Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút. Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K. 1) Chứng minh rằng: [r]
Trang 1Câu I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
2) Rút gọn biểu thức:
1
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 1 1 1 1
3x 1 2x 4 9x 2 5 4x
2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: x3 y 3 z 2
x y z
Câu III (2,0 điểm)
Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 15km/h Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng
B chạy sau A là 15 phút
Câu IV (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B) Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K
1) Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB
AK ANBK BM AB
3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất
Câu V (1,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12
2) Cho 0, 0, 0
1
xyz
Chứng minh rằng:
1
x y y z z x
- Hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: Giám thị 1 (Họ và tên, chữ ký):
SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)
Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2015
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)
Câu I (2,0 điểm)
Phần,
ý
1
4(3 5) 8(1 5) 15 5
3 5 2 2 5 3 5 5
0.5đ
2 2 2 1 2 2 2 1
0.5đ
1
; ĐK: a0,
1
0.5đ
2
Câu II (2,0 điểm)
Phần,
ý
3x 1 2x 4 9x 2 5 4x
(3 1)(2 4) (9 2)(5 4 )
0.25đ
3 3
5 5
x x
`
3 5 6 7 1 6
x x x
( Thỏa mãn)
Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên
0.5đ
Vì x, y nguyên dương nên x y 0, ta có 2 2
0
x xyy x y
2(x xy y x y) 0 (x y) (x 1) y 1 2
Trang 3+ Trường hợp 1: 2
2
0
( 1) 1
x y
y
+ Trường hợp 2: 2
2
1 0
1
2 ( 1) 1
x
x
y y
+ Trường hợp 3: 2
2
1 0
1
2 ( 1) 1
y
y
x x
Câu III (2,0 điểm)
Phần,
ý
Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0) 0.25đ
1 Thời gian B đã chạy là 6
12
x
Đổi 15p = 1
Thời gian A đã chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi là 6 3
Thời gian A đã chạy từ đỉnh đồi đến chỗ gặp nhau là
15
x
Ta có phương trình 1 6 3
4 12 15 5
x x
Câu IV (3,0 điểm)
Phần,
ý
E K I
M
N
1 Ta thấy ANBI BM, AI nên K là trực tâm tam giác IAB Do đó IKAB 1.0đ
Trang 42 Tương tự vì BEK∽ BMAnên BK BM BE BA. 0.25đ
60
sd MN nên tính được 0
60
AIB , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 0
60 dựng trên đoạn AB
0.5đ
Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam
giác IAB), khi đó I nằm chính giữa cung chứa góc 0
60 dựng trên đoạn AB tương ứng với MN song song với AB
0.5đ
Câu V (1,0 điểm)
Phần,
ý
Vì p lẻ nên (p 1) 2 2(p 1) 4(1)
Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết
cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên (p 1) 3(2)
0.25đ
Từ (1) và (2) suy ra p (p 2) 12 (đpcm)
2 Đặt
3
3
3
x a
y b
z c
, vì , , 0
1
x y z xyz
, , 0 1
a b c abc
0.25đ
Ta có
c
Do đó 1
1
c
x y a b c
0.25đ
Tương tự ta có 1
1
a
y z a b c
1 1
b
z x a b c
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm
* Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng