Giáo trình toán ứng dụng trong tin học

YÙ nghóa cuûa qui taéc naøy laø khi chæ coù ñuùng hai tröôøng hôïp coù theå xaûy ra vaø moätt tröôøng hôïp ñaõ ñöôïc khaúng ñònh laø sai thì truông hôïp coøn laïi laø ñuùng. Ví duï 17:[r]

Trang 1

GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC

Biên Soạn: Trường Sơn



Trang 2

CHƯƠNG 1

LOGIC MỆNH ĐỀ

I- MỆNH ĐỀ

I.1- Khái niệm:

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

• Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng (mệnh đề có chân trị đúng)

• Câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai (mệnh đề có chân trị sai)

• Kí hiệu các mệnh đề: P, Q, R, …

• Kí hiệu chân trị đúng là 1 (hay T – True), chân trị sai là 0 (hay F – False)

Ví dụ 1:

a/ Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam

b/ Thượng Hải là thủ đô của Ấn Độ

c/ 5 + 5 = 10

d/ 43 chia hết cho 5

e/ Hôm nay trời đẹp quá !

f/ Hôm nay trời có đẹp không?

g/ Hãy học bài đi!

h/ n là một số nguyên tố

Là mệnh đề đúng (1) Kí hiệu mđ: P Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: Q Là mệnh đề đúng (1) Kí hiệu mđ: R Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: T

Không phải là mệnh đề Câu cảm thán Không phải là mệnh đề Câu hỏi nghi vấn Không phải là mệnh đề Câu mệnh lệnh Không phải là mệnh đề Là vị từ (mệnh đề chứa biến).Nếu n=3 ta được mệnh đề đúng, n= 4 ta được mệnh đề sai.

* Biến mệnh đề: p gọi là biến mệnh đề nếu nó nhận giá trị là một mệnh đề nào đó

Ví dụ 2: p là biến mệnh đề có thể nhận giá trị là các mệnh đề P, Q, R, T ở trên

I.2- Các phép toán lôgic:

I.2.1: Phép phủ định (NOT):

Phủ định của mệnh đề P kí hiệu là P Chân trị của P là 0 nếu

chân trị của P là 1 và ngược lại

Bảng chân trị của phép phủ định:

Ví dụ 3: mệnh đề P: “ 2 là số hữu tỉ”

P : “ 2 không phải là số hữu tỉ” ( 2 là số vô tỉ)

I.2.2 Phép hội (AND):

Phép hội của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∧Q (đọc là P và Q) chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng

Bảng chân trị của phép hội:

0

1

0

1

0

1

0

1

Ví dụ 4:

+ “Chiều nay trời đẹp và trận bóng đá sẽ hấp dẫn”: P∧Q

+ “Danh sách sinh viên nam và tuổi từ 20 trở lên”: P∧Q

Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nam”) AND (Year(Date())-Year(NgaySinh)>=20)

0

1 1 0

Trang 3

+ “Danh sách sinh viên nữ có quê ở Long An”: P∧Q

Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nữ”) AND (QUEQUAN=”Long An”)

I.2.3 Phép tuyển (OR):

Phép tuyển của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∨Q (đọc là P hoặc Q) chỉ sai khi cả P và Q cùng sai

Bảng chân trị của phép tuyển:

0

1

0

1

0

1

0

1

Ví dụ 5:

+ “Danh sách sinh viên quê ở Cần Thơ hoặc/hay/và Long An”: P∨Q

Điều kiện lọc danh sách là: (QUEQUAN=”Cần Thơ”) OR (QUEQUAN=”Long An”)

I.2.4 Phép tuyển loại (XOR):

Phép tuyển loại của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P∨Q (đọc là hoặc P hoặc Q) chỉ đúng khi chỉ một trong 2 mệnh đề là đúng

Bảng chân trị của phép tuyển loại:

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Ví dụ 6:

+ “Sinh viên An quê ở Cần Thơ hoặc Long An”: P∨Q

+ “ 2 là số hữu tỉ hoặc là số vô tỉ”: P∨Q

+ “5 giờ chiều nay Minh đi học thêm Anh văn hoặc đi dự đám cưới bạn Lan”: P∨Q

I.2.5 Phép kéo theo:

Phép kéo theo của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇒ Q là một mệnh đề chỉ sai khi P đúng Q sai

Bảng chân trị của phép kéo theo:

0

1

0

1

0

1

0

1

Ví dụ 7:

