Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 10 - Số phức và ứng dụng - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Hỏi mỗi số sau là số thực hay số ảo.. Khi nào thì đẳng thức xảy ra... Hướng dẫn Tính trực tiếp.. Hướng dẫn[r]

CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Số phức và các phép toán

Tập hợp số phức , đơn vị ảo i với i 2 1.

- Số phức (dạng đại số): z a bi a b   ,   a là phần thực, b là phần ảo của z Kí hiệu Re z a , lm z b

- Số phức liên hiệp của số phức: z a bi a b  , ,   là z a bi 

- Cho số phức: z a bi  với a b, ,z0, ta có rcosisin  với r 0 là

dạng lượng giác của số phức: z a bi 

 là một acgumen của z với số đo rađian.

Góc lượng giác Ox OM,    k2 tức là các acgumen sai khác k2 với k

Khi z 0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định.

- Nếu z r cosisin , 'z r' cos ' sin '  i   thì có:

Với n là số nguyên, n 1 thì rcosisin  n r ncosnisinn 

Đặc biệt: cosisin n cosnisinn

Căn bậc hai, bậc n của số phức

- Số phức z là một căn bậc hai của số phức w z2 w

Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai

Phương trình bậc hai Az2Bz C 0 với A0, ,B C là các số phức Lập biệt thức:  B2 4AC

Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 2

B z A





Nếu  0 ta tìm các căn bậc hai  của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2 2

B z

i  trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức Trục thực là trục

hoành và trục ảo là trục tung

- Nếu z z, ' biểu diễn bởi M M, ' thì z z ' được biểu diễn bởi OM OM z z   ',  '

được biểu diễn bởi

OM OM    M M

Tập điểm biểu diễn số phức:

- Gọi điểm M x y ;  biểu diễn số phức z x yi x y   ,  

- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập

z z

Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2 , 5 2 2 i   i.

Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w a bi a b   ,  

y 

Ta có được: 1

12

a b

12

Bài toán 10.10: Tìm acgumen của số phức

thì không có dạng lượng giác.

b) 1 cos  isin  1 cos isin 

- Khi sin0: nó có dạng lượng giác không xác định

- Khi sin0: dạng lượng giác là

- Khi sin0: dạng lượng giác là

Hướng dẫn giải

Đặt z r cosisin ,r0,  thì: z r cos isin 

Trang 11

sin cos  cos sin

z z



 có một acgumen bằng 4



và

7sin12

Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos cos cosa b c 0.

Tìm phần ảo của số phức 1itana 1itanb 1itanc,

suy ra tanatanbtanctan tan tana b c a b c k    k 

Hướng dẫn giải

Từ khai triển của 1itana  1itan 1b  itanc thì phần ảo của số phức

1itana 1itanb 1itanc bằng tanatanbtanc tan tan tana b c

Vậy tanatanbtanctan tan tana b c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức làacgumen của số phức đó là một bội nguyên của 

Mặt khác, 1 tan 1 cos sin 

Do đó: 1 i tan a 1itanb 1 i tan c có acgumen là a b c   

Vậy: tanatanbtanctan tan tana b c a b c k    k 

Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:

Nên  có hai căn bậc hai là cos isin 

Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1cos , z2 isin

Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức

         nên  có các căn bậc hai là 4 3i 

Từ đó giải cho 2 nghiệm x 3 i x,  1 2i

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2 i x,  3 i x,  1 2i

Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:

2 2

Vậy 3 nghiệm của phương trình là z i z ,  2 i z,  1 i

Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:

Bài toán 10.23: Giải các phương trình và biểu diễn tập nghiệm:

trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2.

Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức: z1n z 1n 0,n *

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương: z1n z 1n,

vì z 1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết:

111

n

z z

(Vì m 0 0  1 z không xác định nên ta loại bỏ 0)

Vậy phương trình có n  1 nghiệm: cot

Từ  w 2 1

và (2) suy ra z 2 1 tức z bằng 1 hoặc bằng −1.

Mà (1): z3w5 0 nên: z 1 w1 và z 1 w1

Vậy hệ có hai nghiệm z w,  là: 1; 1  và 1;1

Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:

z i





 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1 Vậy z 1 i

Bài toán 10.27: Không giải phương trình z22 i z  3 5i0 Hãy tính: z12z z22, 14z24

Hướng dẫn giải

Trang 21

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox.

Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:



và

1

y x

Hướng dẫn giải

a) Viết z x yi x y ,   thì

Trang 23

2 2 2

2 2

12

y x



Vì với mỗi điểm x y,  của hyperbol này, tìm

được a x 2 y2 nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol

12

y x

Bài toán 10.32: Chứng minh rằng:

a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w z

b) Nếu z1 khác z2: z1 z2 khi và chỉ khi

Nên

2 2

5

2 3

n

i z

5

2 3

n

i z

  , với l nguyên dương.

Bài toán 10.34: Tính sin 4 và cos 4 theo các lũy thừa của sin và cos

Hướng dẫn giải

Ta tính cosisin 4 theo 2 cách:

cosisin 4 cos4isin 4

sin 44cos sin 4cos sin 

Bài toán 10.35: Cho zcosisin     Chứng minh rằng:

Bài toán 10.40: Các vectơ u u , '

trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z z, ' Chứng minh:

  u u  '1zz'zz'

a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Giả sử z1 z2 z3 Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:

b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G

của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G 0 hay z1z2z3 0

Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình:

Bài toán 10.43: Phân tích thành

a) Nhân tử bậc nhất của: f x  cosnarccosx

a) Để chứng minh đa thức f x  chia hết cho đa thức g x , ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g x 

đều là nghiệm của f x .

Trang 31

Nếu gọi w là nghiệm của x2 x 1 thì w2w 1 0

hay w2 w 1 nên w3 w2 w w  1 w1

Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3m w3 1n w3p 2 1 w w2 0

Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x2 x 1 (đpcm)

b) Gọi  là nghiệm của g x , ta có:

Vì vậy, mọi nghiệm của g x  đều là nghiệm của f x  nên f x g x    (đpcm)

Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P x  với các hệ số thực như sau

Suy ra z n z 1 z n 1 z n z  2  1 z 2

.Vậy mọi nghiệm của r x  đều có môđun nhỏ hơn 2 Từ đó nếu gọi z z1, 2 là các nghiệm của p x  thì ta

Giả sử ngược lại tồn tại n sao cho a  n 0 với mọi n n 0.

11

i i

11

n n

Hướng dẫn

Tính trực tiếp Kết quả ba

Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a)  cosisin ;cos isin

b) sinicos ;sin  icos

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác

Kết quả cos   isin  ;cos  isin 

cũng là nghiệm của phương trình.

b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số:    1 ; 1 ;2 ;2 2i i i  i cùng nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp

b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D.

Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD.

Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

và

113

z z