- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư hoặc đổi vai trò x và y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn.... Hướng dẫn[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Diện tích hình thang cong:
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x , trục hoành và haiđường thẳng x a , x b (a b ) Giả sử f là hàm số liên tục và nhận giátrị dương trên đoạn a b; Diện tích S của hình thang cong đó là:
Trang 2- Xác định theo công thức hình giới hạn bởi 1 hàm yf x và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có
hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm
- Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên
- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, liaasy thểtích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn
Trang 4Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x 4 4y2 và x 1 y4.
xy và2
3
2
y y
Theo tính chất đối xứng thì
Trang 71 3
2 2
Trang 8Bài toán 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 2,
3 2
0 0
Trang 9x x
x
t e
Khi x 0 t 2;xln 3 2
Trang 10Bài toán 9.16: Tính diện tích của hình Elip (E) có phương trình đường biên:
0
44
Bài toán 9.17: Cho elip với PT:
2
2 14
x y
và điểm
31;
2
A
nằm trên elip Gọi d là tiếp tuyến với elip tại
A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, trục hoành và đường elip.
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến d là
31
1
142
Đổi biến x2sint thì dx2costdt
Trang 11Ta được
2 2 0
6
32cos
Bài toán 9.19: Cho P y x: 2 và đường thẳng d qua A1;3 có hệ số góc k Tìm k để diện tích hình phẳng
giới hạn bởi d và P có diện tích nhỏ nhất.
nên min S khi k 2.
Bài toán 9.20: Một hình phẳng được giới hạn bởi y f x ex,y 0,x 0
Trang 12Bài toán 9.21: Tính thể tích của vật thể:
a) Giữa hai mặt phẳng: x0,x2 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 2) là một nửa hình tròn đường kính 5x2.
b) Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông có đáy là một tam giác cho bởi y x y , 0 và1
Trang 13a) Giới hạn bởi các đường 2, 0, 0
Trang 14Bài toán 9.25: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:
Trang 15Bài toán 9.27: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Trang 16a) Giới hạn bởi các đường y2x x 2 và y 0
b) Giới hạn bởi đường
Trang 170 0
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V V V 1 2 16 (đvtt)
Bài toán 9.32: Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn C có phương trình: x2 y 221 quanh trục
Ox.
Trang 19Kết quả: Thể tích khối cầu
Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua y kx 1 k cắt Ox, Oy tại M, N Tìm k 0 để thể tích khối tròn xoay
tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất.
2 0
Dùng công thức S trực tiếp Kết quả 44 (ddvdt)
Bài tập 9.2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y 4 x y2, x2
Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm A 1; 2 rồi tìm thêm giao điểm khác A Kết quả 274 (đvdt)
Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:
4 , 01
2
Trang 20Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm và chú ý luôn có 2 nghiệm phân biệt Kết quả m 0.
Bài tập 9.7: Cho hàm số yf x đơn điệu từ a b; vào c d; có hàm ngược x g y Chứng minh thể
tích quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox, x a x b , là:
2
b Oy
a
V xf x dx
Hướng dẫn
Dùng định nghĩa về diện tích và minh họa đồ thị
Bài tập 9.8: Tính thể tích của vật thể giữa hai mặt phẳng: x0,x vì thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x.
Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi các đường y x 2 4 ,x y x2 2x6
Tính thể tích khối tròn xoay khi S quay quanh trục Ox.
Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm
Kết quả 3 (đvtt)
Trang 21Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường:
2 2
Tính thể tích khối tròn xoay khi
S quay quanh Ox.
(đvtt)