chuyên đề toán thpt luyện thi chất lượng cao môn toán

[r]

Chuyên đề:

phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình

và hệ bất phơng trình

Phần I: Phơng trình vô tỉ

Ph

ơng pháp 1:Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:

1/ f x    g x   

 

  2 











2/ f x    g x    h x  

Bình phơng hai vế 1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x 17 8x 23   

2-(ĐH Cảnh sát -1999) x2  x2  11 31 

3-(HVNHHCM-1999)  x2  4x 2 2x  

4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt:

2

m  x  3x 2   x

5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2  mx 2   2x 1 

6-(ĐGKTQD-2000) 5x 1   3x 2   x 1 0  

7-(ĐHSP 2 HN) x x 1     x x 2     2 x2

8-(HVHCQ-1999) x 3   2x 1   3x 2 

9-(HVNH-1998) 3x 4   2x 1   x 3 

10-(ĐH Ngoại thơng-1999) 3 x x   2  2 x x   2  1

Ph

ơng pháp 2: ph ơng pháp đặt ẩn phụ:

I-Đặt ẩn phụ đ a pt về pt theo ần phụ:

Dạng 1: Pt dạng:

ax  bx c   px  qx r  trong đó

p  q

Cách giải: Đặt

2

t  px  qx r  ĐK t 0 

1-(ĐH Ngoại thơng-2000)  x 5 2 x       3 x2  3x

2-(ĐH Ngoại ngữ -1998)  x 4 x 1       3 x2  5x 2 6  

3-(ĐH Cần thơ-1999)

2

(x 1)(2 x) 1 2x 2x     

4- 4x2  10x 9 5 2x   2  5x 3  5- 18x2  18x 5 3 9x   3 2  9x 2 

6- 3x2  21x 18 2 x   2  7x 7   2

Dạng 2: Pt Dạng: P(x)   Q(x)   P(x).Q(x)  0    0 

Cách giải: * Nếu P x    0

 

 

pt









* Nếu P x    0

chia hai vế cho P x  

sau đó đặt

 

 

Q x t

P x



t 0 

1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 x     4 2  1

2- 2 x  2  3x 2    3 x3  8

3- 2 x  2  2   5 x3  1

Dạng 3: Pt Dạng :

Cách giải : Đặt t  P x    Q x    t2  P x    Q x    2 P x Q x    

1-(ĐHQGHN-2000)

2

2

3

2-(HVKTQS-1999) 3x 2   x 1 4x 9 2 3x     2  5x 2 

3-(Bộ quốc phòng-2002) 2x 3   x 1 3x 2 2x    2  5x 3 16  

4- 4x 3   2x 1 6x    8x2  10x 3 16  

5-(CĐSPHN-2001) x 2   x 2   2 x2  4 2x 2  

Dạng 4 : Pt Dạng: a cx   b cx d a cx b cx          n

Trong đó a, b,c,d,n là các hằng số ,c 0,d 0  

Cách giải : Đặt t  a cx   b cx( a b     t 2 a b   

1-(ĐH Mỏ-2001) x  4 x  2   2 3x 4 x  2

2- 3 x   6 x    3 x 6 x       3

3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt:

x 1   3 x   x 1 3 x    m

a/ Giải pt khi m 2  b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm

4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x   8 x   (1 x)(8 x)    a

a/Gpt khi a 3  b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm

5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm

x 1   3 x   (x 1)(3 x)    m

6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1   4 x   (x 1)(4 x) 5   

Dạng 5: Pt dạng:

x a   b 2a x b    x a   b 2a x b    cx m 

Trong đó a, b,c, m là hằng số a  0

Cách giải : Đặt t  x b  ĐK:t 0  đa pt về dạng:

2

t a    t a  c(t  b) m 

1-(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2     x 1 2 x 2 1    

2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1    x 2 x 1 2   

3-(ĐHCĐ KD-2005) 2 x 2 2 x 1     x 1 4  

4-(ĐH Thuỷ sản -2001)

x 5

2



5-

x 3

2



6- Xét pt:

x m

6



a/ Giải pt khi m 23  b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm

II-Sử dụng ẩn phụ đ a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số :

