BCDE nội tiếp ⇒CBD =CED (1)

Lại có CBD =CKI (2)

Từ (1) và (2) suy ra CED =CKI ⇒ ED//KI

Kẻ Ax là tiếp tuyến của ( )O ⇒ Ax ⊥ AO (*)

Ta có BAx = ACB (3)

Lại có BCDE nội tiếp ⇒ ACB = AED (4)

Từ (3) và (4) ⇒ BAx = AED ⇒ Ax//KI (**)

Từ (*) và (**) ⇒ KI ⊥ AO

x

I

M

K

I

D E

T H O A

B

C

c) Dễ chứng minh ∆AED ∆ACB g g( )

Mà BC không đổi nên cosBAC không đổi Suy ra ED không đổi

Kẻ đường kính AM của ( ) O

Ta chứng minh được BHCM là hình bình hành

Gọi giao điểm của HM và BC là I

Suy ra I là trung điểm của BC và HM Do đó I cố định

Chỉ ra OI là đường trung bình của ∆AHM ⇒ AH = 2.OI không đổi

Chỉ ra AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED Do

đó bán kin hs đường tròn ngoại tiếp ∆AED không đổi

x

I

M

K

I

D E

T H O A

B

C

d) Gọi giao điểm của HA và BC là T

Có ∆AED ∆ACB g g( )

2

2

AED

ACB

cos BAC

2

Mà BC không đổi nên cosBAC không đổi nên S AED lớn nhất khi AT

lớn nhất

⇔ AT là đường kính của ( )O

Mà AT ⊥ BC ⇒ A là điểm chính giữa của BC lớn

x

I

M

K

I

D E

T H O A

B

C

Bài 5 (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : = +

P

y x với x y, là các số dương thỏa mãn xy = 1

Lời giải

Vì xy = ⇒1 x y, ≠ 0

Ta có

( 1)

xy

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

+

4

1

x

x và + 1

4

x

ta có

2

x

+

4

2

1

y y

Nên:

2 2

1

P

y x dấu “=” xảy ra khi x = =y 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P =1 khi x = =y 1