[r]
Trang 1Đoàn Quốc Việt – THCS Hồng Bàng – Quận Hồng Bàng.
CAUHOI
Phần 4_05
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 y4z4 t4 2020.xyzt
DAPAN
Câu 3
(2,0 đ)
a) (1,0 điểm)
Trước hết ta nhận xét rằng : nếu n là số nguyên chẵn thì n4 8
Nếu n là một số nguyên lẻ thì n 2k 1 nên n2 4k k 1 1 chia cho 8
sẽ dư 1 Suy ra n cũng chia cho 8 dư 1.4
0,25
Gọi nghiệm nguyên của phương trình là x ; y ;z ; t , ta có:0 0 0 0
x y z t 2020.x y z t
Do vế phải là số chẵn nên trong 4 số x ; y ;z ; t không thể có một hoặc ba0 0 0 0
số là số lẻ
Nếu trong chúng có hai hoặc 4 số lẻ thì vế trái là số chia cho 8 dư 2 hoặc
chia cho 8 dư 4 (vô lý – không thỏa mãn)
0,25
Vì thể cả 4 số x ; y ;z ; t đều là số chẵn Ta đặt0 0 0 0
x 2x ; y 2y ;z 2z ; t 2t Thay vào phương trình và chia hai vế
cho 16 ta được: x14 y14 z14t14 2020.x y z t1 1 1 1
Vì thế x ; y ;z ; t1 1 1 1 là một nghiệm của phương trình
n n n n n n n n
x ; y ; z ; t ; ; ;
cũng là nghiệm của phương trình
0,25
Vì nghiệm của phương trình là số nguyên nên chỉ xảy ra
x ; y ;z ;t0 0 0 0 0; 0; 0; 0
Thử lại ta thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x; y;z; t 0; 0; 0; 0
0,25