+ “Nếu An vượt đèn đỏ thì An sẽ vi phạm luật giao thông”: P ⇒ Q

+ “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” (P đúng, Q đúng: mệnh đề đúng) + “202 là số chẵn suy ra 202 chia hết cho 4” (P đúng, Q sai: mệnh đề sai)

Lưu ý:

• P gọi là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q gọi là điều kiện cần để có P

• Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q

Trang 4

I.2.6 Phép tương đương:

Phép tương đương của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là P ⇔ Q là một mệnh đề chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai

Bảng chân trị của phép kéo theo:

0

1

0

1

0

1

0

1

Ví dụ 8:

+ “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng

nhau”

+ “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 khi và chỉ khi 36 chia hết cho12”

+ P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”

Ta có P ⇔ Q

I.3 Phép toán bit (NOT, AND, OR, XOR: thực hiện trong máy tính)

• Bit là đơn vị thông tin nhỏ nhất ứng với một trong hai kí số nhị phân 0 hoặc 1

• Chuỗi bit là chuỗi gồm các kí số 0, 1

Cho 2 chuỗi 4 bit A = 0011; B = 0101 Ta thực hiện các phép toán bít như sau:

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1 NOT A

A AND B

A OR B

A XOR B

1 1 0 0

0 0 0 1

0 1 1 1

0 1 1 0

II- CÔNG THỨC MỆNH ĐỀ

II.1 Các khái niệm

II.1.1 Công thức mệnh đề (biểu thức lôgic)

Công thức mệnh đề (còn gọi là biểu thức lôgic) là một biểu thức được xây dựng từ:

• Các mệnh đề P, Q, R, …

• Các biến mệnh đề p, q, r, … có thể nhận giá trị là các mệnh đề

• Các phép toán trên các mệnh đề và biến mệnh đề theo một trật tự nào đó

Ví dụ 9:

A = (p ∧q) ∨ (r ⇒ q)

E = p ∨ (q ∧ r)

F = (p ∨ q) ∧ r

Nhận xét: Lập bảng chân trị của E và F ta thấy E ≠ F, suy ra thứ tự thực hiện phép toán logic là rất quan trọng

II.1.2 Công thức tương đương

Hai công thức E và F gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị

Kí hiệu hai công thức tương đương logic là E ≡ F hay đơn giản là E = F

Ví dụ 10: E = p ⇒⇒ q và F = p∨∨∨∨ q là hai công thức tương đương (c/m bằng bảng chân trị)

Trang 5

p q p p ⇒⇒ q p∨∨∨∨ q (p ⇒⇒ q) ⇔ (p∨∨∨∨ q)

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

II.1.3 Công thức mệnh đề hằng đúng, hằng sai

Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng đúng nếu nó luôn nhận gía trị 1 (E ≡ 1) Công thức mệnh đề gọi là công thức hằng sai nếu nó luôn nhận gía trị 0 (E ≡ 0)

Ví dụ 11:

G = (p ⇒⇒ q) ⇔ (p∨∨∨∨ q) là công thức hằng đúng; G ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 9)

II.1.4 Qui tắc thay thế:

Qui tắc 1: Nếu trong công thức mệnh đề E ta thay thế một biểu thức con bởi một công thức mệnh đề tương đương thì được một công thức mệnh đề mới tương đương logic với E

Ví dụ 12: p ⇒⇒ (q ⇒⇒ r) ≡ p ⇒⇒ (q∨∨∨∨ r) ≡ p∨∨∨∨ q∨∨∨∨ r

Qui tắc 2: Nếu E là công thức mệnh đề hằng đúng thì khi ta thay biến mệnh đề p trong

E bởi một công thức mệnh đề tùy ý thì được một công thức mệnh đề mới vẫn là hằng đúng

Ví dụ 13:

G = (p ⇒⇒ q) ⇔ (p∨∨∨∨ q) ≡ 1 (suy ra từ ví dụ 10) suy ra

G’ = ((r ∧∧∧∧ t) ⇒⇒ q) ⇔ (( r t∧ ) ∨∨∨∨ q) ≡ 1

II.2 Các qui luật logic

Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai ta có các tương đương logic sau:

1/ Phủ định của phủ định: P ≡ p

2/ Qui tắc De Morgan: (p∧q)≡p∨q ; (p∨q)≡p∧q

3/ Luật giao hoán: p ∧ q ≡ q ∧ p ; p ∨ q ≡ q ∨ p

4/ Luật kết hợp: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

5/ Luật phân phối: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p∧ r) ; p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p∨ r)

