Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Khi đó, tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB.[r]

CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: yf x y g x ,   

Phương trình hoành độ giao điểm: f x  g x   f x  g x  0 là một phương trình đại số, tùy theo sốnghiệm mà có quan hệ tương giao Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép:tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…

y y  , có 2 nghiệm: y C Ð.y CT 0, có 3 nghiệm phân biệt: y CÐ.y  CT 0.

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:  

- Đồ thị hàm bậc 3: yf x  cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB BC tức

là 3 nghiệm x x x1, ,2 3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.

- Phương trình trùng phương ax4bx2 c 0,a0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 0 t 1t2, t2 9t1

Tiếp tuyến và tiếp xúc:

- Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 của đồ thị  C :yf x 

Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.

- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI

Oxy  IXY với I x y 0; 0:

0 0

   , ,

f a x f a x  a x a x D  , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến S a ;0 là hàm số

chẵn

Quỹ tích điểm M:

Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.

Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).

Đặc biệt: Nếu M x y ;    V thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y x 42m x2 21 luôn cắt đường thẳng y x 1 tại đúng hai

điểm phân biệt với mọi giá trị m.

nên phương trình f x   0 luôn có nghiệm duy nhất x 0: đpcm.

Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt khác −1.

Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng d m đi qua điểm A  2;2 và có hệ số góc m cắt đồ thị

của hàm số:

1

x y

x







a) Tại hai điểm phân biệt?

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

a) Đường thẳng d m cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt khác −1

b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x 1 của đồ thị Đường

thẳng d m cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có

ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  P0 m0

Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng

a) y m m , 0 cắt đồ thị  C của hàm số y x 4 3x2 2 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.

b) y3x m cắt đồ thị  C của hàm số

2

1

x y x

Vậy giá trị x1 x2 nhỏ nhất khi m 1.

Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho

a) Đồ thị của hàm số y x 4 m1 x2m cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dàibằng nhau

hoặc

19

y x

Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

a) y x2 biết tung độ tiếp điểm là y 0 2

x 

Với 0

52

 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2.

b) y x 3 3x22 biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho

0 0

34

11

x

x x

Với x 0 1 ta có phương trình tiếp tuyến y x  2

Với x 0 3, ta có phương trình tiếp tuyến y x 6.

Do đó y' 9 3x2 6x9

2

0 2

Với x 0 1, phương trình của d là y9x7

Với x 0 3, phương trình của d là y9x 25.

Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của  C hàm số: yx x12 tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp

tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích

16

0 0

13

:

22

x

x x

x 

Với x 0 0 thì có tiếp tuyến y 2

Với 0

52

x 

thì có tiếp tuyến

25

24

0 0

1

11

11

11

011

0 2

Vậy phương trình tiếp tuyến d y: x 2

Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:

Vậy có 2 tiếp tuyến chung: y3x 10 và y3x5.

Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị  C hàm số: y2x x22 sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm

2

0 0

2:

22

x

x x

22;

2

x A

Bài toán 3.14: Cho hàm số yf x  x4 2x2 có đồ thị  C Trên đồ thị  C lấy điểm phân biệt là A và B

có hoành độ lần lượt là a, b Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của  C tại các điểm A và B song song với

Giải hệ này, ta được nghiệm là a b  ;   1;1 , 1; 1   

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của  C tại A và B song song với nhau là a2ab b 2 1,

1

a  , a b

Bài toán 3.15: Tiếp tuyến  T của  : 1

2

x



 tại điểm M có hoành độ x a 2, cắt trục hoành Ox tại

tiếp tuyến, Ox và d không đổi.

a a

nên tiếp điểm M là trung điểm của AB

Gọi I là giao điểm của Ox và d thì I2;0 Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:

 Chứng minh rằng qua điểm M3; 1  vẽ được hai tiếp tuyến với

đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng qua M3; 1  hệ số góc là a là y a x   3 1, đường thẳng là tiếp tuyến với

đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.

Bài toán 3.17: Cho hàm số y x33x2 2  C Tìm trên  C những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một

tiếp tuyến với  C .

Hướng dẫn giải

Giả sử M x y 0; 0 là một điểm trên  C Giả sử tiếp tuyến  t kẻ từ M đến  C tiếp xúc với  C tại

 1; 1

N x y Khi đó phương trình của  t có dạng: y y 1  3x126x1 x x 1

Vì  t đi qua M nên ta có: y0 y1  3x126x1 x0 x1

32

Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị  

TCX: y x 1, giao điểm 2 tiệm cận I  1;0

Phương trình đường thẳng  d qua I với hệ số góc k là y k x  1

Giả sử d là tiếp tuyến của  C thì hệ sau có nghiệm.

Vậy không một tiếp tuyến nào của  C đi qua I.

Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại A  1;0 của đồ thị  C :y x42x2x cũng là tiếp tuyến của

đồ thị này tại một điểm B khác A nữa.

Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.

Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau:  

y x

Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số

a)  C : y x 3 1 k x  1 tiếp xúc với trục hoành

Vậy có hai giá trị m cần tìm là m 5, m 27.

Bài toán 3.22: Cho hàm số y x 3 3x2  C Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc  C Gọi A B C', ', '

là giao điểm của  C với tiếp tuyến của  C tại A, B, C Chứng minh rằng A B C', ', ' thẳng hàng.

Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc  C thẳng hàng khi và chỉ khi x Ax B x C 0

Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình y ax b 

Khi đó x x x A, ,B C là nghiệm của phương trình.

x  x ax b  x  a x  b 

Áp dụng định lý Viet, ta suy ra x Ax Bx C 0

Ngược lại, giả sử x Ax B x C 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt C' thì theo phần thuận

ta có x Ax Bx C 0 suy ra x C' x C suy ra C' trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng Nhận xét

được chứng minh

Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có x Ax Bx C 0

Khi m 0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại

Khi m 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x3m và tiệm cận xiên: y mx  2

Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45°  m1

Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y2m cắt đồ thị hàm số

 tại hai điểm phân biệt M và

N sao cho OM vuông góc với ON.

