Một số phương trình quy về bậc nhất và bậc hai một ẩn | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner... Vô số.[r]

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 4 Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai



Dạng toán 1: Phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn

Phương trình trùng phương: ax4bx2 c 0, (a0) ( )

—

Đặt

2 0

tx  thì ( )  at2bt c  ( )0 

— Để xác định sớ nghiệm của ( ),  ta dựa vào sớ nghiệm của ( )  và dấu của chúng, cụ thể:

 Để ( )  vơ nghiệm







  

 



( ) v« nghiƯm ( ) cã nghiƯm kÐp ©m.

( ) cã 2 nghiƯm ©m

 Để ( )  cĩ 1 nghiệm







1 2 ( ) cã nghiƯm kÐp t t 0 ( ) cã 1 nghiƯm b»ng 0, nghiƯm cßn l¹i ©m

 Để ( )  cĩ 2 nghiệm phân biệt









( ) cã nghiƯm kÐp d ¬ng ( ) cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu

 Để ( )  cĩ 3 nghiệm ( )   cĩ 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm cịn lại dương.

 Để ( )  cĩ 4 nghiệm ( )   cĩ 2 nghiệm dương phân biệt.

Mợt sớ dạng phương trình bậc bớn quy về bậc hai

 Loại 1 ax4bx3cx2dx e 0 với

2 0.

e d

a b

 

  

 

   Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2 0, rời đặt

2 2

   

     

  với

d

b

  

 Loại 2 (x a x b x c x d )(  )(  )(  )e với a c b d   .

   Phương pháp giải: (x a x c )(  )  (x b x d )(  )  e

x a c x ac x b d x bd e

           

và đặt tx2(a c x )

 Loại 3

2 (x a x b x c x d )(  )(  )(  ) ex

với a b c d 

   Phương pháp giải: Đặt

2

2

a b c d

tx ab    x

thì phương trình

2

a b c d a b c d

         

       

 Loại 4

(x a )  (x b ) c

   Phương pháp giải: Đặt

2

a b

x tt    t  c   

a b

  

3

Chương

 Loại 5 x ax bx c (1)

A B bằng cách thêm hai vế cho một lượng

2 2

2 k x k , tức phương trình (1) tương đương:

(x )  2kx k  (2k a x ) bx c k   (x k)  (2k a x ) bx c k 

? 4(2 )( ) 0

VP

k a

k

b k a c k

  



     



 Loại 6 x4ax3bx2cx d (2)

A B bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng

bình phương:

x x k x ax  k x kax k

của phương trình (2) một lượng:

2

4

a

x x k  k b x ka c x k d

           

Lúc này cần số k thỏa:

2

2

4

?

4

VP

a

k a



  





 



         



 Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng

phương pháp tách nhân tử Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner

— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

 Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x 1.

 Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x 1.

 Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và

thử lại tính đúng sai.

— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

b a

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình

( )1 1

b a

0 1

a

b a a

ì ¹

ïï

ï

ì ¹ ïï

ïî

0 0

a b

ì ¹ ïï

Û íï ¹

2

x x

A

3 1;

2

S ìïï üïï

ì ü

ï ï

=í ýï ï

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Phương trình

2

x x

( ) ( )

1 3 2

é = ê ê Û

ê = ê

Vậy

3 2

S ì üï ï

=í ýï ï

2

x

=

A

3

T

m

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình thành (m2+2)x+3m=2x Û m x2 =- 3m

Vì m¹ 0 suy ra

3

x m

-=

m x

là :

A

2

T

m

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình

2

x

2

=-2

x m

Vậy

2

S m

2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện:

1 1

x x

ì ¹ ïï

íï ¹ -ïî Phương trình ( )1 thành

( )

2 1

-=

( )

2 2

0 2 1 2 1

m m m m m

ìïï

ï ¹

ïï

ïï

-ïïïî

0 2 2

m

ì ¹ ïï ïï

ï + ¹ -ïïî

( )

0

1

m

ld m

ì ¹ ïï ïï

Û íï ¹

ïï ¹ -ïî

0 1

m m

ì ¹ ïï

Û í

ï ¹

x a

x

+

nghiệm nguyên Vậy nghiệm đó là :

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình ( )1

thành

2

1

x a

x

+

2 4 4 0

1 0

a

ï

Û í

ï + ¹

ïî

2 4 4 0

1 0

a

ï Èí

ï + = ïî

2 2 2

2 2 2 1

a a a

é = + ê ê

-ê

=-ê ê

( ) ( )

0 1

é = ê

ê =

3 1

mx x

nghiệm?