6/ Luật lũy đẳng: p ∧ p ≡ p ; p ∨ p ≡ p

7/ Luật trung hòa (luật đồng nhất): p ∧ 1 ≡ p ; p ∨ 0 ≡ p

8/ Luật về phần tử bù: p ∧ p ≡ 0 (Luật bài trung)

P ∨ p ≡ 1 (Luật mâu thuẫn)

9/ Luật thống trị: p ∧ 0 ≡ 0 ; p ∨ 1 ≡ 1

10/ Luật hấp thụ: p ∧ (p ∨ q) ≡ p ; p ∨ (p ∧ q) ≡ p

* Chứng minh các công thức trên bằng cách lập bảng chân trị

Chẳng hạn ta chứng minh luật hấp thụ 10/ bằng bảng sau:

p q p ∨ q p ∧ q p ∧ (p ∨ q) p ∨ (p ∧ q)

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Trang 6

III - QUI TẮC SUY LUẬN

III.1 - Khái niệm:

Trong các chứng minh toán học, ta thường xuất phát từ tiền đề là các khẳng định đúng

p 1 , p 2 , , p n và áp các qui tắc suy luận toán học để khẳng định kết luận q là đúng

Công thức tổng quát của qui tắc suy luận là: (p 1∧∧∧∧ p 2∧∧∧∧ ∧∧∧∧ p n ) ⇒⇒ q

Hay viết theo mô hình là:

p1

p2

pn

q

III.2 - Các qui tắc suy luận thường dùng:

III.2.1 – Qui tắc khẳng định (Modus Ponens)

Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c/m bằng cách lập bảng chân trị):

(( p ⇒⇒ q) ∧∧∧∧ p) ⇒⇒ q

hay dưới dạng sơ đồ

p ⇒ q

p

q

Ví dụ 14:

a/ Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau (p ⇒ q)

Tam giác ABC cân tại A (p)

b/ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2

mà 2006 là một số chẵn

Suy ra số 2006 chia hết cho 2

c/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng

mà Lan đạt loại giỏi

Vậy Lan sẽ được thưởng

III.2.2 – Qui tắc tam đoạn luận (Modus Syllogism) / Chứng minh bắc cầu

(( p ⇒⇒ q) ∧∧∧∧ ( q ⇒⇒ r)) ⇒⇒ (p ⇒⇒ r)

p ⇒ q

q ⇒ r

p ⇒ r

Ví dụ 15:

a/ Bình chơi Game Online thì Bình không học Toán ứng dụng

Bình không học Toán ứng dụng thì Bình thi rớt Toán ứng dụng

Mà Bình ham chơi Game Online nên Bình thi rớt Toán ứng dụng

Tiền đề

Kết luận

Trang 7

b/ 75 chia hết cho 15; 15 chia hết cho 5 Vậy 75 chia hết cho 5

c/ Một con ngựa rẻ thì hiếm

Cái gì hiếm thì đắt

Suy ra một con rẻ thì đắt (!)

Suy luận trên là hợp logic Nhưng kết luận sai do dựa trên một tiền đề sai

III.2.3 – Qui tắc phủ định (Modus Tollens) / Chứng minh phản đảo

(( p ⇒⇒ q) ∧∧∧∧ q) ⇒⇒ p

p ⇒ q

q p

Ví dụ 16:

a/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng

mà An không được thưởng

Vậy An không học giỏi

b/ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau Góc O1 khác góc O2 nên hai góc ấy không đối đỉnh

III.2.4 – Qui tắc tam đoạn luận rời/ Chứng minh loại trừ

(( p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ p) ⇒⇒ q

Ý nghĩa của qui tắc này là khi chỉ có đúng hai trường hợp có thể xảy ra và mộtt trường hợp đã được khẳng định là sai thì truơng hợp còn lại là đúng

Ví dụ 17:

a/ Sáng nay hai bạn An và Bình được phân công làm trực nhật

Nhưng bạn An đi học trễ

Vậy bạn Bình làm trực nhật

b/ Tích a.b = 0 (suy ra a = 0 hoặc b = 0)

mà a ≠ 0

Vậy b = 0

III.2.5 – Qui tắc mâu thuẫn / Chứng minh phản chứng

Qui tắc này được thể hiện bởi tương đương logic sau:

