Bài tập và Lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 - Tiếp tuyến - Đặng Việt Đông | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.. Hướng dẫn giải:.[r]

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f x' 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: yf x x x'    0y0

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x   0y0

3 Tiếp tuyến đi qua điểm

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

Câu 5 Cho hàm số

22

x cắt trục tung tại điểm A Tiếp tuyến của  C

x có đồ thị là (H) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y2(x 2) hay y2x4

Câu 10 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x  x3 2x23x

tại điểm có hoành độ x0 1 là:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d :y10x1 6 10 x4

Câu 11 Gọi  H là đồ thị hàm số yx x1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H tại các giao điểm

của  H

với hai trục toạ độ là:

1.1

 1 1

y

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d y x:  1.

Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

1( ) :

là đồ thị hàm số y x 2 x3 Phương trình tiếp tuyến với  P

tại giao điểm của P

vàtrục tung là

Phương trình tiếp tuyến tại M0;3

là yx3

Câu 14 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

41

có hệ số góc là k 1.

Phương trình của tiếp tuyến là yx 3

Câu 15 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 42x21 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2là:

x và điểm A( )H có tung độ y4 Hãy lập phương trình tiếp tuyến

của ( )H tại điểm A.

Phương trình tiếp tuyến là y3x10

Câu 17 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ta có:  

2 2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y' 0 1

.Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y k x x   0y0  y x  1

x và điểm A( )C có hoành độ x3 Lập phương trình tiếp

tuyến của ( )C tại điểm A.

Tại điểm Acó hoành độ x0  2 y0 f x 0 18

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : kf ' 2  20

.Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x   0y0  y20x22

Câu 21 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y3x 4x tại điểm có hoành độ 3 x0 0 là:

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: y' 3 12  x Tại điểm 2 A( )C có hoành độ: x0  0 y0 0

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : ky' 0  3.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Alà : y k x x   0y0  y3x

A

73

 

y x

B

73

 

y x

C

73

 

y x

D

73

Theo giả thiết x là nghiệm của phương trình 0 y x( ) 00   2x  2 0 x0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

41;

x với trục tung Phương trình tiếp tuyến với đồ

thị hàm số trên tại điểm M là:

4



Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm

Phương trình tiếp tuyến của  C

tại giao điểmcủa  C

 

y x

13

 

y x

113

Câu 28 Phương trình tiếp tuyến của  C : 3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạix0 1 có dạng y34x54.

Câu 31 Cho hàm số yf x( )x25x4, có đồ thị  C Tại các giao điểm của  C với trục Ox , tiếp

tuyến của  C

có phương trình:

A y3x3 và y3x12 B y3x 3 và y3x12

A yx 66

 B yx 6 6

 C y6x1 D yx 66



Phương trình tiếp tuyến: y6x 1

Câu 33 Cho hàm số y 2x 3 3x2 có đồ thị 1  C , tiếp tuyến với  C

nhận điểm 0 0

3

;2

Đạo hàm của hàm số y 6x2 6x

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại 0 0

3

;2



k

Phương trình của tiếp tuyến là

 x0  4 y x'( ) 180  Phương trình tiếp tuyến là:y18(x4) 9 18  x81

 x0  1 y x'( )0 9 Phương trình tiếp tuyến là:y9(x1) 9 9x

 x0  2 y x'( ) 180  Phương trình tiếp tuyến là:y18(x 2) 9 18  x 27.

Câu 37 Cho hàm số y x 3 3x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm

 x0  1 y x'( ) 00  Phương trình tiếp tuyến: y3

 x0  2 y x'( ) 90  Phương trình tiếp tuyến:

 x0  0 y x'( ) 00  Phương trình tiếp tuyến là: y1

 x0  2 y x'( ) 8 20  Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến: y1

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng

2



A

71

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):( ; )0 0

Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có

x , có đồ thị là  C

Tìm a, bbiết tiếp tuyến của đồ thị  C

tại giao điểm

của  C

và trục Ox có phương trình là

122

Phương trình tiếp tuyến  d

tại điểm M của đồ thị  C

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

25

2 .

A

232;

9287;

9287;

9287;

9287;

Ta có:

2

3'

x

Ta có x0  2 y0  m 5, '( )y x0 m 3 Phương trình tiếp tuyến  của (C

m) tại điểm có hoành độ

2 2



f

C

1(0)4



f

D

1(0)4

Phương trình tiếp tuyến  tại M: y(6x02 6 )(x0 x x 0) 2 x03 3x021

 đi qua P(0;8) 84x033x021  x0 1 Vậy M( 1; 4)  .

