Chứng minh tam. giác ABC đều.[r]
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG II – HÌNH 10 (CHUẨN)
II CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC:
* Kiến thức cần nhớ:
1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
a) a2 = b2 + c2 hay BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pitago)
b) b2 = a.b’ hay AC2 = BC.HC
c) c2 = a.c’ hay AB2 = BC.HB
d) h2 = b’.c’ hay AH2 = HB.HC
e) a.h = b.c hay AH.BC = AB.AC
2 a)
b AC sin B cosC
a BC
b)
c AB sinC cosB
a BC
c)
b AC tanB cot C
c AB
d)
c AB cot B tanC
b AC
3 Định lí côsin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC
Suy ra hệ quả:
cosA
2bc
cosB
2ac
cosC
2ab
4 Định lí sin:
sin A sin B sinC (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
* a = 2RsinA * b = 2RsinB * c = 2RsinC
* a =
bsinA csin A
sin B sinC * b =
asinB csin B sinA sinC * c =
asinC bsinC
5 Đường trung tuyến:
2
m
4
2
m
4
2
m
4
6 Diện tích tam giác:
a) Diện tích tam giác vuông:
1
2
(a, b là hai cạnh góc vuông)
2S h a
; b
2S h
b
; c
2S h c
*
(biết góc xen giữa hai cạnh)
*
abc
S
4R
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) R =
abc 4S
* S pr (p =
a b c 2
là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
* S p(p a)(p b)(p c) (công thức Hê-rông)
II Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC tại B, A 62 0 và cạnh b = 54 Tính C , cạnh a, c và đường cao hb
Giải: * Tính C : C 90 0 620 280
* Tính b:
a sin A
b
a = b.sinA = 54.sin620 47,68
c' b'
h a
a
B
A
62
hb
H
A
B
Trang 2* Tính c:
c sinC
b
c = b.sinC = 54.sin280 25,35 hoặc:
c cosA
b
c = b.cosA = 54.cos620 25,35
* Tính h : b.b h = a.c b b
a.c 47,68.25,35 h
22,38
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, B 34 0 và cạnh b = 43 Tính C , cạnh a, c và đường cao ha
Giải: * Tính C : C 90 0 340 560
* Tính a:
b sin B
a
sin B sin34
* Tính c:
b tanB
c
* Tính h : a.a h = b.c b a
b.c 43.63,75
Bài 3: Cho tam giác ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm.
a) Tính các góc A , B , C b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R của tam giác
d) Tính độ dài đường trung tuyến m và chiều cao a ha
Giải: a) * Tính A :
A 98047’
* Tính B :
B 5308’
* Tính C : C= 180 0 – (98047’ + 5308’) = 2805’
b) Tính S: Ta có:
a b c 21 17 10
(cm) Theo công thức Hê-rông, ta có: S p(p a)(p b)(p c)
24(24 21)(24 17)(24 10) 84 (cm2)
c) * Tính r: Ta có: S = p.r r = S 84 3,5
* Tính R: Ta có:
(cm) d) * Tính m : Ta có: a
2 a
ma 84,25 9,18 (cm)
(cm)
Bài 4: Cho tam giác ABC, biết A 60 0, AC = 8cm, AB = 5cm
a) Tính cạnh BC b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Xét xem góc B tù hay nhọn? Tính góc B d) Tính độ dài đường cao AH
e) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải: a) Ta có: BC2 = AC2 + AB2 – 2.AC.AB.cosA = 82 + 52 – 2.8.5.cos600 = 49 BC = 7(cm) b) Tính S:
0
(cm)
34
ha
H
A
B
A
Trang 3c) Ta có:
> 0
B nhọn và B 81047’
(cm) e) Tính R: Ta có:
(cm)
Bài 5: Cho tam giác ABC có B 20 0, C 31 0và cạnh b = 210cm
a) Tính A , các cạnh còn lại b) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải: a) * Tính A : Ta có: A = 1800 – (B C ) = 1800 – (200 + 310) = 1290
* Tính a: Ta có:
0 0
b.sin A 210.sin129
(cm)
* Tính c: Ta có:
0 0
b.sinC 210.sin31
(cm)
Bài 6: Giải tam giác ABC biết cạnh a = 2 3 , cạnh b = 2 và C 30 0
Giải: * Tính cạnh c: Ta có: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
= (2 3 )2 + 22 – 2.2 3 2.cos300 = 4 c = 4 = 2(cm)
* Tính B : Ta có: b = c = 2 ABC cân tại A
B C 30 0
* Tính A : A 180 0 (B C) 180 0 600 1200
Bài 7: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) b = a cosC + c cosA b) sinB = sinA cosC + sinC cosA
c) h = 2R sinA sinCb
Giải: a) Ta có: VP = a cosC + c cosA =
=
= VT (đpcm) b) Ta có: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
Từ câu a) b = a cosC + c cosA 2RsinB = 2RsinA cosC + 2RsinC cosA
sinB = sinA cosC + sinC cosA (đpcm)
Mà: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
Suy ra: 2RsinBh = 2RsinA.2RsinC.sinB b h = 2RsinA sinC (đpcm)b
Bài 8: Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 5 Gọi AD là phân giác trong của góc A
a) Tính diện tích S của tam giác ABC b) Tính góc A c) Tính AD
a
C B
30
B
A
Ghi nhớ: + Nếu a2 < b2 + c2 (hoặc cosA > 0) thì A nhọn
+ Nếu a2 > b2 + c2 (hoặc cosA < 0) thì A tù
+ Nếu a2 = b2 + c2 (hoặc cosA = 0) thì A vuông
Trang 4Giải: a) Tính S: Ta có: p = a b c 8 7 5 10
Suy ra: S p(p a)(p b)(p c) 10(10 7)(10 8)(10 5) 10 3
b) Tính A : Ta có: cosA =
A 60 0
c) Tính AD: Ta có:
0 ABD
= 5 AD
4
0 ACD
Mà: S = SABD+ SACD 10 3 = 5 AD
13
4 AD = 10 3 AD =
40 3
Bài 9: Cho tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: a(a2 – c2) = b(b2 – c2) Tính C
Giải: Ta có: a(a2 – c2) = b(b2 – c2) a3 – ac2 = b3 – bc2 a3 – b3 = ac2 – bc2
(a – b)(a2 + ab + b2) = c2(a – b) a2 + ab + b2 = c2 ab = c2 – a2 – b2
Ta lại có:
cosC
Bài 10: Cho ABC
2
c 2bcosA
c a b
Giải: Ta có:
2
c a b
c3 + a3 – b3 = b2c + ab2 – b3 c3 + a3 = b2c + ab2
(c + a)(c2 – ca + a2) = b2(c + a) c2 – ca + a2 = b2 c2 – ca + a2 = a2 + c2 – 2accosB
cosB =
1
2 B 60 0 Mà: c = 2b cosA cosA =
c 2b
Ta lại có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA a2 = b2 + c2 – 2bc
c 2b a2 = c2 a = c Vậy: ABC đều (vì ABC cân tại B và B 60 0)
Bài 11: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 14, góc C = 120 0, tổng hai cạnh còn lại là 16 Tính độ dài hai cạnh còn lại
Giải: Ta có: AB2 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.cosC 196 = BC 2 + AC2 – 2.BC.AC.cos1200
196 = BC2 + AC2 + BC.AC (1)
Ta lại có: BC + AC = 16 AC = 16 – BC thay vào (1), ta được:
196 = BC2 + (16 – BC)2 + BC(16 – BC) BC2 – 16BC + 60 = 0
BC 10
BC 6
* Với BC = 10 AC = 6 * Với BC = 6 AC = 10
Vậy: BC = 10 và AC = 6 hoặc BC = 6 và AC = 10
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B 58 0 và cạnh a = 72cm Tính C , cạnh b, cạnh c và đường cao ha
D
B
A
Trang 5Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C, A 48 0 và cạnh b = 54cm Tính B , cạnh a, cạnh c và đường cao hc
Bài 3: Cho tam giác ABC có A 120 0, cạnh b = 8cm và c = 5cm
a) Tính cạnh a b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Xét xem góc B tù hay nhọn? Tính góc B và C d) Tính độ dài đường cao ha e) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 4: Cho tam giác ABC có A 105 0, cạnh b = 2 , cạnh c = 1
a) Tính cạnh a b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính góc B và C d) Tính độ dài đường cao hc
Bài 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm
a) Tam giác ABC có góc tú không? Tính các góc A , B , C
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R của tam giác ABC
d) Tính độ dài đường trung tuyến m và chiều cao b hc
Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7cm, b = 9cm và c = 12cm
a) Tính các góc A , B , C
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R của tam giác ABC
d) Tính độ dài đường trung tuyến m và chiều cao a hb
Bài 7: Tính góc lớn nhất của tam giác ABC, biết:
a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm
b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm
Bài 8: Cho ABC có a = 6 , b = 2, c = 3 1 Tính độ dài h , a m , R, r, A, B và Ca
Bài 9: Cho tam giác ABC biết c = 35cm, A 40 0, C 120 0
a) Tính B , các cạnh còn lại b) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 10: Giải tam giác ABC, biết:
a) a = 7cm, b = 23cm, C 130 0 b) a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm
c) a = 14, b = 18, c = 20 d) A 60 0, B 40 0, c = 14
Bài 11: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
a) a = bcosC + ccosB b) sinA = sinBcosC + sinCcosB
c) h = 2RsinBsinCa
Bài 12: Cho tam giác ABC có a = 14, b = 10, c = 6
a) Tính các góc trong tam giác ABC b) AD là phân giác trong góc A Tính AD
c) Tính diện tích S, bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 13: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 13, A 120 0, tổng hai cạnh còn lại là 15 Tính độ dài hai cạnh còn lại
Bài 14: Chứng minh rằng mếu tam giác ABC thỏa mãn:
2
b c a
a 2bcosC
Bài 15: Cho tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: b(b2 – a2) = c(c2 – a2) Tính A
Bài 16: Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì, ta có: a2 = b2 + c2 – 4ScotA
Trang 6Bài 18: Cho tam giác ABC bất kì Chứng minh rằng: b2 – c2 = a(bcosC – ccosB)
Bài 19: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện:
(a + b + c)(a + b – c) = 3ab Tính C
Bài 20: Cho ABC thỏa mãn: 2(a3 + b3 + c3) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) Chứng minh tam giác ABC đều