A

3 2

m¹

C

3 2

m¹

3 2

m¹

và

1 2

m¹

-

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình

( )1 thành

3 1

mx x

4

1

m

m

ïï ï

Û íï

¹

-î

3 2 1 2

m

m

ìïï ¹ ïïï

Û í

ïï ¹

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Câu 9. Tập nghiệm của phương trình: x- 2 =3x- 5(1) là tập hợp nào sau đây ?

A

3 7

;

2 4

3 7

;

2 4

;

7 3

;

4 2

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

é = -ê

Û

ê = -ë

x x

é = ê Û

ê = ë

3 2 7 4

x

x

é

ê = ê

Û ê

ê = ê

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

2x- 4+ -x 1=0

1 0

x x

ïï

1

x

vl x

ì = ïï

ïî

Suy ra S =Æ.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

-ê

ê = -ë

2

x x

ì ³

ïï

Û íï Î

Câu 12. Với giá trị nào của a thì phương trình:3x +2ax=- 1có

nghiệm duy nhất:

A

3 2

a>

3 2

a<

3 3

;

2 2

a ìïï- üïï

a<- Ú >a

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: 3x +2ax=- 1Û 3x =- -1 2ax Û - -1 2ax³ 0 Ç

é = -ê

ê = +

a x

a x

=-ê

3 2 3 2

a

a

-ê <

ê

Û ê

ê >

ê ê

3 2 3 2

a

a

-ê <

ê

Û ê

ê >

ê

chỉ khi :

Hướng dẫn giải

Chọn D.

2

1

f x

ï

=í

nghiệm

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có x- 2 =2x- 1Û 2x- ³1 0È

2 1 2

-ê

ê = -ë

1 2

x

Ç

( ) ( )

1 1

é =-ê

ê = ê

Vậy

{ }1

là :

A

;

;

C

;

;

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện:

x x

ïï

íï + ¹ ïî

3 2 1

x x

ìïï ¹ ï

Û í

ïï ¹ -ïî Phương trình (1) thành:

-TH1: x³ - 1

Phương trình thành x2- =-1 6x2+11x- 3Û 7x2- 11x+ =2 0

( ) ( )

14

14

ê = ê ê

-ê = ê TH2: x<- 1

Phương trình thành - x2+ =-1 6x2+11x- 3Û 5x2- 11x+ =4 0

( ) ( )

10

10

ê = ê ê

-ê = ê

Vậy

;

2 4 2

2 2

x x

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện: x>2

Ta có

2 4 2

2 2

x x

( ) ( )

0 5

é = ê

ê Vậy S={ }5 .

2 2

x x

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện x- > Û > 2 0 x 2

( )1 Û x2- (2m+3)x+6m=0( )2 , phương trình luôn có nghiệm là x= và 3 x=2m

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình thành

2 5 4 0 0

x a

ê

ê - = ë

4 1

x x

é = ê ê

ê = ë

là:

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình thành x- 4(x2- 3x+ =2) 0

( ) ( ) ( )

4 1 2

é = ê ê

ê

ê =

khi :

A

9 4

m<

9

2 4

9

2 4

9 4

m>

Hướng dẫn giải

Chọn C.

1

x

é = ê

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

m m

ïï

ïî

9 4 2

m m

ìïï < ï

Û í

ïï ¹

Tìm m để phương trình có

nghiệm :

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t=x2- 2x+3 (t³ 2) Ta được phương trình t2+2 3( - m t m) + 2- 6m=0 1( ),

/ m2 6m 9 m2 6m 9

bằng 2

6 2 2

m m

é - ³ ê Û

ê ³

2

2

x

A.0< £m 2 6 4- . B.1< < m 3 C 4 2 6- £ m< 1 D 2 6 4- £ m<1

Hướng dẫn giải

Chọn B

khi 0 2< m- <2 4Û < < 1 m 3

2

0

a

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt

2

1

x t x

= -Phương trình

( )1 thành t2+ + =2t a 0( )2

0 0 0

S P

ì D >

ïï

ïï

Û íï >

ï >

ïïî

( )

2 0 0

a vl a

ïï ïï

Û - >íï

ïï >

2 2

nghiệm :

