(GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN)a. Câu 1.[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
——————— * ———————
BÀI TẬP:
TOÁN CAO CẤP 2
Hà Nội - 2019
Trang 2BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 1
(GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính các giới hạn sau:
a lim
x →+ ∞3x
√
x2+1−x
b lim
x → 1
x15−2x+1
x10−3x+2.
c lim
x → 0
e2x−e3x sin 7x−sin 8x.
d lim
x → 0
sin x
x
3 sin x 2x − sin 2x
e lim
x → 0
√
3x+1.√3 5x+1−1
2x
f lim
x → 0
x2
√
1+x sin 2x−1.
g lim
x → 0
ln cos 2x
ln cos 3x.
h lim
x → ∞
3+x
5+x
4 − 3x
k lim
x →+ ∞
p3
x3+2x2−1−x.
Câu 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a f(x) =
|x| +sin 3x 2x nếu x 6= 0
a nếu x =0
b f(x) =
√
7x+1−1
e7x −1 nếu x < 0 1
2 nếu 0≤ x ≤2
x2−4x+1 nếu x > 2
Câu 3. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x= 5 :
f(x) = 1
1+ex −15
Câu 4. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x= 2 :
f(x) =
√
3x−2−2
x2−4 nếu x 6= 2
a nếu x =2
Câu 5. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x= 0:
f(x) =
√
5x+1−√3
3x+1
x , x 6= 0
Câu 6. Tìm m, n để hàm số sau liên tục trên miền xác định
f(x) =
x−5, nếu x ≤1
mx2 +nx, nếu 1< x <3
Trang 3Câu 7. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x=0 :
f(x) =
√
2ax+1−√2bx+1
x nếu x 6= 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2
(ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
a y = 5x2−1
2x+1.
b y = (5x2−3x)e2x
c y = 7x2 −5
x+3 với n ≥2
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số:
a f(x) = 2x|x|
b y = a
b
x b x
ax a
b
, a >0, b > 0, x >0
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số:
a y = 3x+2
x
5x
b y =p4+2x2x
Câu 4. Cho hàm số f(x) = x(x−1)(x−2) (x−2020) Tính f0(0)
Câu 5. Cho hàm số f(x) = (x2+3x−1)sin 2x Tính f0(x)
Câu 6. Tính đạo hàm cấp 10 của hàm số : y =e−5x(3x2 +5x+1)
Câu 7. Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y= (5x−1)sin 5x
Câu 8. Dùng vi phân tính gần đúng giá trị biểu thức:
• A =arctan 1, 03 • B = √3
1, 04
Câu 9. Khai triển Taylor hàm số
a f(x) = x4 −3x3−5x2+3x+1 trong lân cận điểm x0 = 2
b f(x) =3+2x−7x2+e−nx, n ∈ N theo lũy thừa nguyên dương của(x−1), đến (x−1)4
c f(x) = 1
x2−5x+6, tại x0 = 1 đến cấp n.
Câu 10. Tìm khai triển Macloranh đến cấp 5 của hàm số
f(x) = 1+x−3x2+2
3x
3 +e2x
Trang 4BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 3
(TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN)
Câu 1. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng
• I =
+ ∞ Z 3
dx
3
√
x4−1.
• J =
+ ∞ Z 2
dx
√
1+x.√3 1+x2
• K =
+ ∞ Z 3
dx
e−x √
x−1
• L =
+ ∞ Z 2
dx
x3−8.
• M =
+ ∞ Z 0
arctanx
x(2x+3)dx
• N =
3 Z 2
dx
x2+x−6.
• P =
2 Z 1
dx
x√x2−1.
• Q =
1 Z 0
e
√
x −1
x(x+1)dx
• R =
+ ∞ Z 3
dx
x2+x−6.
• S =
2 Z 1
dx
3
√
x4−1.
• T =
+ ∞ Z 0
dx
√
x(1+x2)
• H =
+ ∞ Z 1
dx
x√1+x2
Câu 2. Tính tích phân suy rộng
• I =
π/2 Z 0
dx cos x.
• J =
+ ∞ Z 2
dx
x2−1.
• K =
∞ Z 1
dx 5x2+1.
Câu 3. Tính độ dài cung parabol y = x2 nối điểm A(0, 0)và điểm B(1, 1)
Trang 5BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 4
(CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM)
Câu 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số
a
∞
∑
n = 1
e1/n−1ln
√
n+2
√
n . b
∞
∑
n = 1
3n+4n
7n c
∞
∑
n = 1
nn n!. d
∞
∑
n = 1
3n+2 3n−1
n2
e
∞
∑
n = 1
2.4.6 (2n)
nn .
f
∞
∑
n = 1
3n+2 5n−1
n2
g
∞
∑
n = 1
2n−sin 5n+1 3n+1+√
n
n
h
∞
∑
n = 1
21/n−1
√
n . k
∞
∑
n = 1
n−1
2n+1
n + 1
l
∞
∑
n = 1
(n+2)
53n + 4
2
Câu 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
a
∞
∑
n = 1
(x−3)n
n×2n b
∞
∑
n = 3
2n 2n−2
n
(x+5)n
c
∞
∑
n = 1
(x−1)n (n2 +1)5n
d
∞
∑
n = 1
n−1
n+1
n + 1
x2n
e
∞
∑
n = 3
n+1 2n+1
n
(x−3)2n