1) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn GS. Biết tia phân giác của góc [ CAB cắt cạnh BC tại điểm D, tia phân giác của góc [ ABC cắt cạnh AC tại điểm E, tia phân [r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI Mục lục
1.1 Năm 2013 1
1.2 Năm 2011 2
1.3 Năm 2010 2
1.4 Năm 2007 3
2 Môn Toán chung 3 2.1 Năm 2013 3
2.2 Năm 2011 4
1 Môn Toán chuyên 1.1 Năm 2013 Câu 1 (1,5 điểm) 1) Giải phương trình x4− x3 − x − 1 = 0 (với (x ∈ R) 2) Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 − x − 1 = 0 Tính giá trị biểu thức (x1− x2)[(x1)3− (x2)3] Câu 2 (1,5 điểm) 1) Cho k là số thực lớn hơn 1 2 Chứng minh rằng: 1 (2k − 1)√ 2k + 1 + (2k + 1)√ 2k − 1 = 1 2 · 1 √ 2k − 1 −√ 1 2k + 1 2) Rút gọn F = 1 1√ 3 + 3√ 1+ 1 3√ 5 + 5√ 3 + 1 5√ 7 + 7√ 5 + · · · +
1
97√
99 + 99√
97.
Câu 3 (2 điểm) Giải hệ phương trình
1
x + y = 2
x2+ 2
y = 3
(với x ∈ R và y ∈ R)
Câu 4 (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa a2+ b2− ab = c2+ d2− cd Chứng minh (a + b)2− (c + d02 = 3(ab − cd) Chứng minh a + b + c + d là hợp số
Câu 5 (1 điểm) Cho đa giác GHM N P QRST U V W (với đa giác nếu không chú thích gì thêm thì hiểu là đa giác lồi )
1) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn GS
2) Tính số 10-giác (đa giác có 10 đỉnh), biết các đỉnh thuộc tập hợp:
{G, H, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, W }
Câu 6 (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc [CAB, [ABC, [BCA đều là góc nhọn Biết tia phân giác của góc [CAB cắt cạnh BC tại điểm D, tia phân giác của góc [ABC cắt cạnh AC tại điểm E, tia phân giác của góc \ADB cắt đoạn BE tại điểm K, tia phân giác của góc \ADC cắt đường thẳng BE tại điểm L
Trang 21) Chứng minh tứ giác AKDL là tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDL là trung điểm đoạn KL
2) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI Chứng minh rằng các điểm B, I, J thẳng hàng
Câu 1 (2 điểm) Cho phương trình: x2 − 20x − 8 = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho (với x1 > x2) Tính giá trị biểu thức M = x1
3
√
x2
+ x2
3
√
x1
Câu 2 (2 điểm) Giải hệ phương trình: x3+ 2xy = −5
y3+ xy = 6 Câu 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P ) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình y = 2x2 và y = 4x + 6 Gọi E là điểm thuộc parabol (P ) có hoành
độ bằng −2 Gọi F, G là các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P ), biết F có hoành
độ âm, G có hoành độ dương Vẽ hình bình hành EF GH Xác định tọa độ của điểm H Chứng minh điểm H không thuộc parabol (P )
Câu 4 (1 điểm) Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) là số nguyên tố
Câu 5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có các góc [ABC, [BCA, [CAB đều là góc nhọn Biết D
là trực tâm của tam giác ABC Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC, gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DCA
1) Chứng minh tam giác CIJ là tam giác cân
2) Chứng minh IJ = AB
Câu 1 (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 + 5x + 1 −√
5 = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho (với x1 > x2) Tính giá trị biểu thức T = (x1+ 2)(x2+ 3)
Câu 2 (2 điểm) Giải các hệ phương trình:
1) 2x + y = 3xy
1
x +
2
y = 3 4x2+ y2 = 5 Câu 3 (2 điểm) Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm M (−4; −1), N
5;7 2
và parabol (P ) có phương trình y = 1
2x
2 1) Xác định tọa độ các giao điểm E và F của đường thẳng M N với parabol (P ) biết E có hoành độ âm, F có hoành độ dương
2) So sánh M E và N F
Câu 4 (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên u và v sao cho: u(u + 1) = v2
Câu 5 (3,5 điểm) Cho tam giác vuông ABC có I là trung điểm của cạnh huyền BC Trên tia đối của tia BA lấy điểm D (với D không trùng B) Gọi J là trung điểm của đoạn BD Vẽ DH⊥BC (với điểm H thuộc đường thẳng BC) Gọi K là trung điểm của đoạn CD
1) Chứng minh BA.BD = BC.BH
2) Chứng minh tứ giác AIJ H là tứ giác nội tiếp đường tròn
3) Chứng tỏ điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIJ H
Trang 31.4 Năm 2007
Câu 1 (1,5 điểm) Giải phương trình x(√3
x) − 22(√3
x2) + 49 = 0
Câu 2 (1,5 điểm) Cho đa thức Q(x) = 2x3− (2m + 3n)x2+ nx + 3 (biến số là x) Tìm m và
n sao cho Q(x) chia hết cho (1 + 2x) và biết x =√
3 là một nghiệm của Q(x)
Câu 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P ) và hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình y = 1
3x
2
, 8x + 3y = −12, 2x − 3y = −3 Chứng minh các giao điểm của (P ) với (d1) và của (P ) với (d2) tạo thành bốn đỉnh một hình thang
Câu 4 (1,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên k = u
v +
v
u (với u và v là số nguyên).
