+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. +) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức[r]
Trang 1CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ CÁCH GIẢI
A PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
* Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm
* Một số phép biến đổi tương đương:
+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình
+) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình
+) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình
+) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương
+) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều
I Kỹ thuật lũy thừa hai vế
1 Phép lũy thừa hai vế:
a) 2k 1 f(x) 2k 1g(x) f(x) g(x)
b)
) ( ) (
0 ) ( )
( )
( 2
2
x g x f
x g x
g x
*)
B A
B B
0
0
A
B
*)
2 0 0
B A A
B B
*) A B 0 AB
2 Lưu ý:
Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào
bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng
3 Ví dụ:
Trang 2Bài 1: Giải các BPT sau:
a) x 3 2x 1 ; b) x2 x 1 x 3
c) 3x 2 4x 3 ; d) 3x2 x 4 x 1
Giải:
a)
3 0
4 5 4 3 2 1
1 2 3
0 3
0 1 2 1 2
3
2 2
x x x x
x x
x
x x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 3 ;
b)
8 3
1
0 3
0 1 3
1
2 2
2
x x
x x
x x x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
; 7
8
Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải
Bài 2: Giải BPT: x 4 1 x 1 2x (1)
Giải:
Trang 3* (1)
1 3 2 1 2
2
1 4
2 1 1
4
0 4
0 2 1
0 1
2 1 1
4
2
x
x x
x x x x x
x x
0 4
0 2
7 2 1 2 1 2
1 4
1 2 1 3 2
0 1 2
0 1 2
2
1 4
2 2
x x x x
x x
x
x
x
x
* Vậy tập nghiệm: [-4;0]
Bài tập tương tự : Giải BPT: 5x 1 x 1 2x 4 (TS (A)_ 2005)
Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10)
II Kỹ thuật chia điều kiện
1 Kỹ thuật:
Nếu Bài toán có điều kiện là xD mà DD1 D2 D n ta có thể chia Bài toán theo
n trường hợp của điều kiện:
+) Trường hợp 1: xD1, giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm T1
+) Trường hợp 2: xD2, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T2
………
+) Trường hợp n: xD n, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm Tn
Tập nghiệm của bất phương trình là T T1T2 T n
2 Yêu cầu:
Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo
3 Ví dụ:
Bài 1: Giải BPT: 3 4 2 2
2
x
x x
(1)
Trang 4Giải:
* Điều kiện:
3
4 1
0
x
x
* Với 0x 43 (i) ta có (1)
2 2
2 2 4 3
0 2 2 2 2 4 3
x x
x
x x
x x
7
9 0
9 7
1
x x
x
(ii) Kết hợp (i) và (ii) ta có tập nghiệm là
3
4
; 7
9
1
T
* Với 1 x 0 thì (1) luôn đúng Tập nghiệm trong trường hợp này là T2 = [-1 ;0) Vậy tập nghiệm của (1) là 1 ; 0
3
4
; 7
9
2
1
T T
Bài tập :
Giải BPT : x2 3x 2 x2 4x 3 2 x2 5x 4
Đáp số : x 4 hoặc x = 1
III Kỹ thuật khai căn
1) Đưa biểu thức ra ngoài căn thức :
*
) 0 (
) 0 ( 2
A A
A A A
2
x
y E
A x
E
y
A
* 2n A2n A
* 2n 1A2n 1 A
2) Lưu ý :
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức
