Dạng 1: Dạng bài tính cạnh, đoạn thẳng nhờ áp dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.. *Phương pháp giải chung.[r]
Trang 11 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400
Bài giảng số 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
I Lý thuyết
Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông
Tam giác vuông ABC, đường cao AH, có:
AB = c, AC = b, BC = a, BH = c’, CH = b’
- Hệ thức 1: Trong tam giác vuông, bình
phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền
nhân với hình chiếu của cạnh góc vuông đó
trên cạnh huyền:
b = a.b' ; c = a.c'
- Hệ thức 2: Trong tam giác vuông, bình
phương độ dài đường cao bằng tích hai hình
chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền:
2
h = b'.c'
- Hệ thức 3: Trong tam giác vuông, tích của
hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền
với đường cao ứng với cạnh huyền:
b.c = a.h
- Hệ thức 4: Trong tam giác vuông, nghịch đảo
bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh
góc vuông:
= +
Trang 22 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400
H
A
II Một số dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Dạng bài tính cạnh, đoạn thẳng nhờ áp dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông
*Phương pháp giải chung
- Ghi nhớ các hệ thức ở phần lí thuyết
- Thể hiện các dữ kiện đề bài cho trên hình vẽ
- Quan sát hình và xét xem cạnh, đoạn thẳng đang tìm số đo ở trong hệ thức nào, công thức nào? Tính theo hệ thức, công thức nào thì hợp lý
- Vận dụng thêm các định lí Talet, định lý đường phân giác trong tam giác nếu cần thiết
Ví dụ 1 Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao
ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền
Giải
- Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông
ABC (A = 90 ) ta có: o
BC = AB + AC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25
BC = 25 = 5
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong
tam giác vuông ABC (A = 90 ) ta có: o
AB.AC = AH.BC3.4 = AH.5
- Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền trong tam giác
vuông ABC (A = 90o) ta có:
Trang 33 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400
F
E H
A
9
BH =
16
5
Vậy AH = 12; BH = ; CH =9 16
Dạng 2: Dạng bài biến đổi biểu thức, chứng minh đẳng thức nhờ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với
AB, AC Chứng minh rằng:
a)
3
EB AB
FC AC
b) BC.BE.CF = AH3
Giải
a) Trong AHB có HB2 = BE.BA (1)
AHC
có HC2 = CF.CA (2)
Từ (1) và (2) có :
2
HB BE AB
HC FC AC
Trong ABC có :
AB2 = BH.BC và AC2 = HC.BC suy ra
2
2
Vậy
3
EB AB
FC AC
BA BC
Trang 44 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400
Thay
2
Tương tự ta cũng có
3
2
AC CF BC
(4)
Từ (3) và (4) ta có
BE.CF =
3 3
4
AB AC
BC Mà AB.AC = BC.AH
nên BC.BE.CF = AH3
Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia CB cắt
nhau ở K Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L Chứng minh rằng tổng 12 + 1 2
DI DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
Giải
Xét ΔADI và ΔCDL có:
o DAI = DCL 90
AD = DC (ABCD là hình vuông)
ADI = CDL (cùng phụ với CDI )
ΔADI = ΔCDL (g – c – g)
DI = DL (*) (hai cạnh tương ứng)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông vào tam giác DLI o
LDK = 90 có:
DC DL DK (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra:
B I
Trang 55 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400
III Bài tập luyện tập
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AH = 16, HC = 25
Tính AB, AC, BC, HB
Bài 2 Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Biết AB = 4cm, AC = 7,5cm
Tính HB, HC
Bài 4 Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Tính diện tích ∆ABC biết AH = 12cm,
BH = 9cm
Bài 5 Cho ∆ABC biết BC = 7.5cm, AC = 4.5cm, AB = 6cm
a) ∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của ∆ABC
b) Tính độ dài các cạnh BH, HC
Bài 6 Cho tam giác vuông, biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông là 5
12, cạnh huyền là 26 Tính
độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Bài 7 Cho ∆ABC vuông tại A Biết 5
7
AB
AC Đường cao AH = 15cm Tính HB, HC
Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm, AC = 16 cm
a) Tính BC
b) Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng BH và CH có độ dài lần lượt 7,2 cm và 12,8 cm Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh ADHE là hình chữ nhật và tính độ dài đoạn DE
c) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E cắt BC lần lượt tại M và N Tính diện tích tứ giác DENM