Câu 5 (1,5 điểm) Cho tam giác vuông ABC có AB > AC và I là trung điểm của cạnh huyền BC; biết D là điểm thuộc cạnh AB (với D không trùng A và D không trùng B), gọi M là điểm đối xứng của D qua BC, gọi N là điểm đối xứng của D qua I Chứng minh các điểm
B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn
Câu 6 (2,5 điểm) Cho tam giác đều EF G có EF = a
1) Tính theo a thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác EF G một vòng quanh cạnh
EF
2) Xác định các điểm E1, F1, G1 lần lượt thuộc đoạn F G, đoạn GE, đoạn EF sao cho tam giác E1F1G1 là tam giác đều và có diện tích nhỏ nhất
2 Môn Toán chung
Câu 1 (1,5 điểm)
1) Giải phương trình x4+ x2− 12 = 0 (với (x ∈ R)
2) Giải hệ phương trình 2x − 3y = −5
7x + 11y = −23
Câu 2 (1 điểm) Cho biểu thức P =
√
a2pa + 2√
a − 1 +pa − 2√
a − 1
√
a2− 2a + 1 (với a ∈ R và
a ≥ 2)
1) Rút gọn biểu thức P
2) Chứng minh rằng nếu a là số thực và a ≥ 2 thì P ≥ 4
Câu 3 (1 điểm) Cho phương trình x2+ 2x − 2m = 0 (với x là ẩn số thực, m là tham số thực) 1) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
2) Cho m là số thực dương Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, biết x1 > x2 Tính U = 1
x1 − 1
x2 theo m.
Câu 4 (1,5 điểm) Cho các hàm số y = 2x2 có đồ thị là (P ), y = kx − 2 có đồ thị là d (với k
là tham số thực)
1) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số đã cho
2) Tìm k để điểm M (xM; yM) thuộc cả hai đồ thị (P ) và d đã cho, biết yM = 2 và xM > 0 Câu 5 (1,5 điểm) Nếu cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể (chưa có nước) trong thời gian
1 giờ 12 phút thì đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 20 phút và vòi thứ hai chảy trong
45 phút thì được 5
12 bể Tính thì gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể.
Trang 4Câu 6 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A, C không trùng B Lấy điểm D thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O), với D không trùng B, D không trùng C Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B cắt các đường thẳng AC, AD theo thứ tự tại các điểm M, N
1) Chứng minh tứ giác CDN M là tứ giác nội tiếp đường tròn
2) Chứng minh AD.AN = AC.AM = 4R2
3) Vẽ đường kính CE của đường tròn (O) Vẽ đường kính CF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDN M Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng
Câu 1 (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình x + y2 = 3
2x − y2 = 0 2) Tính: P =
√
7 −p8 − 2√
7
Câu 2 (2,5 điểm) Giải phương trình:
1) x +√
x − 1 = 7 2) x3+ 5x − 6 = 0
Câu 3 (2,5 điểm)
1) Chp parabol y = x2 (P ) và đường thẳng y = (1 − m)x + m + 2 (d), với m là tham số Chứng minh với mọi giá trị của m, parabol (P ) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
2) Hai bạn Thi và Đua cùng tham gia một buổi trồng cây Cuối buổi, Thi nói với Đua: "Tôi trồng ít cây hơn bạn Nếu tôi trồng thêm 2
3 số cây bạn đã trồng thì tôi đã trồng được 15 cây; còn nếu bạn trồng thêm bằng số cây của tôi thì số cây của bạn vẫn ít hơn 20 cây" Hỏi mỗi người đã trồng được bao nhiêu cây?
Câu 4 (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường tròn tâm O0, bán kính r cắt nhau tại A và B Biết rằng OA vuông góc với O0A
1) Tính AB
2) Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O) ở P , đường tròn O0 ở Q Tính AQ, biết rằng
AP = R√
3