Câu 47 Phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) 2

Phương trình tiếp tuyến y2x1

Câu 48 Tiếp tuyến của paraboly 4 x tại điểm 2 (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông Diện

tích của tam giác vuông đó là:

A

, giao Oy tại B(0;5) khi đó ( )d tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông

OAB vuông tại O

Diện tích tam giác vuông OAB là:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:  0 2  0 0  

11

2 0

0 0

Vì x0  1 y0  m 6, '( )y x0 12 Phương trình tiếp tuyến d của (C

m) tại điểm có hoành độ x0 1 là:

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 0 đi qua A(4;3)



m

C

15



m

D

1615

x

Vì x0  0 y0 m1, '( )y x0 m 3 Phương trình tiếp tuyến d của (C

m) tại điểm có hoành độ x0 0là:

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : yy x'( )(0 x x 0 y x( )0

(trong đó x là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)).0

có tọa độ là 0;3

và tiếp tuyến d của  C

tại giao điểm của  C

với trục Ox có phương trình là y8 3x24

x có đồ thị  C

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

Gọi M x y 0; 0

là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

0 0 2

0 0

4

11

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 Mặt khác: y x' 0 0

Hàm số đã cho xác định với

1

 x Ta có:  2

4'

Gọi M x y 0; 0

là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

0 0 2

0 0

4

11

Khoảng cách từ M x y 0; 0

đến trục Oybằng 2 suy ra x0 2, hay

22;

x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp

tuyến với C m tại hai điểm này vuông góc với nhau.

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, thì phương trình  1

phải có hai nghiệm phân biệt

là giao điểm của C m

và trục hoành Tiếp tuyến của C m

'

11

Như vậy, tiếp tuyến tại A B, lần lượt có hệ số góc là   1



m

thỏa mãn

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC

Câu 1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 31







x y

x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

hoành bằng :

1

1.9

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d :y9x316 y169x3 

Câu 3 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

11







x y

x tại giao điểm với trục tung bằng :

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Tập xác định:D\ 1

Đạo hàm:

 2

2.1

Có bao nhiêu tiếp tuyến của  C

song song đường thẳng

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 5 Gọi  C là đồ thị của hàm số 4



y x

nên tiếp tuyến có hệ số góc  0

3 0

x Tìm tọa độ các điểm trên  C

mà tiếp tuyến tại đó với

Câu 7 Biết tiếp tuyến  d

của hàm số y x 3 2x2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứnhất Phương trình  d là:

12



k

22



k

Hướng dẫn giải:

là tọa độ tiếp điểm Ta có y 3x212x7.

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2  y x 0 2 2

32

52

x Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là ky 0 a b 3

 a  b .

Câu 14 Điểm M trên đồ thị hàm số y x 3– 3x2–1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất

cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là ky x 0 3x02 6x0 3x012 33

Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0 1, y0 3.

Câu 15 Cho hàm số

3 3 2 6 1

y x x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng

1118

Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y x'( ) 00 

Hay x0 1 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y3,y1.

Câu 18 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y2x4 4x21 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y48x1

y x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song

song với đường thng y6x1

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):( ; )0 0

Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d y: 4x1 nên ta có:

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với hai

trục tọa độ một tam giác vuông cân

A

117

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):( ; )0 0

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y x'( )0 1 Mà y' 0,   x 1

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với

đường thẳng

123

Ta có 2

3'

Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?

A Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

B Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

C Hàm số đi qua điểm M1;17

Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị  C

vuông góc với nhau

Gọi x x tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó 1, 2

Gọi k k lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên 1, 2  C

suy ra mâu thuẫn

Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)

Câu 24 Cho hàm số

2 3 12

22

Với x0  1 y0 1 pttt: y2x1 1  y2x1

.Với x0  3 y0 1 pttt: y2x 3 1 y2x 5

.Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y2 –1x , y2 – 5x

Câu 25 Cho hàm số y x 2 6x5 có tiếp tuyến song song với trục hoành Phương trình tiếp tuyến đólà:

Tại N2;4

Phương trình tiếp tuyến là y x 6

Câu 28 Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) :C y x 33x2 8x1, biết tiếp tuyến đó songsong với đường thẳng :y x 2017?

Phương trình tiếp tuyến là y x 28

Câu 29 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số y x 3 3x2là

x

Câu 30 Cho hàm số yx33x2 2 có đồ thị  C

Số tiếp tuyến của  C

song song với đường thẳng

suy ra y x' 0 90

Với x0  1 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y9x 7

Với x0  3 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y9x25.