A

3 4

m³

3 4

m£

3 2 1 2

m

m

é

ê ³ ê ê

ê £ -ê

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

1

t x

x

= +

2 2 1 2 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

m m

é - ³ ê

ê £ -ë

3 2 1 2

m

m

é

ê ³ ê

Û ê

ê £ -ê

2 2

ç

đúng hai nghiệm lớn hơn 1:

Lời giải

Chọn B

Ta có:

2 2

ç

2

Đặt

2

t x

x

 

, phương trình trở thành t2 4t k  3 0 2 

cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình  1

Ta có :   4 k1  1 k

có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi

2

2













k

k k

x2 2 4 – 2x  2 m x 22x44 –1 0m  có đúng hai nghiệm

4

m m





Lời giải

Chọn D

2 2

 

của phương trình  1 Do đó phương trình  1 có đúng hai nghiệm khi

 

2

2



 







m

4

 





m

2 2

2

25

11 5

x x

x

Lời giải

Chọn D

2 2

2

25

11 5

x x

x

+

x x

ç

2 2 10 50

2

2

2

1 5 11 5

















 



x x x x

 

2 2

5 0

 



1,79 2

2,79 2











x

x

Câu 28.

Hướng dẫn giải

Chọn

Ta có:

 2 2    2 

2 x 2x  4m 3 x 2x  1 2m0

 

 

2 2

1

2











  2 1

2

3; 0 2

3; 0 2











x

x

 2  x12 2m Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn 3; 0 khi phương trình  2 có hai nghiệm thuộc đoạn 3; 0











m

m m

0 1 2 2













m m

Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.

6 2003 3 2005 0

A 0 B 1 C 2 D 6

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình x6+2003x3- 2005=0

Vì 1.(- 2005)<0 suy ra phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Suy ra có phương trình có một nghiệm âm

2 4

b S a

-=

,

c P a

=

Ta có ( )1

vô nghiệm khi và chỉ khi :

0

0

S P

ì D ³ ïï ïï

D < Úíï <

ï >

0 0

S

ì D >

ïï

íï <

0 0

P

ì D >

ïï

íï >

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt

Phương trình

( )1 thành at2+ + =bt c 0 2( )

0

0

S P

ì D ³ ïï ïï

Û D < Èíï <

ï >

có bao nhiêu nghiệm ?

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

Suy ra phương trình vô nghiệm

có bao nhiêu nghiệm ?

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt

Phương trình

( )1 thành - t2- 2( 2 1- ) (t+ -3 2 2)=0( )2

Phương trình

( )2 có a c = -( )1 3 2 2( - )<0

Suy ra phương trình ( )2 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 33.

A vô nghiệm

B Có 2 nghiệm

2

,

2

2

-,

2

-

D Có 4 nghiệm

2

,

2

,

2

-,

2

-

=-

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt

Phương trình (1) thành 2.t2- 2( 2+ 3)t+ 12=0( )2

Ta có

' 5 0

0 2

12

0 2

b a c

a

ìïï

ï D = >

ïï

íï ïï ïï

ïï ïî

có 2 nghiệm dương phân biệt

là đúng:

A Phương trình có nghiệm

1 4

m

C Phương trình vô nghiệm với mọi m

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt

Phương trình

( )1 thành t2+ + =t m 0 2( )

Û phương trình ( )2 vô nghiệm hoặc phương trình( )2 có 2 nghiệm âm

0

0

S P

ì D ³ ïï ïï

Û D < Èíïï ><

ïïî

0

m m

m

ïï ïï

Û - < È - <íïï >

ïïî

1 1

4

m m

m

ìïï £ ï

ïï >

có:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

2 2

0

x

é = ê

4 2005 2 13 0

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt

Phương trình

( )1 thành t2- 2005t- 13=0( )1

Phương trình ( )2 có a c. = -1.( 13)<0

có 2 nghiệm trái dấu

Câu 37. Phương trình : 3- x +2x+ =4 3, có nghiệm là :

A

4 3

x

-=

2 3

x=

Hướng dẫn giải

Chọn D.

3

( )

4

=-Trường hợp 3: x>3

3

Vậy S =Æ.

Câu 38. Phương trình: 2x- 4+ -x 1=0 có bao nhiêu nghiệm ?

Hướng dẫn giải

Chọn A.

2x- 4+ -x 1=0

1 0

x x

ïï

1

x

vl x

ì = ïï

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 40. Phương trình: x+ +2 3x- 5- 2x- 7 =0, có nghiệm là :

A

5 2;

3

" Î

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình thành: - - -x 2 3x+ +5 2x- 7=0 Û - 2x=4Û x=- 2 ( )n .

