MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1.. Phương trình bậc hai.[r]
Trang 1BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I Một số công thức lượng giác cần nhớ
tanx ;cot x ; tan
x
3) Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin
4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x
5) Công thức hạ bậc:
2 1 cos 2 2 1 cos 2
6) Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx
7) Công thức biểu diễn theo tanx:
2
−
8) Công thức biến đổi tích thành tổng:
1 cos cos cos( ) cos( )
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2
9) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
cos cos 2 cos cos
Trang 2B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1 Phương trình bậc hai
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 2cosx - 2 = 0 2) 3tanx – 3 = 0
3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x – 1 = 0
5) 2cosx + sin2x = 0
Bài 2 Giải các phươn trình sau:
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0
3) 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0
5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3cosx + 3 = 0
7) 2sin2x – cosx + 7
2 = 0 8) 2sin
2x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin2x + 5cosx = 5
Bài 3 Giải các phương trình:
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2) = 0
6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 7) 3 3cot 3
2 sin
x x
8)
0 cos
x
x
Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - 3cosx = 1
3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2 Giải các phương trình:
1) 3 cos3x+sin 3x= 2 2) 3sin 3x− 3 cos9x = +1 4sin 33 x
3)cos 7 cos5x x− 3 sin 2x = −1 sin 7 sin 5x x 4) cos 7x− 3 sin 7x= − 2
5) 2 2(sinx+cos ) cosx x= +3 cos 2x
Dạng 3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0
3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5
2
4) 3sin (32 ) 2 sin(5 ) cos( )
π
5) a) 3 sinx+ cosx= 1 ; b) 4 sinx+ 6 cosx= 1
Trang 310) sin x - 4 3sinxcosx 2 + 5cos x = 52
D ạng 4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) (2+ 2)(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2 Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - sinxcosx = 1
2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
2
2
3) cos 1 sin 1 10
4) sin3x + cos3x =
2
2
5) sinx – cosx + 7sin2x = 1
6) (1+ 2)(sinx−cos )x +2sin cosx x= +1 2
4
x+ x−π =
8) sinx−cosx +4sin 2x=1
9) 1 + tgx = 2 2sinx
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0
Trang 4C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) sin3x = 1
2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 2
2 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60o) = - 3 13) sin3x = cos4x
4) cot 5
π
1
5) sin2x = sin 3
4
x π
o) = cos(x + 120o)
6) tan 2
3
= tan 6 3x
π
16) 3 - 2sin2x = 0
7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos
- 3 = 0
8) tan
4
= - cot 2x 3
π
2 20 3
o
x
+ 3 = 0
9) sin(2x - 10o) = 1
2 với -120o < x < 90o 19) 2sinx - 2sin2x = 0 10) cos(2x + 1) = 2
2 với - π < x < π 20) 8cos3x - 1 = 0
Bài 2 Giải các phương trình:
1) sin2x = 1
2 11) sin2x + sin22x = sin23x 2) cos23x = 1 12) sin (2cos 2)
4
3) sin4x + cos4x = 1
2 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - 3
2) =
0
4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x +
cos2x
7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx
8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 1
2
Bài 3 Giải các phương trình:
1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0
Trang 53) tan 2
π
+ 2cot 6 2x
π
- 3 = 0 4)
2
2
+ (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0
sin 2x
5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0
7) sin22x - 2cos2x + 3
4 = 0 8) 4cos
2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0
9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0
11) 12
cos x + 3cot
2x = 5
Bài 5 Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2
3) 2sin
4
x π
+ sin x 4
π
3 2 2
4) 3cos + 4sinx + 2 = 3
3cos + 4sinx - 6
x
x
5) 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 0
6) cos7x - sin5x = 3(cos5x - sin7x)
7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bài 6 Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2sin(x - 45o) = 1
9) 2sin2x + 3|sinx + cosx| + 8 = 0
10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0
Bài 7 Giải các phương trình
1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos2x - sin2x - 3sin2x = 1
4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0
5) 4sin2x + 3 3sin2x - 2cos2x = 4
6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1
7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3
Bài 8 Giải các phương trình
1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan2x + (1 - 3)tanx - 3 = 0
Trang 63) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin22x - 2cos2x + 3
4 = 0
5) 2cos6x + tan3x = 1 6) 12
cos x + 3cot
2x = 5
Bài 9 Giải các phương trình
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
6) sin(4x + π
4)sin6x = sin(10x +
π
4)
7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1
8) tan(2π
3 - x) + tan(
π
3 - x) + tan2x = 0
Bài 10 Giải các phương trình
1) (1 - cos2x)sin2x = 3sin2x
2) sin4x - cos4x = cosx
+ cos(x - ) =
1 + cosx 2 4 2(1 + cotx)