3) Ví dụ :
Giải BPT :
2
3 1 2 1
(1)
Trang 5Giải :
2
3 1 1 1
1 2
3 1 1 2 1 1
1 2
) 2 ( 2
3 1 1 1
1
1
x x
x
* Với x 1 1 0 x 1 1 x 2 luôn thỏa mãn bpt (2)
Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T1=[2 ;+ )
1 1
1 0
1
x
x
2
3 2 2
3 1 1
1
Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T2=[1 ;2)
KL : Tập nghiệm của (1) là T=T1T2 1 ;
* Chú ý : Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế
IV Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về bất phương trình tích
1 Bất phương trình tích : Trên điều kiện của bpt ta có :
*
0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( 0
)
(
)
(
x g
x f
x g
x f x
g
x
f *
0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( 0
) ( ) (
x g
x f
x g
x f
x f x
g x f
Các trường hợp còn lại, các bạn tự suy luận
2 Lưu ý :
Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo,
cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh
3 Ví dụ :
Trang 6Giải BPT : x 13x2 x 1 3x3 1 0 (1)
Giải :
Điều kiện : x 1 (*)
(1) x 1 3x2 x 1 x 1 x x 1 3x3x 0
1 1 3 2 1 0
0
1
x x (do x 1 3x2 1 0 khi x 1)
0 1 1
Vậy BPT đã cho vô nghiệm
V Kỹ thuật nhân chia liên hợp :
1 Biểu thức nhân chia liên hợp:
B A
B A B
A
* 1 (A B)
B A
B A B
2 Lưu ý:
+) Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản
+) Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp
3 Ví dụ:
Giải BPT : x2 15 3x 2 x2 8
(1)
Giải:
* Ta có (1) x2 15 x2 8 3x 2
2 3 8 15
7 2
3 8 15
8 15
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x
x x
(2)
Trang 7Từ (2) ta có
3
2 0
2
* Mặt khác:
(1) x2 15 4 3x 3 x2 8 3
3 8
1 )
1 ( 3 4 15
1
2 2 2
2
x
x x
x
x
3 8
1 3
4 15
1 1
2
x
x x
x
* Lại có : Vì
3
2
x nên
3 8
1 4
15
1 3
8 4
15
2 2
2 2
x
x x
x x
x
0 3 3 8
1 4
15
1
2
x
x x
x
Vậy (3) x 1 0 x 1
KL : BPT (1) có tập nghiệm là T=1 ;
* Chú ý : Trong Bài toán này, việc thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện
nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x=1 thì hai vể của BPT bằng nhau
b x d cx a
Bài tập tương tự : Giải BPT : 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0
(Dựa vào ĐH_B_2010)
VI Một số Bài tập tự luyện : Giải các BPT sau :
1,
2
3 4
4 4
x
x
3
2
3, x 2x 1 x 2x 1 2 4, 3x 4 2x 1 3 x
5, ( 4x 1 ) x2 1 2x2 2x 1 6, x2 3x 2x2 3x 2 0 (ĐH_D_2002 )
7,
3
5 3 3
16
2
x
x x
x
8,
1 2
1 5 3 2
1
2 x x
x
9, 1 1 4 3
2
x
x
10, x2 8x 15 x2 2x 15 4x2 18x 18
Trang 811,
2 9
3
2
2
2
x
12, 2 2
2 3 1 10 2 1
13,
x x
x x
x 12 12 2 14,
x
x x
x x x
x
3 2 2
2
1
B PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I Một số yêu cầu :
- Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn Từ đó mở rộng cho Bài toán tương tự
- Chú ý tới các điều kiện của ẩn
II Một số dạng toán và các Bài toán làm mẫu
1 Đặt ẩn phụ đưa về bpt đơn giản hơn :
Bài 1 :Giải BPT : 2 1 3
1
x x
x
(1)
Giải :
* Điều kiện :
1
0
x
x
(*)
* Đặt 1(t 0 ).