Trường hợp 2:

5 2

3

x

- < <

Phương trình thành: x+ -2 3x+ +5 2x- 7=0Û 0x=0 ( )ld Suy ra - < <2 x 53.

Trường hợp 3:

3

Trường hợp 4:

7 2

x>

3

Vậy

5 2;

3

=

có nghiệm là :

A

1 2

x=

,

7 2

x=

,

13 3

x=

3 2

x=

;

7 3

x=

,

11 3

x=

C

7 5

x=

,

5 4

x=

,

13 2

x=

7 4

x=

,

5 2

x=

,

13 4

x=

Hướng dẫn giải

Chọn D.

TH 1: x£1

Phương trình thành:

4

( ) ( )

2

2

ê =

ê

ê

-ê =

ê

TH 2: 1< <x 2

Phương trình thành:

4

TH 3: 2£ £x 3

Phương trình thành:

4

2

TH 4: 3< <x 4

Phương trình thành:

4

4

( ) ( )

2

2

ê =

ê

ê

-ê =

ê

2

có đúng ba nghiệm Các giá trị k

tìm được có tổng :

Câu 43. Phương trình:x2- 6x+ =5 k x2 - 1có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải

2 2

12

m

có đúng 4 nghiệm?

Hướng dẫn giải

1

x

điều kiện để thỏa mãn tham số m là :

A

1 0

3

m

< <

0 1 3

m m

é <

ê ê

ê >

1 3 0

m m

é

ê <-ê ê

>

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện: x>- 1

Phương trình thành 3mx+ + + =1 x 1 2x+5m+3

(3m 1)x 5m 1 2( )

m m

m m

m

ï

ï

-1 3

m

Û = È m 13 55m m 11 33m m 11 khi khi 33m m 1 01 0

1 3

m

1 0

1 3

0

3

m

Vậy Phương trình có nghiệm

0 1 3

m m

é <

ê ê

ê >

2 2 1

A

1 3

m m

é = ê

ê =

1 3

m m

é =-ê

ê

2 2

m m

é = ê

ê

1 3 1 2

m

m

é

ê =-ê ê

ê

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện:

0 1

x x

ì ¹ ïï

íï ¹ -ïî Phương trình thành x2+mx+ - -x2 x 2=2(x2+x) Û (m- 3)x=2( )2

có nghiệm duy nhất

3 0

m

( )

2 0 3

3 0

2

1 3

vl m

m

m

3 3

m m

m

ì ¹ ïï

-ïî

3 1

m m

é = ê Û

ê =

2 2

x x

- + +

=

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện:

0 2

x x

ì ¹ ïï

íï ¹ ïî Phương trình thành

-TH 1: x<- 1

Phương trình thành x2- - - = -1 x 1 2( )(x x- 2) Û 3x2- 5x- 2=0

( ) ( )

2 1 3

é = ê ê

-ê = ê

TH 2: - £ £1 x 0

Phương trình thành x2- + + =-1 x 1 2x x( - 2) Û 3x2- 3x=0

( ) ( )

0 1

é = ê

TH3: x>0

Phương trình thành x2- + + =1 x 1 2x x( - 2) 2

( ) ( )

0 5

é = ê

2

1 2

x m

m x

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình thành

2x m- =mx- 2m x- + Û2 m- 3 x= -m 2(2)

Phương trình (1) vô nghiệm

Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất

3 0

3 0

2

3

m m

m m

m

ì - ¹ ï

ï

3 4

m m

é = ê Û

ê =

3 2

5

-=

A

1 8

x

21 9

x

=-,

2 23

x=

C

22 9

x

=-,

1 23

x=

D

23 9

x

=-,

3 23

x=

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện:

3 2+ x+ -x 2¹ 0

Phương trình thành

3 2- x- x =5 3 2+ x + -5x 10

TH 1:

3 2

x<

-Phương trình thành 3 2- x x+ =- 15 10- x+ -5x 10Û 4x=- 28Û x=- 7 ( )n .

TH2:

3

0

8

=-

TH 3:

3 0

2

x

< <

Phương trình thành 3 2- x x- = +15 10x+ -5x 10 Û 18x=- 2 1 ( )

9

=-

TH 4:

3 2

x³

7

=-

-=

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện: x>4

Phương trình thành

3 0

3 3

x

é = -ê

Û - ³ Ç

ê = -ë

( )

3

3

x

x

é = ê

Vậy T=(4;+¥ ).