( p ⇒⇒ q) ≡≡≡≡ (( p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒ 0)

Do đó, nếu chứng minh được công thức mệnh đề bên phải là hằng đúng thì công thức bên trái cũng là hằng đúng Nghĩa là nếu ta giả sử q là sai và cùng với tiền đề dẫn đến điều vô lí thì kết luận q là đúng Đó là cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng

Ví dụ 18: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ

Giả sử 2 là một số hữu tỉ Khi đó 2 = p/q với p/q là phân số tối giản

⇒ 2 = p2/q2 ⇒ 2q2 =p2 ⇒ p2 ⋮ 2 ⇒ p⋮2 (vì nếu p-lẻ thì p2 cũng lẻ mâu thuẫn với p2 ⋮ 2) ⇒ p = 2k Suy ra 2q2 = 4k2 ⇒ q2 = 2k2 ⇒ q2 ⋮ 2 ⇒ q⋮2

Do đó p, q có ước số chung là 2, trái với giả thiết p/q là phân số tối giản Vậy 2 là một số vô tỉ

Trang 8

IV- VỊ TỪ - LƯỢNG TỪ

IV.1 – Vị từ:

Vị từ là một khẳng định chứa biến dạng P(x) với x∈A sao cho:

• P(x) không phải là mệnh đề

• Cho x= a∈ A thì P(a) là một mệnh đề

Ví dụ 18:

a/ P(x) = “x < 5” ; x∈ N với N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }

P(0) = “ 0 < 5” là mệnh đề đúng P(5) = “ 5 < 5” là mệnh đề sai

P(4) = “ 4 < 5” là mệnh đề đúng …

b/ P(n) = “n là số nguyên tố” ; n∈ N

(Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó)

P(0) = “ 0 là số nguyên tố” : mệnh đề sai

P(2) = “ 2 là số nguyên tố” : mệnh đề đúng

c/ P(x, y) = “x + y là số nguyên chẵn” ; n∈ Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, }

Ta thấy P(2, 4) là mệnh đề đúng, còn P(5,2) là mệnh đề sai,

IV.2 - Lượng từ:

• Để chỉ một phần tử bất kì thuộc tập A ta viết: ∀x∈A (lượng từ với mọi)

• Để chỉ ít nhất một phần tử thuộc tập A ta viết: ∃∃∃∃x∈A (lượng từ tồn tại)

• Để chỉ một phần tử duy nhất thuộc A ta viết: ∃∃∃∃!!!!x∈A (lượng từ tồn tại duy nhất)

+ Ghép các lượng từ với vị từ ta được các mệnh đề sau:

∀x∈A, P(x)

∃∃∃∃x∈A, P(x)

∃∃∃∃!!!!x∈A, P(x)

+ Phủ định các mệnh đề trên ta được các mệnh đề tương logic sau:

(∀x∈A, P(x)) ≡ ∃∃∃∃x∈A, P(x)

(∃∃∃∃x∈A, P(x)) ≡ ∀x∈A, P(x)

Ví dụ 19:

P(n) = “n là số nguyên tố” ; n∈ N (Xem ví dụ 18b)

• ∀n∈N, P(n) = “Mọi số tự nhiên n đều là số nguyên tố” : mđ sai (1)

• ∃n∈N, P(n) = “Có số tự nhiên n là số nguyên tố” : mđ đúng (2)

• ∃!n∈N, P(n) = “Có duy nhất 1 số tự nhiên n là số nguyên tố” : mđ sai

Phủ định của (1) ta được:

∃n∈N, P(n) = “Có số tự nhiên n không phải là số nguyên tố” : mđ đúng

Phủ định của (2) ta được:

∀n∈N, P(n) = “Mọi số tự nhiên n không phải là số nguyên tố” : mđ sai

Trang 9

V – QUY NẠP VÀ ĐỆ QUY

V.1 – QUY NẠP

V.1.1 – Nguyên lí quy nạp:

Nguyên lí quy nạp dựa trên mệnh đề hằng đúng sau đây:

P(0) ∧∧∧∧ [∀n∈N, P(n) ⇒⇒ P(n+1)] ⇒⇒∀n∈N, P(n)

V.1.2 – Các bước chứng minh quy nạp:

Như vậy, để chứng minh mệnh đề P(n) là đúng ∀ n∈N ta thực hiện các bước sau:

