- Nếu thí sinh làm bài đúng theo cách khác với đáp án dưới đây vẫn cho điểm tối đa.. Gọi D, E lần lượt là ảnh của M, C qua phép tịnh tiến[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút
2
cos cos 1 cos 2 tan
cos
x
a) Giải phương trình (1)
b) Tìm các nghiệm của phương trình (1) thuộc đoạn [ 1;70 ] Tính tổng các nghiệm đó
Câu 2 (2 điểm): Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
2
m x + = + x
Câu 3 (2 điểm): Cho dãy số { } un xác định bởi
1
1
3
2 1
, 1.
1 1 2
n n
n
u
u
u
+
=
Tìm u2003
Câu 4 (1,5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD và M là điểm bên trong tứ giác sao cho ABMD là
hình bình hành Chứng minh rằng nếu CBM · = CDM · thì · ACD = BCM ·
Câu 5 (2,5 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của
các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’
Chứng minh rằng ( IKG ) ( / / BB C C ' ' ) và ( A KG ' ) ( / / AIB ' )
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Chữ kí giám thị:
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang)
I Hướng dẫn chung
- Nếu thí sinh làm bài đúng theo cách khác với đáp án dưới đây vẫn cho điểm tối đa
- Điểm từng bài thi được chấm lẻ tới 0,5 điểm
II Đáp án và thang điểm
1
Điều kiện cos 0 ,
2
x≠ ⇔ ≠ + π ∈¢ x π k k
Phương trình đã cho tương đương với
cos 2x−tan x= −1 cosx− +1 tan x
2
cos 2x cosx 0 2 cos x cosx 1 0
2 cos 1
2 , 1
2 cos
3 2
x
x
= π + π
= −
¢
1,0
Vậy phương trình có 33 nghiệm trên đoạn [1; 70]
0,5
Ta có 0 ; 1 2 ; 2 2.2 ; ; 32 32.2
Do đó tổng các nghiệm là ( )2
33 1 2 32 11 352 363
π+ + + + π= π + π = π
0,5
2
Phương trình tương đương với
2
2 8
x m x
+
= + Xét hàm số
0,5
Lập bảng biến thiên của hàm số
Trong đó có tính toán đúng các giới hạn lim ( ) 1, lim ( ) 1
→−∞ = − →+∞ = và ( ) 6
4 2
0,75
Trang 3Từ bảng biến thiên ta có
1 m 1
− < ≤ : Phương trình có 1 nghiệm duy nhất
6 1
2
m
< < : Phương trình có 2 nghiệm
6
2
m= : Phương trình có 1 nghiệm (kép)
0,75
3
2
1 cos
2 1 4
1 cos
4
π
−
+
0,5
Bằng quy nạp ta chứng minh tan ( 1 tan)
n
Với n = 2 ta có 2 1
1
tan tan tan
3 8
1 tan 1 tan tan
u u
u
0,5
Giả sử bài toán đúng đến n = k, tức là tan ( 1 tan)
k
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k+1
Ta có
1
k k
k
k u
+
+ − +
0,5
Vậy tan ( 1 tan)
n
3 1
u = π+ π= π π+ = + = − +
0,5
Xét phép tịnh tiến theo véc tơ BAuuur Gọi D, E lần lượt là ảnh của M, C qua phép tịnh tiến
này Ta có ·DAE=MBC· =MDC· =·ECD nên tứ giác DAEC nội tiếp
1,0
Trang 44
5
Dễ thấy KI/ /CC (1) '
Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của CC’ suy ra
AN = AM = AN = AM ⇒ (2)
Từ (1) và (2) suy ra (IKG) // (BCC’B’)
1,0
Ta có AI // A’K (3); CP nằm trong mặt phẳng (A’KG) và B’M nằm trong (AIB’) mà CP //
B’M (4) nên từ (3) và (4) suy ra (A’KG) // (AIB’)
1,0
Hình vẽ
0,5