x
x
t BPT (1) trở thành : 12 2t 3 2t3 3t2 1 0 (t 0 )
t
2
1 0
0 1 2
1 2
3
4 2
1 1
0 x
x
x
2
1 2 2
1
x
x x x
(2)
Trang 9Giải :
* Điều kiện : x>0
2
1
x x
t (theo bất đẳng thức Côsi)
2 2 2
1 2 1 4
x
x x
x
* BPT (2) trở thành :
2 1
2 4
2 2
t
t t
t kết hợp với t 2 ta được t 2
* Khi đó
2 2
3 0
2 2 3
2
2 2 0
2
2 2 2
2
1
x
x
x
x x
KL :
* Chú ý : Bài toán có thể mở rộng cho dạng : ( ) 1( ) 2( ) 2( ) 0
c x f x f b x f x f
2 Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình lượng giác :
Giải BPT : 1 x25 x5 1 (1)
Giải :
* Điều kiện : x 0 ; 1
* Đặt x cost với 0;2
t BPT (1) trở thành : sin5t cos5t 1
Do sin5t sin2t và nên sin5t cos5t sin2t cos2t 1 với 0;2
t
* Do đó BPT đã cho có nghiệm là x 0 ; 1
3 Bài tập tự luyện: Giải các BPT:
Trang 101) x2 3x 3 x2 3x 6 3 2) 7x 7 7x 6 2 49x2 7x 42 181 14x
1 2 1 1
1 x x x 4) 2x 3 x 1 3x 2 2x2 5x 3 16
5) xx 4 x2 4xx 22 2 6) x
x
x
7) x x2 1 x x2 1 2 8) 2 2
1
9) 2 2 1 3x 1
x x x
x 10) x3 35 x3x3 35 x3 30
2 1
1 x x 12)
3
1 3
2 1
1 1
1
2 3
3
x x
13) x 3 x 2x 9 x 18 168x 14) 4 x3 1 4x2 7x 1
15)
2 2
1
3 1
1
1
x
x
x x
x x
x
2 1
2 1 2 1
2 1 2
1 2 1
17)
4 4
2
1 1
2 x x 18)
16 9
8 12 2
2 4 2
2
x
x x
x
C PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
* Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên…
* Nhớ các bất đẳng thức
* Thường áp dụng cho các Bài toán đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng
hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây
I Kỹ thuật sử dụng BĐT để đánh giá hai vế:
1) Bất đẳng thức thông dụng:
* Bất đẳng thức Côsi:
Với a1 0 ,a2 0 , ,a n 0 ta có n
n n
a a a n
a a a
2 1 2
Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a n
* Bất đẳng thức Bunhiacopski :
Với mọi a1,a2, ,a n,b1,b2, ,b n ta luôn có :
2 2 2 2 2 2 2
b a b
Trang 11Dấu « = » xảy ra khi
n
n
b
a b
a b
a
2 2 1
1
2) Ví dụ :
Bài 1 : Giải BPT :
4 2 1
1
2
x x
x
(1)
Giải :
0 1
0 1
x x
x
(*)
* Khi đó ( 1)
16 4
1 2 1
1
4 2
x x
x
16 1 1
0 16 1 1
2 1
4 2 2 4
2
Điều này luôn đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy nghiệm của BPT là x 1 ; 1
Bài 2 : Giải BPT :
1 2
x x
x x
(2) (ĐH_A_2010)
Giải:
* Điều kiện: x 0 (*)
* Ta có: 2x2 x 1 x2 x 12 1 1 1 2x2 x 1 0 Vậy (2) x x 1 2x2 x 1 2x2 x 1 1 x x (3)
Trang 12Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có:
2x x1 111x x 1x x
2 2
2
(4)
2
5 3 0
1
1 0 1
x x
x x x
x
x x
KL:
III Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của hai vectơ
1 Định nghĩa: u.v u.vcos(u,v)
a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
+) Trong hệ tọa độ Oxy, nếu u (x;y),v (x' ;y' ) thì u.v x.x' y.y'
+) Trong hệ tọa độ Oxyz, nếu u (x;y;z),v (x' ;y' ;z' ) thì u.vx.x' y.y' z.z' b) u.v u.v Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng phương
c) uv u v Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng
2) Ví dụ: Ta quay lại Bài thi ĐH_A_2010:
Giải BPT :
1 2
x x
x x
(1) (ĐH_A_2010)
Giải:
* Điều kiện: x 0
* Do 2 (x2 x 1 )= ( 2x2 2x 1>1 nên bất phương trình (1) tương đương với
x x x
x x
x x
x 1 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ( 1 ) (2)
Trong mặt phẳng tọa độ lấy a ( 1 x; x), b ( 1 ; 1 ) Khi đó:
a.b 1 x x;a.b 2x2 x 1
Trang 13Vậy (2) trở thành a b a.b Điều này xảy ra khi a, b cùng hướng tức là tồn tại k>0 sao cho