4) 1 - (2 + 2)sinx = 2 22
1 + cot x
−
5) tan2x = 1 - cosx
1 - sinx
6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 2
7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x
Bài 10 Giải các phương trình
1) sinx + cosx - sin2x
3 - 1 = 0
2) (1 + 2)(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2) = 0
3) tanx + tan2x = tan3x
4) 1 cosx = sinx
cos
2 +
Trang 7D MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1 Giải các phương trình
1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x
2) tan2x - tanxtan3x = 2
5 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x
5) tanx + cotx = 4
1 + sinx
x
+ 2cosx = 0
7) 2tanx + cotx = 3 + 2
sin2x
8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
10)
cot x - tan x
= 16(1 + cos4x) cos2x
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1
16
12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
13) sin2xcosx = 1
4 + cos
3xsinx 14) sin6x + cos6x = cos4x
15) sin4x + cos4x = 7
8cot(x +
π
3)cot(
π
6 - x)
16) sinxcot5x = 1
cos9x
17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18) 2sin3x - 1
sinx = 2cos3x +
1 cosx
19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2
4
20)
=
x
x (tanx + cotx)
21) 1 + tanx = 2 2sinx
22) cosx - sinx = 2cos3x
3 sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx
24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x
25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
26) 2sin(3x +
4
π
) = 1 + 8sin2xcos 2x2
Trang 8Bài 2 Giải các phương trình
1) sin4 x
3
+ cos
4 x 3
=
5 8
2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0
4)
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos6x + sin6x = 7
16
Bài 3 Giải các phương trình
1) cos 2 + 3cot2x + sin4x = 2
cot 2 - cos2x
x
4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x
= 0 cosx
3)
2 cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1
= 1
5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3
2 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx
Bài 4 Giải phương trình lượng giác
1) cosx + 3 sinx = 3 - 3
cosx + 3sinx + 1 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x
3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2 6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x
7) 3sin2x + cos2x = 2 8) 2 2(sinx + cosx)cosx = 3 +
cos2x
9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
Bài 5 Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích)
1) sin3x - 2
3sin
2x = 2sinxcos2x
2) sin22x + cos28x = 1
2cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x
4) cosxcosx
2cos
3x
2 - sinxsin
x
2 sin
3x
2 =
1 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 0
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
Trang 910) sin3x - sinx = sin2x
11) cos 1 sin
1 sin
x
x
x = +
−
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
13) cos4x
2 - sin
4x
2 = sin2x
14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 3
2
17) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x = 6(cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6 Giải các phương trình
1) sin3x - sinx
1 - cos2x = cos2x + sin2x với 0 < x < 2π 2) sin(2x + 5π
2 ) - 3cos(x -
7π
2 ) = 1 + 2sinx với π
2 < x < 3π 3) cos7x - 3sin7x = - 2 với 2π < x < 6π
Bài 7 Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x
2) y = cosx + 2sinx + 3
3) y = 4sin2x + π
2sin(2x + )
4 4) y = sinx - cos2x + 1
2
Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới)
1) A_02 Giải phương trình: 5 sin + cos3x + sin3x
x
2) D_02 Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
3) A_03 Giải phương trình: cotx - 1 = cos2x
1 + tanx + sin
2x - 1
2sin2x
Trang 104) D_03 Giải phương trình: sin2(x
2 -
π
4)tan
2x - cos2x
2 = 0
5) D_04 Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx
6) A_05 Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0
7) D_05 Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - π
4)sin(3x -
π
4) -
3
2 = 0
8) A_05_dự bị1 Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; π) của phương trình:
4sin2x
2 - 3 cos2x = 1 + 2cos
2(x - 3π
4 ) 9) A_05_dự bị 2 Giải pt: 2 2cos3( x - π
4) - 3cosx - sinx = 0
10) D_05_dự bị 1 Giải pt: tan(3π
2 - x) +
sin
1 cos
x x
+ = 2
11) D_05_dự bị 2 Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0
12) A_06_dự bị 1 Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 + 3 2
8
13) A_06_dự bị 2 Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0
14) B_06_dự bị 1 Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0
15) B_06_dự bị 2 Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dự bị 1 Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
17) D_06 Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
18) A_07 Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
19) B_07 Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
21) D_07 Giải phương trình: (sin2 x
2 + cos
2x
2)
2 + 3cosx = 2
22) CĐ_07 Giải phương trình: 2sin2(π
4 - 2x) + 3cos4x = 4cos
2x - 1
23) A_08 Giải phương trình: 1 + 1 = 4sin 7π - x
3π
sin x -
2
24) B_08 Giải phương trình: sin3x - 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx
25) D_08 Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
26) CĐ_08 Giải pt: sin3x - 3cos3x = 2sin2x