Điều kiện CĐ, CT cách đều d y: 2x là d' hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm I1;m  1

của đoạn nối CĐ, CT

Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  C : y12 x 4x2 cắt trục tung Oy

tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.

x y

0;

x A

x y x

Vậy điểm M thỏa mãn M 1 2;1 2 , M1 2;1 2

Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị  : 4 3

x x

Vậy có 2 điểm M 1 2;1 2 , M ' 1  2;1 2

Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị  

2 3:

d 

, do đó

3min

2

d 

nên chỉ xét các điểm có hoành độ

32

2

d 

tại

30;

Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với

nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.

Gọi M x f x ;   ,N x g x 1;  1 

thì f x'  g x' 1 1

y x

x

  

 nên  C có TCĐ: x 3 và TCX: y x 1, do đó giao điểm 2 tiệm cận I3;4 .

Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ

3:

Hướng dẫn giải

Xét đường thẳng d' vuông góc với d thì d y' : x b

PT hoành độ giao điểm của d' và  

m

.Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y x vuông góc với đường thẳng yx 4 nên tung độ củahai giao điểm lần lượt là x x2, 1.

Do đó x2  x1 4 x1x2 4 m  7 8 m1 (thỏa mãn)

Bài toán 3.39: Tìm những cặp điểm nguyên trên  C : y x 3 4x 1 đối xứng với nhau qua đường thẳng

y x và không nằm trên đường thẳng đó

Hướng dẫn giải

Nếu gọi A x y ;  thì điểm đối xứng của A qua đường thẳng y x có tọa độ là  y x;  Vì thế yêu cầu của

bài toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên x y;  với xy của hệ phương trình

3 3

Phương trình x2xy y 2 3 có nghiệm nguyên xy là 2; 1 , 1;2 , 2;1 , 1; 2        

Thử lại vào hệ, ta chọn 2 nghiệm 2; 1 , 1;2   

Vậy cặp điểm nguyên duy nhất đối xứng với nhau qua đường thẳng y x và không nằm trên đường thẳng

1 1

01!

f a a

0

99

,

9

x mx

Vậy các điểm cần tìm làM 1;y với y   133 .

Bài toán 3.43: Chứng minh các đồ thị y 1 m x 33 1 m x 2 4mx m luôn đi qua 3 điểm cố địnhthẳng hàng

Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng trên đường thẳng y4x1

Bài toán 3.44: Chứng minh các đồ thị hàm số

0 0, 0 1

2 2

Bài toán 3.45: Trên đồ thị  C của hàm số y x33x2 2 có những cặp điểm mà tại đó 2 tiếp tuyến cùng

có hệ số góc p, chứng minh trung điểm của các đoạn thẳng nối từng cặp điểm đó là điểm cố định.

Với p 3 thì  C có 2 tiếp tuyến song song với hệ số góc p.

Gọi x x1, 2 là nghiệm của (1), với 2 tiếp điểm M M1, 2 thì trung điểm M M1 2 có hoành độ: I 1 2 2 1

Vậy trung điểm M M1 2 là điểm cố định I1;0 .

Bài toán 3.46: Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng hai đường của họ  

Giả sử x y0; 0 là một điểm trong mặt phẳng mà có đúng hai đường cong C m đi qua Khi đó phương

trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

là hàm số lẻ nên  C có tâm đối xứng I có tọa độ xm; y m 1 Khử tham

số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là đường thẳng d y: x1,x0

Khử tham số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là parabol  P y x:  2 6x1

Bài toán 3.48: Tìm quỹ tích của điểm:

Ta có x 1 m 4 m 4 1 x2 thế vào y thì được quỹ tích các điểm cực đại thuộc

 P y: 2x26x 10, vì x 1 m 4 1 nên giới hạn là x 1.

b) D , y' 3 x26mx3m2 1

Vì   ' 9 0, m nên đồ thị luôn có CĐ, CT có hoành độ xm1

Lập BBT thì điểm cực tiểu là B x:  1 m y; f 1 m 2

Vậy quỹ tích của điểm cực tiểu là đường thẳng d y : 2.

Bài toán 3.49: Với các giá trị nào của m đường thẳng y m x  cắt đồ thị

 tại hai điểm phân

biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB.

Ta có D \ 1  ,

2'

1

x x y

0 0

11

x x

1

x y x

Do đó y 1, nên quỹ tích của điểm thuộc trục tung cần tìm là B0;y với y 1.

Bài toán 3.51: Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến  : 1 1

Hướng dẫn giải

Gọi M a b ;  , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y k x a   b

Điều kiện d tiếp xúc  C là hệ sau có nghiệm x 1

Yêu cầu bài toán: a1,k k1 2 1,g 1 0.

a) Phương trình hoành độ giao điểm 3x21 m x  1 0 x0

Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 0 với mọi m Hoành độ trung điểm I

b) Kết quả

4125

Bài tập 3.3: Cho hàm số 4 3

x y

x



 có đồ thị  C Tìm tọa độ điểm M thuộc  C sao cho tiếp tuyến của

 C tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và diện tích tam giác OAB là 38.

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y x

Điều kiện 2 đồ thị yf x  và y g x   tiếp xúc là hệ phương trình:

Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

a) y x42x2 2 tại điểm uốn

Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y x 3mx m 1, tại giao điểm với trục Oy, tạo với

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Hướng dẫn

Kết quả m 1 hay m  3 2 2