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn

Câu 31 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số  : 21

1





x y

x

Lấy điểm M x y 0; 0   C

Tiếp tuyến tại điểmM song song với trục hoành nên







x y

x tại điểm có hoành độ x0 3 có hệ số góc bằng

3

Có hai tiếp tuyến của  C

cùng song song vớiđường thẳngy2x5 Hai tiếp tuyến đó là

423

13

0

0

4(1)3(3) 4





x y



D

625

120179

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn

Câu 37 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x( )x3 x 2 tại điểm M( 2; 8) là:

Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường thẳng 

song song với đường thẳng d y: 2x 1 và tiếp xúc với  H

Đường thẳng  song song với đường thẳng d y: 2x 1 có dạng :y2x c (c -1). 

 là tiếp tuyến của  H

2 2 1

2x2



k

12



k

32

 

y x,

1cos

11







x y

x song song với đường thẳng : 2x y 1 0

22

0( 1)

+ với x0  2 y0 3, PTTT tại điểm (2;3) là y2x 2 3 2x y  7 0

+ với x0  0 y0 1, PTTT tại điểm (0; 1) là y2x1 2x y  1 0.

Câu 42 Phương trình tiếp tuyến của  C : 3



x y

là:

A

1

827

1327

+Gọi M x y là tiếp điểm ( ; )0 0

+ Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

+ Với x0  3 y0 27 PTTT là: y27x3 27 y27x54

Câu 43 Cho hàm số y3x2 2x5, có đồ thị  C

Tiếp tuyến của  C

vuông góc với đường thẳng

Phương trình tiếp tuyến của  C

Phương trình tiếp tuyến có dạng : y4x2

Câu 44 Cho đường cong

Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau

Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc :

x

Hệ số góc của đường thẳng

12

Câu 45 Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong  C

: y x 2 x1, biết hoành độ M N, theothứ tự là 1 và 2

Tiếp tuyến của  C

song song với đường thẳng

: 2 2018

d y x

Tiếp tuyến của  C

song song với d  y x 0  2 2x0 2 2  x02;y0 3Vậy PTTT có dạng : y2x1

Câu 47 Phương trình tiếp tuyến của  C :y x biết nó có hệ số góc  3 k 12 là:

Câu 48 Phương trình tiếp tuyến của  C

:y x biết nó song song với đường thẳng d :  3

1103

A

74

y x

B

7346

y x

;

2643

y x

C

734

y x

D

746

y x

;

2643

C

1

12

 m

D

1

12

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến 1 ; 1 

n k , d có vec tơ pháp tuyến



k

Yêu cầu bài toán  ít nhất một trong hai phương trình y' k hoặc 1 y' k có nghiệm x tức2

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

0 0 2

0 0

4

11

x có đồ thị  C

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d y: 4x1

Gọi M x y 0; 0

là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

   

0 0 2

0 0

4

11

Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: 4x1

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y4x2, y4x14

Câu 55 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số:

2,1





x y

x biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y2x8,y2x

Câu 56 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số:

2,1





x y

x biết tiếp tuyến song song với đường



x y

x biết tiếp tuyến vuông góc với đường





x y

x biết tạo với chiều dương của trục

hoành một góc  sao cho

2cos

5





21





x y

x biết tại điểm M thuộc đồ thị và vuônggóc với IM (I là giao điểm 2 tiệm cận )

y x

C

324

,suy ra phương trình (d) có dạng :

y = 5x + m

(d) tiếp xúc với (C)

3 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x +

8

3 hoặc y = 5x – 8.

x y

Câu 63 Cho hàm số y x 3 2x2(m1)x2m có đồ thị là ( ) C Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị m

(C tại điểm có hoành độ 1 m) x song song với đường thẳng y3x10.

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 64 Cho hàm số y x 3 2x2(m1)x2m có đồ thị là ( ) C Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc m

nhỏ nhất của đồ thị (C vuông góc với đường thẳng m) :y2x1.

116



m

D

611

23



x

có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị :

73

 

k m

.Yêu cầu bài toán

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần

lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

16

21

x m Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến

của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là

là giao điểm của đồ thị  C

với trục hoành thì y0 x02 2mx0m0 và hệ số góc của

tiếp tuyến với  C

Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với  C

tại hai giao điểm với trục hoành là

1 1 1

2  2





x m k







x y

x Có bao nhiêu cặp điểm A B, thuộc  C

mà tiếp tuyến tại đó songsong với nhau:





x y

x có tâm đối xứng I1;1

.Lấy điểm tùy ý A x y 0; 0   C

Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B2 x0;2 y0   C Ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là:

Ta thấy k A k nên có vô số cặp điểm B A B, thuộc  C

mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau

Câu 68 Cho hàm số y x 3 2x22x có đồ thị (C) Gọi x x là hoành độ các điểm 1, 2 M N, trên  C

,

mà tại đó tiếp tuyến của  C

vuông góc với đường thẳng y x2017 Khi đó x1x bằng:2

A

4

43

Tiếp tuyến tại M N, của  C

vuông góc với đường thẳng yx2017 Hoành độ x x của các điểm1, 2

,

M N là nghiệm của phương trình 3x2 4x 1 0

Suy ra 1 2

43