Bước 1/ Khẳng định P(0) là đúng

Bước 2/ Giả sử P(n) là đúng suy ra P(n+1) cũng đúng

Bước 3/ Kết luận: P(n) đúng ,∀n∈N

Lưu ý: Nguyên lý quy nạp có thể bắt đầu từ n0∈ N Tức là P(n) đúng ∀n∈N, n ≥ n0 Khi đó mệnh đề P(0) trong bước 1 được thay bởi P(n0)

Ví dụ 20:

a/ P(n) : 0 + 1 + 2 + + n = n(n+1)/2 ; ∀n∈N

+ P(0) đúng vì 0 = 0(0+1)/2

+ Giả sử P(n) đúng, tức là 0 + 1 + 2 + + n = n(n+1)/2

Suy ra 0 + 1 + 2 + + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)

= (n+1)(n+2)/2 =(n+1)[(n+1)+1]/2 Suy ra P(n+1) đúng Vậy, P(n) đúng ∀n∈N

b/ Chứng minh rằng P(n) = n 3 + 5n chia hết cho 6, ∀n∈N

+ Với P(0) ta có: 0 ⋮ 6 Suy ra P(0) đúng

+ Giả sử P(n) đúng, tức là n3 + 5n ⋮ 6

Ta xét P(n+1): (n+1)3 + 5(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + 5n + 5

= (n3 + 5n) + 3(n2 + n +2)

= (n3 + 5n) + 6(n(n+1)/2 + 1) ⋮ 6 Vậy (n+1)3 + 5(n+1) ⋮ 6, tức là P(n+1) là đúng

+ Kết luận: n3 + 5n ⋮ 6, ∀n∈N

c/ Tương tự, hãy chứng minh rằng 2n+2 > 2n + 5 ; ∀n∈ N, n ≥ 1

V.2 – Đệ quy

V.2.1 – Định nghĩa đệ quy (định nghĩa quy nạp):

Đôi khi rất khó định nghĩa một đối tượng một cách tường minh, nhưng lại dễ dàng

định nghĩa đối tượng này thông qua chính nó Định nghĩa như vậy gọi là định nghĩa đệ

quy (hay định nghĩa quy nạp)

Ví dụ 21:

a/ Định nghĩa tập hợp số tự nhiên N đệ quy như sau:

• 0 là số tự nhiên

• Nếu n là số tự nhiên thì n+1 cũng là số tự nhiên

Khi đó ta có: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }

b/ Định nghĩa hàm số f đệ quy như sau:

• f(0) = 3 (với n = 0)

• f(n) = 2f(n-1) + 3 với n = 1, 2, 3, …

Trang 10

Khi đó ta có:

f(1) = 2f(0) + 3 = 2 × 3 + 3 = 9

f(2) = 2f(1) + 3 = 2 × 9 + 3 = 21

f(3) = 2f(2) + 3 = 2 × 21 + 3 = 45

f(4) = 2f(3) + 3 = 2 × 45 + 3 = 93

V.2.2 – Thuật toán đệ quy:

Một thuật toán được gọi là đệ quy nếu nó giải bài tóan bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới chính bài toán ấy nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn

Ví dụ 22:

a/ Tính giá trị an, với a là số thực khác 0, n là số tự nhiên:

Ta định nghĩa an đệ quy như sau:

• Khi n = 0: a0=1

• Khi n > 0: an = a an-1

Như vậy để tính an ta quy về các trường hợp có số mũ n nhỏ hơn cho đến khi n = 0 thì dừng Ta có thuật toán đệ quy tính lũy thừa của a như sau (mã VB):

Function LuyThua(a, n) as Double

If n = 0 then

LuyThua = 1

else

LuyThua = a * LuyThua(a, n-1)

End If End Function

b/ Tính giá trị n! = 1.2.3 .(n-1).n = (n-1)! n nếu n > 0 ; 0! = 1

+ Thủ tục đệ quy:

Function GiaiThua(n) as Long

If n = 0 then

GiaiThua = 1

else

GiaiThua = n * GiaiThua(n-1)

End If End Function + Thủ tục lặp (Không đệ quy):

Function GiaiThua(n) as Long

T = 1 For i = 1 to n

T = T * i

End Function

c/ Tính giá trị: S = 1 + 2 + 3 + + n

Dùng cách tính tổng lặp (lặp lại đối với S):

S = 0 For i = 1 to n

S = S + i

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	438,73 KB