chuyên đề toán thpt luyện thi chất lượng cao môn toán

Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ..[r]

Ph¬ng tr×nh , BÊt ph¬ng tr×nh v« tØ Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2

x x

9(1 4 ) (4 3)

x x

x x

x x

10

2

x x

C¸ch 2:

- XÐt 2 TH:

21

21

5 10 1 0

5 2 55

 y’(0)=1>0 nên hàm số ĐB

 Giới hạn

     

 

    



2

lim 1

x

x y

y

 BBT

x -∞ +∞

y’ +

y 1

-1 Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1 Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực 2 x  1 x m Giải: - Đặt t x1;t0 Phơng trình đã cho trở thành: 2t=t2-1+m m=-t2+2t+1 - Xét hàm số y=-t2+2t+1; t 0; y’=-2t+2 ≥ x 0 1 +∞

y’ + 0

-y 2

1 -∞

- Theo yêu cầu của bài toán đờng thẳng y=m cắt ĐTHS khi m≤2 Bài 5: Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm dơng:

x  x  m x x .

Giải:

- Đặt

2

2

2

4 5

x



- Nếu phơng trình (1) có nghiệm t1; t2 thì t1+ t2 =-1 Do đó (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t≥1.

- Vậy phơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm t(1; 5).

- Đặt g(t)=t2+t-5 Ta đi tìm m để phơng trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t(1; 5).

f’(t)=2t+1>0 với mọi t(1; 5) Ta có BBT sau:

t

1 5g’(t) +

4'( ) 0, 0; 2 ( ) 0; 2

( 2)Suy ra min ( ) ( 2 ) 2 1; ma x ( ) (0) 1

t t

( 2)

y t

y

3 14



Từ Bảng biến thiên ta có m≤

3 14

 Bài 8: Tìm m để phương trình 3x 6 x (3x)(6 x)m có nghiệm.

t t



Bài 9: Cho bất phương trình

21

Đặt t (4 x)(2x)  x22x8;t[0;3] Bất phương trình trở thành:

1

4

t  a t  a t t

.(2) (1)ghiệm  (2) có nghiệm mọi t[0;3] đường thẳng y=a nằm trên ĐTHS

y=t2-4t+10 với t[0;3]

y’=2t-4; y’=0t=2

t 0 2 3

y’  - 0 + 

y 10 7

6

Vậy m≥10 Bài 10: Cho phương trình x4x2 x m x( 21)2 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Phương trình đã cho tương đương 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 4 ( 1) 4 2 2 4 2 ( ) 4 (1 ) (1 ) 1 1 x x x x x x x x m m m x x x x               Đặt t= 2 2 1 x x  ; t[-1;1] Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t[-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t[-1;1] Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t[-1;1] t -1 1

f’ 0 + 

f 3

-1

Từ BBT -1≤4m≤3

4 m 4

   

.

HUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Bình phương 2 vế của phương trình

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3x 1 2x2  4x x3

sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2 Giải phương trình sau :

3

21

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x212 5 3  x x25

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

3

x   x   x   x

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

x 2  A x 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

Bài 5 Giải phương trình : 2x2  x 1 x2 x 1 3x

Ta thấy : 2x2 x 1  x2 x1 x22x

, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt

1

t x

+ x 0, không phải là nghiệm

Biến đổi phương trình về dạng :A k B k

Bài 1 Giải phương trình : 3 xx 3x

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x  và chú ý điều kiện của t

nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến tquan trọng hơn ta có thể giải được

phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” Nói chung những phương trình mà có thể

đặt hoàn toàn tf x  thường là những phương trình dễ

Thay vào tìm được x 1

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Giải

Điều kiện:

45

x 

Đặt t  4x5(t 0) thì

2 54

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 và x 2 3

Ta được: x x2(  3)2  (x 1)2 0, từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y 3 4x5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Bài 6 Giải phương trình : x23 x4 x2 2x1