1- 6x2  10x 5    4x 1 6x   2  6x 5 0  

2-(ĐH Dợc-1999)  x 3 10 x    2  x2  x 12 

3-(ĐH Dợc-1997) 2 1 x    x2  2x 1 x   2  2x 1 

4-  4x 1   x2   1 2x2  2x 1 

5- 2 1 x    x2    x 1 x2  3x 1 

6-(ĐHQG-HVNH KA-2001)

x  3x 1 (x 3) x     1

III-Sử dụng ẩn phụ đ a về hệ pt:

Dạng 1: Pt Dạng:

x   a b bx a 

Cách giải: Đặt

n

y  bx a  khi đó ta có hệ:

n

n







1-(ĐHXD-DH Huế-1998) x2  1  x 1 

2- x2  x 5 5   3- x2  2002 2002x 2001 2001 0   

4- (ĐH Dợc-1996) x3   1 2 2x 13 

Dạng 2: Pt Dạng: ax b   r ux v   2  dx e 

trong đó a, u, r 0 

Và u ar d, v br e    

Cách giải: Đặt uy v   ax b  khi đó ta có hệ:

2

2







1-(ĐHCĐ KD-2006) 2x 1 x   2  3x 1 0  

2- 2x 15 32x   2  32x 20  3- 3x 1   4x2  13x 5 

4- x 5   x2  4x 3  5- x2  2 x 2  

6- x 1 3 x x     2

Dạng 3: PT Dạng: n a f x    m b f x     c

Cách giải: Đặt u n a f x , v    m b f x   

khi đó ta có hệ:

u v c







1-(ĐHTCKT-2000) 3 2 x 1    x 1 

2- 3 x 34   3 x 3 1   3- 3 x 2   x 1 3  

4- 4 97 x  4 x  5 5- 418 x   4 x 1 3  

Ph

ơng pháp 3: Nhân l ợng liên hợp:

Dạng 1: Pt Dạng: f x     a f x    b

Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ:





1- 4x2  5x 1   4x2  5x 7 3   2- 3x2  5x 1   3x2  5x 7   2

3- 3- (ĐH Ngoại thơng-1999 )

3 x x    2 x x    1

4-(ĐH Thơng mại-1998) x2  3x 3   x2  3x 6 3  

5-(HVKTQS-2001)

1

x 4   x 2   x 2   x 

Dạng 2: Pt Dạng: f x    g x    m f x     g x   

1-(HVBCVT-2001)

x 3

5



2-(HVKTQS-2001) 3(2  x 2) 2x    x 6 

Ph

ơng pháp 4:Ph ơng pháp đánh giá:

1- x 2   4 x   x2  6x 11  2- x2   x 1  x x  2   1 x2  x 2 

3-(ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000) 4x 1   4x2  1 1 

4-(ĐH Nông nghiệp-1999) x2  2x 5   x 1 2  

Ph

ơng pháp 5:Ph ơng pháp đk cần và đủ:

1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x  2 x   m

2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5   9 x   m

3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 x  41 x   x  1 x   m

Ph

ơng pháp 6: Ph ơng pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm)

1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm :

m 1 x   2  1 x  2  2   2 1 x  4  1 x  2  1 x  2

2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm :

1*/ 4 x  2  mx m 2   2*/ x 1   x 1   5 x   18 3x   2m 1 

3 (ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:

3 x 1 m x 1 2 x     4 2  1

4-(ĐHCĐKB-2007) CMR m 0  pt sau có 2nghiệm pb:x2  2x 8   m(x 2) 

5- 1*/ x  x 5   x 7   x 16 14  

2*/ x 1   x3  4x 5  3*/ 2x 1   x2    3 4 x

6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: x2  2x 4   x2  2x 4   m

Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ

Phơng pháp 1: Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:

1/

2

g(x) 0

f (x) 0

f (x) g(x)

g(x) 0

f (x) g (x)



 







 



 

g(x) 0

f (x) g (x)









