Đề thi HSG Toán lớp 9 THCS Hồng Bàng – Đề số 21 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

phần tử còn lại của hai tập hợp này đều khác nhau.[r]

Nguyễn Anh Tuấn – THCS Hồng Bàng – Quận Hồng Bàng.

CAUHOI

Phần 7_05

Một lớp học có số học sinh đạt loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn) đều vượt quá 50% Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại Giỏi từ 2 môn trở lên

DAPAN

Câu 5

(1,0 đ)

a) (1,0 điểm)

Gọi số học sinh của lớp đó là n (n*;n 10) A ,A , , A là tập hợp1 2 11

các học sinh giỏi thuộc 11 môn học

Có x1 học sinh giỏi thuộc A1, x2 học sinh giỏi thuộc A2, , x11 học sinh giỏi

thuộc A11 trong đó x1 n, x2 n, , x11 n

Như vậy x1x2 n do đó có ít nhất 1 học sinh thuộc tập hợp A1A2

Tương tự có ít nhất 1 học sinh thuộc tập A1A 3

0,25

+ Nếu A ,A có ba phần tử chung trở lên thì bài toán được chứng minh1 2 0,25

+ Giả sử A1 và A2 có một phần tử chung duy nhất b1 c1 Như vậy các

phần tử còn lại của hai tập hợp này đều khác nhau Tổng số các phần tử

khác nhau đôi một của A1 và A2 là x1x2  1 n 1  , suy ra không còn 1

học sinh nào của lớp mà không thuộc A1 hoặc A2

Nhóm A3 có nhiều hơn n

2 học sinh nghĩa là nhiều hơn 5 học sinh phải thuộc một trong hai nhóm A1 hoặc A2 Vậy có ít nhất 3 học sinh giỏi từ 2

môn trở lên

0,25

+ Trường hợp A ,A chỉ có 2 phần tử chung thì tổng số học sinh của hai 1 2

nhóm này lớn hơn n n 2 n 2

22   Suy ra có nhiều nhất 1 học sinh của lớp không thuộc A1 và A2, nghĩa là có ít nhất 2 học sinh của nhóm A3 thuộc

một trong hai nhóm A1,A2 Từ đó suy ra đpcm

0,25