2
5 3
k x
k x b
k
Nhận xét: Ta có thể xây dựng được một lớp các Bài toán tương tự trên bằng cách lấy các
vectơ
thích hợp
IV Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá
1 Thuật toán:
Để giải bất phương trình f(x) g(x);f(x) g(x); f(x) g(x);f(x) g(x) ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số y = f(x) và y = g(x), đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận
2 Lưu ý: Nếu m là tham số thì y = h(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục
hoành
3 Ví dụ:
Bài 1: Tìm a để BPT sau có nghiệm:
1
3 x a x x
Giải:
* Điều kiện: x 1 Khi đó:
(1) x x 1 x3 3x2 1a (1’)
* Đặt f(x) x3 3x2 1 x x 1 Ta có:
1 2
1 2
1 1 3 1
6 3 )
(
x x
x x x
x x x x
f
Do đó f(x) là hàm đồng biến trên 1 ;
Trang 14* Bảng biến thiên:
x 1
f(x)
3 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bpt (1) có nghiệm khi a 3
Bài 2: Tìm m để BPT x2 mx x3 x
2 3 1 2
mọi x 0
Giải:
Ta có (1) 2 2 2 1 3 2 3 2 2 1 3 2 1(x 0 )
x
x x
x m x
x x
* Đặt
x x
t 2 1 Do x 0 nên theo BĐT Côsi ta có 2 2 1 2 2
x x
(Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện của t)
Khi đó (1’) trở thành :
3 ( 2 2 )
2
1
(1) nghiệm đúng với mọi x 0 khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi t 2 2
* Xét hàm số
2
3 2 )
g có
t
t t
t g
4
3 2 4
3 2
1 ) (
4
9 0
3 2 0 )
(
Trang 15* Ta có bảng biến thiên :
t
4
9
2
g(t)
2
2
2
3
2
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm đúng với mọi t 2 2 khi m
2
2 2 3
2
V Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số trên miền xác định
1 Thuật toán :
Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của D
Khi đó ta có : f(u(x)) f(v(x)) u(x) v(x).
f(u(x)) f(v(x)) u(x) v(x) hoặc u(x) v(x)
(Tương tự cho các dấu , , )
2 Ví dụ :
Giải BPT : x 3 x 1 x 3 1 x 2x 0 (1)
Giải :
0 1
0 1
x x
x
(*)
* Khi đó 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 x1 x 2 1 x
Trang 16 x 1 3 x 12 2 x 1 1 x 3 1 x2 2 1 x (2)
* Xét hàm số f(t) t3 t2 2t với t 0 :
Có f' (t) 3t2 2t 2 0 t 0 nên f (t) là hàm đồng biến trên 0 ;
* Mặt khác : (2) f( x 1 ) f( 1 x) x 1 1 x
0 1
x x x kết hợp với điều kiện (*) ta được : 1 x 0
KL :
VI Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm
Tìm m để BPT sau có nghiệm duy nhất :
1 2 1
2
Giải :
* Điều kiện : 0 x 1 (*)
* Nhận xét : Nếu x0 là nghiệm của (1) thì (1-x0) cũng là nghiệm của (1) Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì
2
1
0 x x
Thay
2
1
0
2
1 2
1 2 2
1 2
1 2 2
1 2
* Với m=0 thì (1) trở thành :
x 1 x 24 x1 x 0 4 x 4 1 x2 0
2
1 1
0 1
4
Vậy bất phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m=0
VII Một số Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Giải các BPT :
Trang 171,
x
x x
40 40 100
2
9
x x
x x
3, x 1 2x 3 50 3x 12 4, x2 2x 2x 1 3x2 4x 1
5, x x 1 3 x 2 x2 1 6, x2 4x 5 x2 10x 50 5
7, x 2 4 x x2 6x 11 8, 2 3
10 34 40 2
5 1
3 x x x x x x
1 1
1 2 1
(ĐH_B_2004)
Bài 3: Tìm a để BPT sau có nghiệm : 4x2 2x 1 4x2 2x 1 2a
Bài 4 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm :
4 2x 2x 2 4 6 x 2 6 x m
Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
1 2
1 1
3 x m x x
Bài 6: Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x 0 ; 1: m xx x 1 x
3