3/ f (x)  g(x)  h(x) Bình phơng hai vế bpt

1-(ĐHQG-1997)  x2  6x 5 8 2x   

2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x   

3-(ĐH Luật 1998) x 2x  2    1 1 x

4-(ĐH Mỏ-2000) (x 1)(4 x)    x 2 

5-(ĐH Ngoại ngữ) x 5   x 4   x 3 

6-(ĐHCĐKA-2005) 5x 1   x 1   2x 4 

7-(ĐH Ngoai thơng-2000) x 3   2x 8   7 x 

8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) x 2   3 x   5 2x 

9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1   4x 1 3 x  

10-(ĐHBK -1999) x 1 3    x 4 

11-(ĐHCĐ KA-2004)

2

x 3

Ph ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t ơng đ ơng

1/

f (x) 0

f (x)

0

g(x) 0 g(x)







f (x) 0 g(x) 0











2/

f (x) 0

f (x)

0

g(x) 0 g(x)







f (x) 0 g(x) 0











Lu ý: 1*/

2

B 0 A

1





  



 2*/

B 0 A

1

A 0 B





  



 hay 2

B 0

A 0

A B













1-(ĐHTCKT-1998)

2

51 2x x

1

1 x



 2-(ĐHXD)

2

2 x



3-(ĐH Ngoại ngữ -1998)

2

3 x



4-(ĐHSP)

2 x 4x 3

2 x



Ph

ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:

1-(ĐHSP Vinh-2001)  

2 2

x

x 4

2-(ĐH Mỏ-1999)  

2

2x

x 21

3  9 2x 2   

3-

4(x 1)   (2x 10)(1   3 2x) 

Ph

ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế :

1-(ĐH An ninh -1998)

x   x 2  x  2x 3   x  4x 5 

2-(ĐHBK-2000) x2  3x 2   x2  6x 5   2x2  9x 7 

3-(ĐH Dợc -2000) x2  8x 15   x2  2x 15   4x2  18x 18 

4-(ĐH Kiến trúc -2001) x2  4x 3   2x2  3x 1 x 1   

Ph

ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ:

1-(ĐH Văn hoá) 5x2  10x 1 7 x    2  2x

2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000)

2x  4x 3 3 2x x     1

3-(HV Quan hệ qt-2000)

2

(x 1)(x 4) 5 x     5x 28 

4-(ĐH Y-2001) 2x2  x2  5x 6 10x 15   

5-(HVNH HCM-1999)

x(x 4)   x  4x (x 2)    2

6-ĐH Thái nguyên -2000)

2x

2 x

7-(ĐH Thuỷ lợi)

2x x

8-(HV Ngân hàng 1999) x 2 x 1    x 2 x 1 3 2   

9- Cho bpt:

2

a/ Giải bpt khi a 6 

b/Tìm a để bpt nghiệm đúng    x  2;4 

10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :

2

(4 x)(6 x)    x  2x m  trên  4;6 

Ph

ơng pháp 5: Ph ơng pháp hàm số:

1-(ĐH An ninh-2000) 7x 7   7x 6 2 49x   2  7x 42 181 14x   

2-

2

x  x 7 2 x    7x  35 2x 

3- x 2   x 5 2 x   2  7x 10 5 2x   

4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x 2   16 4x   m

b/ 2x2   1 m x 

Phần III: Hệ Phơng trình

A- một số hệ pt bậc hai cơ bản

I-hệ pt đối xứng loại 1

1*/ Đ ịnh nghĩa :

f (x; y) 0 g(x; y) 0









 Trong đó f (x; y) f (y; x),g(x; y) g(y; x)  

2*/ Cách giải: Đặt S x y,P xy    ĐK:S2  4P

Dạng 1: Giải ph ơng trình

1-(ĐHQG-2000)

x y xy 11





x x y y 35







3-(ĐHGTVT-2000)

x y xy 11

x y y x 30





 4-(ĐHSP-2000)







5- (ĐH Ngoại thơng-1997)

1 1

x y











6-(ĐH Ngoại thơng -1998)









Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm:

1-(ĐHCĐKD-2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm:

x x y y 1 3m







2- Tìm a để hệ sau có nghiệm:

x y xy a







3-Cho hệ pt:

xy(x 1)(y 1) m





a/ Giải hệ khi m 12  b/ Tìm m để hệ có nghiệm

4-Cho hệ pt:

x xy y m 1







a/ Giải hệ khi m=-2

b/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm  x; y 

thoả mãn x 0, y 0  

5- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm:  

2







6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm:











Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất.

