Từ đó suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Tính thể tích tứ diện CDEF theo a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các canh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp A[r]
Trang 1VẤN ĐỀ 2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là 1
3
V = Bh.
Hãy chứng minh một số bài toán quan trọng thường được sử dụng sau đây:
Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là
3
2 12
a
Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là
3
2 3
a
Cho hình chóp S.ABC Trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' Khi
đó S A' B' C'
S ABC
V SA' SB' SC'
Dạng 1 Tính thể tích của khối đa diện
1 (ĐHCĐ, B, TK 2, 2003) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,
mặt bên tạo với đáy một góc 0 0
φ ( < φ< ) Tính thể tích hình chóp S.ABC Từ đó suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Đs:
3
3
V = j ,d = sin j
2 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông cân ở A và AB= a;CD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và CD= a. Mặt phẳng ( )α qua C, vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích tứ diện CDEF theo a Đs:
3
36
D.CEF
a
3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các canh SB, SC Tính thể tích của khối chóp A.BCMN
4 Cho khối chóp S.ABCD có cạnh SA = x, bảy cạnh còn lại đều bằng a
a) Chứng minh tam giác SAC vuông
b) Tính thể tích V của khối chóp theo a và x
c) Cho truớc a, hãy tìm x để V là lớn nhất
Đs: a) (Dùng đường trung tuyến = nửa cạnh huyền)
b)
xa 3a x 6
c) Khảo sát hàm ở câu b theo x
Trang 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a
và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
6 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC =
2
a
SAa 3, 0
30
SAB SAC Tính
thể tích khối chóp S.ABC
7 Khối chóp S.ABC có SA ( ABC ); đáy ABC là tam giác cân tại A; độ dài đường trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450
và tạo với mặt (SAD) góc 300 Tính thể tích khối chóp
3
a 2 3
Dạng 2 Sử dụng thể tích để giải các bài toán khác
8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B Cạnh SA vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) biết rằng AB= a,SA= b. Đs:
ab
a + b
9 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Tính độ dài đường cao OH của
hình chóp theo OA= a,OB= b,OC= c. Đs:
abc OH
a b b c c a
=
10 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ACB) băng 60 ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
Dạng 3 Tìm tỷ số thể tích của hai khối đa diện
11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 0 Gọi D
là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA Tính tỷ số thể tích của hai khối tứ diện S.DBC và S.ABC Từ đó suy ra thể tích của khối chóp S.DBC
Đs:
3
S DBC S ABC S DBC
a
12 (ĐHCĐ, TK 5, 2002) Cho tứ diện ABCD biết rằng A B = a, A C = b, A D= c và
B A C CA D DA B Tính thể tích khối tứ diện Đs: V abc 2
12
=
13 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó
Trang 3thành hai phần có thể tích bằng nhau
Dạng 4: Bài toán GTLN, GTNN
15 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA(ABC),
SC =a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất
16 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy thì thể tích khối chóp nhỏ nhất
17 Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R, lấy một điểm C tùy ý khác A và B Kẻ đường cao CH AB( H thuộc AB), gọi I là trung điểm của CH Trên nửa đường thẳng It vuông góc với (ABC), lấy điểm S sao cho góc ASB = 900
18 Chứng minh rằng khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì:
a) Mặt phẳng (SAB) cố định;
b) Điểm cách đều S, A, B, I chạy trên một đường thẳng cố định
19 Cho AH = x Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R và x Tìm vị trí điểm C để thể tích đó lớn nhất
20 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích lớn nhất