Giải: x 0 khơng phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi

phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) bằng cách

Như vậy phương trình Q x  P x 

có thể giải bằng phương pháp trên nếu

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x2 2 2x 4 x41

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at2bt c 0 giải “ nghiệm đẹp”

Bài 1 Giải phương trình : 2x22 5 x31

1 52

Nhưng may mắn ta có : x2 x 20 x1  x4 x 5 x1  x4 x2 4x 5

Ta viết lại phương trình: 2x2 4x 53x4 5 (x2 4x 5)(x4)

Đến đây bài toán được giải quyết

Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Từ một phương trình đơn giản :  1 x 2 1x  1 x 2 1x 0

, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3 Giải phương trình sau : 4 x 1 1 3 x2 1 x 1 x2

Giải:

Nhận xét : đặt t  1 x, pttt: 4 1x 3x2t t 1x (1)

Ta rút x 1 t2 thay vào thì được pt: 3t2 2 1x t 4 1 x1 0

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t  2 1x2 48 x 1 1

không

có dạng bình phương

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  1 x 2, 1x2

Cụ thể như sau : 3x1 x 2 1 x thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x4 4 2  x  9x216

Giải

Bình phương 2 vế phương trình: 4 2 x4 16 2 4  x2 16 2  x 9x216

Ta đặt : t  2 4  x2 0

Ta được: 9x2 16t 32 8 x0

Ta phải tách 9x2 2 4  x2 9 2  x2 8

làm sao cho t có dạng chính phương

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải

nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

22

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u  x v,   x và tìm mối quan hệ giữa   x và   x từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1 Giải phương trình: x325 x x3 325 x3 30

 , giải hệ này ta tìm được

( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Bài 2 Giải phương trình:

4 4

Đặt

4 4

2

4

11

22

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :

2 2

dạng sau : đặt y  ax b , khi đó ta có phương trình :  x  2 a ax b b 

Tương tự cho bậc cao hơn :  n a n

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :  x n p a x b n '  '

v đặt y n ax b để đưa về hệ , chú ý về dấu của  ???

Việc chọn  ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : x n p a x b n '  ' là chọn được

Bài 1. Giải phương trình: x2 2x2 2x 1

Điều kiện:

12

x 

Ta có phương trình được viết lại là: (x 1)2 1 2 2 x1

Đặt y 1 2x 1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y )(  ) 0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Bài 6 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Giải

Điều kiện

54

x 

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2 12x 2 2 4 x5  (2x 3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta được hệ phương trình sau:

2 2

(2 3) 4 5

( )( 1) 0(2 3) 4 5

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 2; 1 3}

Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?

D ạng hệ gần đối xứng

Ta xt hệ sau :

2 2

(1)(2 3) 3 1

 đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải

hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Bài 1 Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1 0

Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :

thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được

Để thu được hệ (1) ta đặt : y  3x1 , chọn  , sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )

Ta có hệ :

2 2

Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm xy

( )(2 2 5) 0(2 3) 3 1

Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay  ; bằng cách viết lại phương trình

ta viết lại phương trình như sau: (2x 3)2  3x  1 x 4

khi đó đặt 3x 1 2y3 , nếu đặt 2y 3 3x1 thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của  cùng dấu với dấu trước căn

Nếu từ (2) tìm được hàm ngược yg x  thay vào (1) ta được phương trình

Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được

Một số phương trình được xây dựng từ hệ

Giải các phương trình sau

Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

1 Dùng hằng đẳng thức :

 Từ những đánh giá bình phương : A2B20, ta xây dựng phương trình dạng A2B2 0

Ta có : 1x 1 x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x 0 và

 Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài

nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được

Bài 1 Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):

21

51

10 16 10

5

x x

3 Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học

3.1 Dùng tọa độ của véc tơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: ux y1; 1, vx y2; 2 khi đó ta có

, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos  1 u  v

3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác

 Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có

MA MB MC OA OB OC     với O là tâm của đường tròn Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M O

 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 1200

1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu

 Dựa vào kết quả : “ Nếu yf t  là hàm đơn điệu thì f x f t   x t ” ta có thể xây dựng đượcnhững phương trình vô tỉ

Xuất phát từ hàm đơn điệu : yf x  2x3x21 mọi x 0 ta xây dựng phương trình :

thì bài toán sẽ khó hơn 2x37x25x 4 2 3 x 1 3x 1

Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?