1-(HHVKTQS-2000) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2

x y xy m 2

x y y x m 1







2-(ĐHQGHN-1999) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất: 2

x xy y 2m 1







3- Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất:

x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2)





Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số :

Nếu ba số x, y, z thoả mãn x y z p, xy yz zx q, xyz r        thì chúng là

nghiệm của pt:

t  pt  qt r 0  

1-Giải các hệ pt sau :

a/

x y z 1

   







x y z 1

  









x y z 9

1 1 1

1

x y z



   









2- Cho hệ pt:

xy yz zx 4



 Giả sử hệ có nghiệm duy nhất

CMR:

x, y,z



II-Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2

1*/ Định nghĩa

f (x; y) 0 g(x; y) 0









 trong đó :f (x; y) g(y; x),f (y; x) g(x; y)  

2*/ Cách giải: Hệ pt

f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x; y) 0

x y 0

f (x; y) 0



 



 hay

h(x; y) 0

f (x; y) 0











Dạng 1: Giải ph ơng trình:

1-(ĐHQGHN-1997)

y

x 3y 4

x x

y 3x 4

y







 2-(ĐHQGHN-1998)

3

3







3-(ĐHQGHN-1999)

2x

2y











4-(ĐH Thái nguyên-2001)

3

3





 



5-(ĐH Văn hoá-2001)





2

2

8

x 8

y









Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:

1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm m để hệ có nghiệm:







2- Tìm m để hệ có nghiệm:







Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất

1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2







2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2

2







3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2

2







III - Hệ ph ơng trình đẳng cấp:

*/ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng

ax  bxy cy   d

*/ Cách giải: Đặt x  ty

*/ Lu ý: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của pt.

Dạng 1: Giải ph ơng trình:

1-(ĐHPĐ-2000)











3-(ĐH Mỏ-1998)







Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất

1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm m để hệ sau có nghiệm :







2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:







3-Tìm mđể hệ sau có nghệm diuy nhất:





B- Một số ph ơng pháp giải hệ pt :

Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp thế:

1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt:

x y m 1







1/ Giải hệ khi m 3 

2/Tìm m để hệ trên có nghiệm

2-(ĐHCĐKB-2002)

3











4-(ĐH Huế-1997) Tìm k để hệ sau có nghiệm:

x y k





5-(ĐH Thơng mại-2000) Cho hệ pt:

x my m







a GiảI hệ khi m 1  b Biện luận số nghiệm của pt

c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt (x ; y );(x ; y )1 1 2 2 tìm m để :

A (x   x )  (y  y ) đạt giá tri lớn nhất

6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 3

x y 1







Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:

1-(ĐHGTVT TPHCM-1999)

xy 3x 2y 16





 HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pt sau

2-(ĐHThơng mại-1997)

x xy y 1

y yz z 4

z zx x 9







 3-(ĐHBKHN-1995)

2

x y z 7

  













4-(ĐHSPHN-2000)





 HD:chia cả hai vế của2pt cho x2

Ph ơng pháp 3: Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:

1-(ĐH Ngoại ngữ-1999)

x 16 xy

xy







 2-(ĐH Công đoàn-2000)

2









3-(ĐH Hàng hải-1999)

1









 (x 0, y 0)  

4-(ĐH Thuỷ sản-2000)







Phần:IV Hệ Bất Phơng trình

A- Hệ bpt một ẩn số:

Cho hệ:

  1

2

f (x) 0(2)









 (I) Gọi S ,S1 2Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2)

S là tập nghiệm của (I)  S S  1 S2

Tìm m để hệ sau có nghiệm:

1-(HVQH Quốc tế-1997)

2

2







2-(ĐH Thơng mại-1997)

2





3-2

2







4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)

2







5-(ĐH Thơng mại-1998)

2







Tìm m để hệ sau vô nghiệm:

1-

2

2

(m x )(x m) 0





2-2





3-2

2

m x 1 3 (3m 2)x







Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

1-2

2







2-2

2













B- Hệ bpt hai ẩn số:

Tìm a để hệ sau có nghiệm:

1-(ĐHGTVT-2001)

x y 2





x y a 0





3-

4x 3y 2 0







Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:

x y a 0





x y 1