Bài 3 Giải phương trình :36x 1 8x3 4x 1

V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

 Với mỗi số thực x có

;

2 2

t    

  sao cho : xtant

 Nếu : x,y là hai số thực thỏa: x2y2 1, thì có một số t với 0 t 2 , sao cho

hoặc xcosy với y0; 

 Nếu 0 x 1 thì đặt sin t x, với

Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện xf t  thì phải đảm bảo với mỗi x có duy nhất một t, và

điều kiện trên để đảm bào điều này (xem lại vòng tròn lượng giác )

2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?

Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos3t sint, ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : cos3t 4cos3t 3cost ta có phương trình vô tỉ: 4x3 3x 1 x2 (1)

Nếu thay x bằng

1

x ta lại có phương trình :4 3 x2 x2 x2 1 (2)Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó:

4x  12x 9x 1 2x x (3)

Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?

Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác

1 2cos

x x

x 

3) x3 3x x2 HD: chứng minh x 2

vô nghiệm

Bài 3 Giải phương trình sau: 3 6x 1 2x

Giải: Lập phương 2 vế ta được:

có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình

Bài 4 Giải phương trình

2

2

11

Khi đó ptt:

2

cos 01

2

t t

2

2

11

1

2 2 1

x x

Khi đó pttt.2sin cos2t tcos2t1 0  sin 1 sint  t 2sin2t 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm

13

2008x  4x 3 2007 4x 3

3 2x  1 1 x 1 3 x8 2x 12

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x23x 2  2m x x  2

Bài 3: Cho phương trình: x2 1 x m

-Giải phương trình khi m=1

-Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 4: Cho phương trình: 2x2mx 3 x m

-Giải phương trình khi m=3

-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.

-Nếu bài toán có chứa f x( ) và f x( ) khi đó đặt t  f x( ) (với điều kiện tối thiểu là t 0 đối với các

phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).

-Nếu bài toán có chứa f x( ), g x( ) và f x( ) g x( ) k (với k là hằng số) khi đó có thể đặt :

-Nếu bài toán có chứa x2 a2 thì đặt sin

a x

Bài 1: Giải phương trình:

m  

-Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình: 2x2 2x  x2 2x 3 m0

-Giải phương trình với m = 9

-Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau

x   x  x  x 

Từ một phương trình đơn giản :  1 x 2 1x  1 x 2 1x 0

, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3 Giải phương trình sau : 4 x 1 1 3 x2 1 x 1 x2

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  1 x 2, 1x2

Cụ thể như sau : 3x1 x 2 1 x thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x4 4 2  x  9x216

làm sao cho t có dạng chình phương

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a) (4x1) x3 1 2x32x1 b) x2 1 2 x x2 2x

c) x2 1 2 x x22x d) x24x(x2) x2 2x4

3 Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.

a) Dạng thông thường: Đặt u  x v,   x và tìm mối quan hệ giữa   x và   x từ đó tìm được hệ

theo u,v Chẳng hạn đối với phương trình: m a f x  m b f x  c

ta có thể đặt:

 

 

m m

Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa

mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn  ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 2: Xét hàm số yf x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x 0  f x( )f x( )0 k do đó x0 là nghiệm

 Với x x 0  f x( ) f x( )0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Với x x 0  f x( ) f x( )0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )g x( )

cho f x( )0 g x( )0

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( )f v( )